Teoria Espectral em Espaços de Hilbert

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1 Teoria Espectral em Espaços de Hilbert Departamento de Análise Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal Fluminense 22 de setembro de 2016

2 Espaços Vetoriais de Dimensão Finita Sejam V um espaço vetorial (real ou complexo) de dimensão finita e T : V V um operador linear. Proposição T é diagonalizável se, e somente se, V admite uma base formada por autovetores de T. Neste caso, a matriz de T nesta base é uma matriz diagonal. Proposição Se V é um espaço euclidiano, então T é auto-adjunto se, e somente se, existe uma base ortonormal de V formada por autovetores de T.

3 Espaços Euclidianos Seja E um espaço vetorial sobre K (real ou complexo). Um produto interno em E é uma aplicação que satisfaz, : E E K (P1) x 1 + x 2, y = x 1, y + x 2, y x 1, x 2, y E (P2) λx, y = λ x, y x, y E, λ C (P3) x, y = y, x x, y E (P4) x, x > 0 x 0 O par (E,, ) é chamado de espaço euclidiano.

4 Exemplos Exemplo 1 R n é um espaço euclidiano com n x, y = x j y j j=0 onde x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n. Exemplo 2 C n é um espaço euclidiano com n x, y = x j y j j=0 onde x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) C n.

5 Exemplos Exemplo 3 l 2 = {(x n ) n C ; n=0 x n 2 < } é um espaço euclidiano com onde x = (x n ) n, y = (y n ) n l 2. x, y = x j y j n=0 Exemplo 4 L 2 (X, Σ, µ) é um espaço euclidiano com f, g = f gdµ onde f, g L 2 (X, Σ, µ). X

6 Espaços Normados Uma norma em E é uma função : E R que satisfaz (N1) x 0 x E (N2) λx = λ x x E λ C (N3) x + y x + y x, y E (N4) x = 0 x = 0 O par (E, ) é chamado de espaço normado. Todo espaço euclidiano é um espaço normado! x = x, x, x E

7 Espaços de Hilbert Um espaço de Hilbert é um espaço de Banach com a norma induzida pelo produto interno. Os espaços R n ; C n ; l 2 = {(x n ) n C ; n=0 x n 2 < }; L 2 (X, Σ, µ). são espaços de Hilbert com seus respectivos produtos internos.

8 Ortogonalidade Sejam E um espaço com produto interno e A um subconjunto de E. Denominamos o subconjunto de complemento ortogonal. Teorema A = {y E ; x, y = 0 para todo x A} Sejam H um espaço de Hilbert e M um subespaço fechado de H. Então (a) H = M M (x H x = p + q com p M e q M ); (b) Os operadores P(x) = p e Q(x) = q são projeções (lineares, contínuos e P 2 = P e Q 2 = Q). x p = dist(x, M) = inf x y ; y M p é chamado de projeção ortogonal de x sobre M; P é chamado de projeção ortogonal de H sobre M.

9 Conjuntos Ortonormais Seja E um espaço com produto interno. Um conjunto S E é dito ortonormal quando para todos x, y S, { 0, x y, x, y = 1, x = y. Um conjunto ortonormal S tal que S = {0} é chamado de sistema ortonormal completo. Exemplos A base canônica {e 1,..., e n } de K n ; A base canônica {e n ; n N} de l 2. Todo conjunto ortonormal em um espaço com produto interno é linearmente independente.

10 Conjuntos Ortonormais Proposição Sejam H um espaço de Hilbert e {x 1,..., x n } um conjunto ortonomal finito em H. (a) Se M = [x 1,..., x n ] e x H, então x n x, x i x i = dist(x, M). i=1 (b) Para todo x H, n i=1 x, x i 2 x 2. Desigualdade de Bessel Seja S = {x i ; i I } um conjunto ortonormal no espaço de Hilbert H. Então, para todo x H, x, x i 2 x 2, i J onde J = {i I ; x, x i 0}.

11 Conjuntos Ortonormais Teorema Seja S = {x i ; i I } um conjunto ortonormal no espaço de Hilbert H. As seguintes afirmações são equivalentes: (a) Para cada x H, x = i I x, x i x i. (b) S é um sistema ortonormal completo. (c) [S] = H. (d) Para cada x H, x 2 = i I x, x i 2. (Identidade de Parseval) (e) Para todos x, y H, x, y = i I x, x i y, x i.

12 Processo de Ortogonalização Sejam E um espaço com produto interno e (x n ) n uma sequência de vetores linearmente independentes em E. Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Existe uma sequência ortonormal (e n ) n em E tal que para todo n N, [x 1,..., x n ] = [e 1,..., e n ]. Corolário Existe uma sequência ortonormal (e n ) n em E tal que [x n ; n N] = [e n ; n N].

13 Processo de Ortogonalização Teorema Um espaço de Hilbert H de dimensão infinita é separável se, e somente se, existe em H um sistema ortonormal completo enumerável. Teorema de Riesz-Fischer Todo espaço de Hilbert separável de dimensão infinita é isometricamente isomorfo a l 2. Teorema Todo espaço de Hilbert contém sistemas ortonormais completos.

14 Teoria Espectral Sejam V um espaço vetorial e T : V V um operador linear. λ K é um autovalor det existe x V,v 0; T (x) = λx; V λ = {x V ; T (x) = λx} é dito autoespaço associado ao autovalor λ. Sabemos que quando V tem dimensão finita: λ é autovalor de T ker(t λi ) {0} T λi não é injetora T λi não é bijetora (T λi ) 1 não existe

15 Espectro de Operadores Contínuos Sejam E um espaço normado e T L(E, E). λ não é autovalor (T λi ) 1 é linear e injetora (T λi ) é sobrejetora? (T λi ) 1 é contínua? λ é um valor regular de T quando (T λi ) é bijetