Convergência em espaços normados

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1 Chapter 1 Convergência em espaços normados Neste capítulo vamos abordar diferentes tipos de convergência em espaços normados. Já sabemos da análise matemática e não só, de diferentes tipos de convergência de elementos, por exemplo, convergência pontual, uniforme, absoluta, condicional, em medida, em média, em probabilidade, no sentido L 2, etc. Todos estes tipos de convergência fornecem uma grande flexibilidade à teoria e suas aplicações. Em análise funcional a situação é análoga e ainda mais rica, todas elas de interesse prático. Assim, não só temos conceitos associados a convergência de operadores como também de sucessões destes. 1.1 Convergência forte e fraca A convergência de uma sucessão de elementos num espaço normado definida no curso de Análise Funcional I será designada daqui em diante por convergência forte. Isto permitirá distinguir da convergência fraca a ser introduzida brevemente. Assim, relembremos a convergência forte de uma sucessão num espaço normado. Definição 1.1 (Convergência forte) Uma sucessão (x n ) n=1 num espaço normado X converge fortemente (ou converge na norma) se existe x X tal que Isto pode ser escrito como ou simplesmente como lim x n x = 0. n lim x n = x n x n x, n. 1

2 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS 2 x é chamado limite forte de (x n ) n=1. A convergência fraca de uma sucessão de elementos num espaço normado é definida à custa de funcionais lineares limitados em X do seguinte modo. Definição 1.2 (Convergência fraca) Uma sucessão (x n ) n=1 num espaço normado X converge fracamente se existe x X tal que para todo f X Podemos escrever também lim f (x n) = f (x). n x n x é chamado limite fraco de (x n ) n=1. w x, n. Observação Note que a convergência fraca envolve a convergência da sucessão de escalares α n = f (x n ) K (K {R, C}). 2. A convergência fraca tem diversas aplicações em análise, nomeadamente no calculo das variações, teoria geral das equações diferenciais. Além disso, a convergência fraca mostra um princípio elementar em análise funcional: a investigação dos espaços está relacionada com os seus duais. 3. Na prática, é necessário saber algumas propriedades sobre convergência fraca para esta se tornar útil. Tal facto envolve, entre outros, o teorema de Hahn-Banach (e seus corolários) e o teroema de Banach-Steinhaus. Lema 1.4 Seja (x n ) n=1 uma sucessão convergente fracamente para x num espaço normado X. Então 1. O limite fraco x de (x n ) n=1 é único. 2. Toda a subsucessão de (x n ) n=1 converge fracamente para x. 3. A sucessão ( x n ) n=1 é limitada. Prova. 1. Suponhamos que x n w x, n

3 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS 3 assim como x n Então para qualquer f X temos w y, n. f (x n ) f (x), n como também f (x n ) f (y), n. Como ( f (x n )) n=1 é uma sucessão de escalares, o seu limite é único, assim, f (x) = f (y). Portanto f (x) f (y) = f (x y) = 0, f X. O corolário do teorema de Hahn-Banach implica que x y = 0, Isto mostra a unicidade do limite. 2. É uma consequência do facto de ( f (x n )) n=1 ser uma sucessão de escalares convergentes, de onde toda a subsucessão converge e tem o mesmo limite. 3. Como para cada f X a sucessão ( f (x n )) n=1 é limitada, digamos f (x n ) K( f ), então a aplicação canónica C : X X definida por C(x)( f ) = F x ( f ) := f (x), f X é tal que a sucessão (C(x n )( f )) n=1 é limitada para cada f X. De facto, temos C(x n )( f ) = f (x n ) K( f ). Assim, temos uma sucessão de funcionais (C(x n )) n=1 X limitada ponto a ponto. O teorema de Banach-Steinhaus implica que a sucessão ( C(x n ) ) n=1 é limitada. Por outro lado, sabemos que C(x n ) = x n pelo que a sucessão ( x n ) n=1 também é limitada. O próximo teorema estabelece a distinção entre convergência fraca e convergência forte como também mostra o facto de ambas as convergências coincidirem em dimensão finita, isto é, dim X <. Teorema 1.5 Seja (x n ) n=1 uma sucessão num espaço normado X. Então 1. A convergência forte implica a convergência fraca com o mesmo limite.

4 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS 4 2. O inverso de 1. não é verdade em geral. 3. Se dim X <, então a convergência fraca implica a convergência forte e, neste caso, ambas coincidem. Prova. 1. Como (x n ) n=1 converge fortemente em X, digamos, x n x, n o mesmo é dizer que lim n x n x = 0. Assim, para qualquer f X temos f (x n ) f (x) = f (x n x) f x n x 0, n. w Isto mostra que x n x, n. 2. Seja H um espaço de Hilbert e (e n ) n=1 uma sucessão ortogonal em H. Pelo teorema de Riesz todo o funcional f H pode representar-se por f (x) = (x, z). Em particular f (e n ) = (e n, z). Por outro lado, a desigualdade de Bessel diz que (e n, z) 2 z 2, n=1 ou seja, a série é convergente pelo que f (e n ) = (e n, z) 0, n. Da arbitrariedade do funcional f resulta a convergência fraca de (e n ) n=1 para 0, isto é, e n w 0, n. No entanto, (e n ) n=1 não converge fortemente, pois e n e m 2 = (e n e m, e n e m ) = 2, n m. 3. Seja dim X =, e 1,..., e uma base em X e (x n ) n=1 uma sucessão convergente fracamente para x X tais que x n = x = α i ne i, i=1 α i e i. i=1

5 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS 5 Por hipótese, para todo f X, temos f (x n ) f (x). Consideremos os funcionais f 1,..., f definidos por 1, i = j f i (e i ) = 0, i j. Na verdade, { f 1,..., f } é a base dual de {e 1,..., e }. Temos f j (x n ) = αn j, f j (x) = α j. Do facto f j (x n ) f j (x), n resulta α j n α j, n. Daqui resulta que x n x = (α i n )e i i=1 α i n αi e i 0, n. Isto mostra que (x n ) n=1 converge fortemente para x. i=1 Exemplo 1.6 (Espaço de Hilbert) Uma sucessão (x n ) n=1 H converge fracamente para x H se e só se num espaço de Hilbert (x n, z) (x, z), n, para qualquer z H. Prova. Atendendo ao teorema de Riesz e à de definição de convergência fraca temos f (x n ) f (x), n, f H. Se z for o representante de f, então a propriedade anterior pode escrever-se como (x n z) (x, z), n. Exemplo 1.7 (Espaços l p (C)) Uma sucessão (z n ) n=1 no espaço lp (C), 1 < p < converge fracamente para z l p (C) se e só se

6 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS 6 1. a sucessão ( z n ) n=1 é limitada. 2. Para qualquer j N fixo temos zn j z j, n onde z n = (zn) j j=1 e z = (z j ) j=1. Prova. 1. É uma consequência do Lema Por hipótese para qualquer f (l p (C)) ( l q (C)) temos f (z n ) f (z), n. Em particular, se (e n ) n=1 denotar a base de Schauder em lq (C), então para casa j N fixo temos e j z n = zn j =1 e j z = z j, n. =1 Exercícios Exercício 1.1 (Convergência pontual) Se (x n ) n=1 é uma sucessão em C([0, 1]) w tal que x n x C([0, 1]), então a sucessão (x n ) n=1 converge pontualmente em [0, 1], isto é, (x n (t)) n=1 converge para qualquer t [0, 1]. Sugestão: Considere em particular o funcional δ t : C([0, 1]) R, x δ t (x) := x(t), t [0, 1]. o qual prova o resultado. δ t (x n ) δ t (x) x n (t) x(t), n Exercício 1.2 Sejam X, Y espaços normados, T B(X, Y) e (x n ) n=1 uma sucessão w w em X. Mostre que se x n x, então T x n T x. Exercício 1.3 (Sucessão de Cauchy fraca) Seja X um espaço normado sobre o corpo K e (x n ) n=1 uma sucessão em X. Então (x n) n=1 chama-se uma sucessão de

7 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS 7 Cauchy fraca se para todo f X a sucessão ( f (x n )) n=1 é uma sucessão de Cauchy em K. Note que o limite lim f (x n) n existe. Mostre que uma sucessão de Cauchy fraca é limitada. Exercício 1.4 (Espaço fracamente completo) Um espaço normado X diz-se fracamente completo se toda a sucessão de Cauchy fraca em X converge fracamente em X. Mostre que se X é reflexivo (isto é, X e X são isomorfos), então X é fracamente completo. 1.2 Convergência de sucessões de operadores e funcionais Nesta secção vamos estudar a convergência de sucessões de operadores lineares limitados assim como de funcionais. As aplicações potenciais surgem nomeadamente em problemas de convergência de séries de Fourier, interpolação de polinómios, métodos de integração numérica, etc. Existem três conceitos de convergência para sucessões de operadores T n B(X, Y), nomeadamente: 1. Convergência na norma de B(X, Y). 2. Convergência forte de (T n x) n=1 em Y. 3. Convergência fraca de (T n x) n=1 em Y. Definição 1.8 (Convergência de sucessões de operadores) Sejam X, Y espaços normados e (T n ) n=1 B(X, Y) uma sucessão de operadores dada. Então diz-se que a sucessão (T n ) n=1 é: 1. Uniformemente convergente se (T n ) n=1 converge na norma de B(X, Y), isto é, existe um operador linear T : X Y tal quer lim T n T = 0. (1.1) n 2. Fortemente convergente se (T n x) n=1 converge fortemente em Y para qualquer x X, isto é, existe um operador linear T : X Y tal que lim T nx T x = 0, x X, (1.2) n

8 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS 8 3. Fracamente convergente se (T n x) n=1 converge fracamente em Y para qualquer x X, isto é, existe um operador linear T : X Y tal que lim n f (T nx) f (T x) = 0, x X, f Y. (1.3) O operador T é chamado limite uniforme (resp. forte, fraco) da sucessão (T n ) n=1. A necessidade de todos estes tipos de convergência de uma sucessão de operadores tem a ver com questões praticas. De facto, muitos dos operadores que nos aparecem na prática são dados como limites de operadores mais simples. Por outro lado, muitas vezes não sabemos em que sentido será a convergência de tal modo que, podemos começar por estabelecer uma convergência suave de tal modo que o problema possa ser tratado e mais tarde desenvolver mostar que, realmente a convergência é num sentido mais forte. Não é difícil verificar que (1.1) (1.2) (1.3) sendo o limite o mesmo, mas o inverso não é verdadeiro em geral, como mostram os seguintes exemplos. Exemplo 1.9 (Espaço l 2 (C), (1.2) (1.1) ) No espaço l 2 (C) consideremos a sucessão de operadores (T n ) n=1 definidos para cada n N por T n : l 2 (C) l 2 (C) z T n z := (0, 0,..., 0, z n+1, z n+2,...). É claro que T n B(l 2 (C)), n N e a sucessão (T n ) n=1 é fortemente convergente, pois, lim T nz 0z = 0, z l 2 (C), n mas (T n ) n=1 não é uniformemente convergente para 0 porque T n 0 = T n = 1. Exemplo 1.10 (Espaço l 2 (C), (1.3) (1.2) ) Considere a sucessão de operadores lineares limitados (T n ) n=1 definidos para cada n N por T n : l 2 (C) l 2 (C), z T n z := (0, 0,..., 0, z 1, z 2...). Então esta sucessão converge fracamente para 0 mas não fortemente.

9 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS 9 Prova. Se f (l 2 (C)), então pelo teorema de Riesz existe w l 2 (C) tal que f (z) = (z, w) = z i w i. i=1 Assim, por definição de T n temos f (T n z) = (T n z, w) = (T n z) i w i = z i n w i = i=1 i=n+1 z i w i+n. i=1 Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos f (T n z) 2 = (T n z, w) 2 T n z 2 w 2 = z i 2 w i 2. i=1 i=n+1 A última série é o resto de ordem n de uma série convergente, pelo que o lado direito da desigualdade anterior aproxima-se de zero quando n ; isto mostra que a sucessão é fracamente convergente para 0. No entanto, (T n z) n=1 não é fortemente convergente, pois para z = (1, 0,...) temos lim n T nz T m z 2 = = 2, n m. Os funcionais lineares são operadores lineares com imagem contida em K {R, C}, pelo que os conceitos de convergência em (1.1), (1.2) e (1.3) aplicam-se. No entanto, os conceitos (1.2) e (1.3) são equivalentes, pois ( f n x) n=1 K sendo dim K <, o Teorema 1.5 implica a equivalência de ambas estas convergências. Os outros conceitos de convergência associados a funcionais é a forte e *-fraca. Definição 1.11 (Convergência forte e *-fraca para sucessões de funcionais) Seja ( f n ) n=1 uma sucessão de funcionais lineares limitados num espaço normado X. Então: 1. Convergência forte de ( f n ) n=1 significa que existe f X tal que também escrito como f n f. lim f n f = 0 n

10 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS Convergência *-fraca de ( f n ) n=1 significa que existe f X tal que lim n f n(x) f (x) = 0, x X também escrita como f n w f. O funcional f em 1. e 2. é chamado o limite forte e limite *-fraco da sucessão ( f n ) n=1, respectivamente. No resto desta secção vamos ver o que pode ser dito do operador limite T : X Y de uma sucessão de operadores T n : X Y, n N. Se a convergência é uniforme, então o operador T B(X, Y) caso contrário não faria sentido T n T. Por outro lado, se a convergência for forte ou fraca já o operador T pode não ser limitado se X não for completo. Exemplo 1.12 Seja X = l 0 (C) o subconjunto de l 2 (C) das sucessões complexas que a partir de certa ordem são nulas e (T n ) n=1 a sucessão de operadores lineares limitados definidos por T n z := (z 1, 2z 2,..., nz n, z n+1, z n+2,...), z l 0 (C). É claro que T n, n N é limitado, pois, T n z 2 = 2 z + =1 = T n n + 1. =n+1 Por outro lado, considerando o operador T definido por Tz := (nz n ) n=1 z 2 (n + 1) 2 z 2 vemos que T não é limitado e a sucessão (T n ) n=1 converge fortemente para T porque para qualquer z l 0 (C) temos T n z Tz 2 = 2 z , n. =n Note que a convergência anterior para zero é devida ao facto de z l 0 (C). A situação do exemplo anterior tem a ver com o facto de X não ser completo, pois caso X seja completo temos o seguinte lemma.

11 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS 11 Lema 1.13 (Convergência forte) Sejam X, Y espaços normados sendo X de Banach e (T n ) n=1 B(X, Y). Se (T n) n=1 converge fortemente com operador limite T, então T B(X, Y). Prova. A linearidade de T é uma consequência de T n, n N ser linear. Por hipótese, para qualquer x X temos T n x T x. Logo a sucessão ( T n x ) n=1 é limitada para qualquer x X. Como X é completo, pelo teorema de Banach-Steinhaus (ou limitação uniforme) a sucessão ( T n ) n=1 é limitada, digamos T n < K. Assim, T n x T n x K x = T x K x = T K. Daqui resulta que T é linear limitado pelo que T B(X, Y). De seguida apresentamos um critério para ver quando é que uma sucessão de operadores converge fortemente. Critério 1.14 (Convergência forte) Uma sucessão de operadores T n B(X, Y), n N, onde X, Y são espaços de Banach é fortemente convergente se e só se: 1. A sucessão ( T n ) n=1 é limitada. 2. A sucessão (T n x) n=1 é de Cauchy em Y para qualquer x pertencente a um subconjunto total M de X. Prova. Se T n x T x, n para qualquer x X, então 1. resulta da prova do lema anterior ou do teorema de Banach-Steinhaus porque X é completo e 2. é evidente. Inversamente, se 1. e 2. são verdadeiras, então T n < K, para qualquer n N. Seja x X um elemento arbitrário com vista a provar que (T n x) n=1 converge fortemente em Y. Dado ε > 0 existe y M ( M é o espaço vectorial gerado por M o qual é denso em X) tal que x y < ε 2K.

12 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS 12 A hipótese 2. diz-nos que a sucessão (T n y) n=1 uma ordem N(ε) tal que é de Cauchy em Y pelo que existe Assim, pela desigualdade triangular T n x T m x < ε, n, m > N(ε). 3 T n x T m x T n x T n y + T n y T m y + T m y T m x T n x y + ε 3 + T m y x K ε 3K + ε 3 + K ε 3 = ε. Mostramos, portanto, que (T n x) n=1 é uma sucessão de Cauchy em Y, como este é completo, a sucessão converge em Y. Isto mostra que (T n ) n=1 converge fortemente. Observação 1.15 (Funcionais) O critério anterior é válido também para sucessões de funcionais desde que X seja de Banach. Exercícios Exercício 1.5 Seja (T n ) n=1 um operador linear dado. B(X, Y) uma sucessão de operadores e T : X Y 1. Mostre que a convergência uniforme T n T implica a convergência forte com o mesmo limite T. 2. Mostre que a convergênia forte T n T implica a convergência fraca com o mesmo limite T. Exercício 1.6 Uma sucessão de funcionais ( f n ) n=1 X converge fracamente para f X se e só se F( f n ) F( f ), F X. Mostre que a convergência fraca implca a convergência *-fraca. Mostre que o inverso acontece desde que X seja reflexivo.

13 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS 13 Exercício 1.7 Mostre que a convergência forte não implica a convergência uniforme considerando a sucessão de operadores (funcionais neste caso!) T n, n N definida por T n = f n : l 1 (C) C, z f n z := z n. Exercício 1.8 Seja T n B(X, Y), n N, onde X é um espaço de Banach. Se (T n ) n=1 converge fortemente, mostre que ( T n ) n=1 é limitada. 1.3 Integração numérica e convergência *-fraca. A convergência *-fraca tem aplicações úteis na integração numérica, diferenciação e interpolação. Nesta secção, e como aplicação dos conceitos desenvolvidos neste capítulo, vamos considerar o problema de obter o valor aproximado do integral 1 0 x(t)dt. (1.4) Existem vários métodos para resolver este problema, por exemplo, regra do trapézio, de Simpson, Newton, etc. Todos eles apresentam uma característica em comum; escolher pontos no intervalo [0, 1], chamados nodos, depois aproximar o valor do integral por uma combinação linear dos valores de x nos nodos. Os nodos e os coeficientes na combinação linear dependem do método mas não da função integranda x. É claro que a eficácia do método é determinada pela exactidão e é desejável que a exactidão do método aumente à medida que o número de nodos aumente. Vamos considerar o conjunto das funções reais contínuas C([0, 1]) com a norma x := max 0 t 1 x(t). Então o integral em (1.4) define um funcional f em C([0, 1]) por intermédio f (x) := 1 Vamos considerar o seguinte processo de aproximação: 0 x(t)dt. (1.5) 1. Para cada n N escolhemos n números reais t (n) 0,..., t(n) n em [0, 1] tais que 0 t (n) 0 < t (n) 1 <... < t (n) n 1.

14 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS Escolher n números reais chamados coeficientes α (n) 0,..., α(n) n e definir os funcionais lineares f n em C([0, 1]) por f n (x) := =0 α (n) x(t(n) ). (1.6) 3. Isto define um processo numérico de integração sendo f n (x) o valor aproximado de f (x). Os funcionais f n são contínuos, pois, f n (x) =0 α (n) x(t(n) ) =0 α (n) x de onde resulta f n Escolhendo x 0 C([0, 1]) da forma =0 α (n). x 0 (t (n) ) := sgn(α(n) ) := 1 se α (n) 0 1 se α (n) < 0 temos x = 1 e f n (x 0 ) = =0 α (n) sgn(α(n) ) = =0 α (n). É claro que o método numérico anteriormente só tem interesse se o valor da aproximação f n (x) de f (x) for cada vez mais exacto quanto maior for o n. Assim, temos a seguinte definição. Definição 1.16 (Convergência) Dado um elemento x C([0, 1]), o método numérico de integração definido em (1.6) diz-se convergente se onde f (x) está definido em (1.5). f n (x) f (x), n,

15 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS 15 Vamos de seguida colocar uma exigência natural no método de integração. Mais precisamente, atendendo a que a integração de um polinómio é fácil, então para um polinómio x C([0, 1]) de grau não superior a n terá de ser f n (x) = f (x). Imposição 1.17 Para qualquer n N {0}, se x é um polinómio de grau não superior a n, então f n (x) = f (x). (1.7) Para que a igualdade (1.7) seja verdadeira é suficiente que (1.7) se verifique nos n + 1 monómios x 0 (t) := 1, x 1 (t) := t,..., x n (t) := t n. De facto, se x for um polinómio de grau n dado por x(t) = então, visto que f n é linear, obtemos β t, =0 f n (x) = β f n (x ) = β f (x ) = f (x). =0 =0 Deste modo obtemos n + 1 condições: f n (x 0 ) = f (x 0 ) f n (x 1 ) = f (x 1 ). f n (x n ) = f (x n ). (1.8) É possível mostrar que as n + 1 condições em (1.8) podem ser satisfeitas. Para tal escolhemos os nodos t (n) e vamos mostrar que os coeficientes α (n) n podem ser determinados de uma forma única. Por um lado, temos de onde resulta f n (x j ) = α (n) (t(n) ) j = f (x j ) = =0 x j (t (n) ) := (t(n) 1 0 ) j t j dt = 1 j + 1 (b j+1 a j+1 ), j = 0, 1,..., n.

16 CHAPTER 1. CONVERGÊNCIA EM ESPAÇOS NORMADOS 16 Para cada n fixo a igualdade anterior determina um sistema de n + 1 equações lineares nas n + 1 incógnitas α (n) 0, α(n) 1,..., α(n) n. Este sistema possui uma única solução se o sistema homogéneo =0 (t (n) ) j λ = 0, j = 0, 1,..., n possui somente a solução trivial λ 0 = λ 1 =... = λ n = 0. Isto é equivalente a dizer que um polinómio de grau n é zero em n + 1 pontos, logo só pode ser o polinómio nulo e daí que λ 0 = λ 1 =... = λ n = 0. Isto mostra que o método é convergente para polinómios. O caso geral, isto é, para um elemento arbitrário em C([0, 1]) temos o seguinte critério devido a G. Pólia. Critério 1.18 () O método numérico de integração (1.6) que satisfaz a Imposição 1.17 converge para qualquer função contínua x C([0, 1]) se e só se existe K tal que α (n) K, n N. (1.9) =0 Prova. Consideremos o conjunto P([0, 1]) de todos os polinómios com coeficientes reais definidos em [0, 1]. Este conjunto é denso em C([0, 1]) pelo teorema de Weierstrass, cf. Teorema Assim, para x P([0, 1]) existe convergência pela Imposição Como a sucessão de normas ( f n ) n=0 é limitada se e só se (1.9). O resultado do teorema resulta da Observação 1.15 visto que a convergência é a *-fraca. f n (x) f (x), x P([0, 1]) Teorema 1.19 (Weierstrass) O conjunto P([0, 1]) de todos os polinómios com coeficientes reais definidos em [0, 1] é denso em C([0, 1]).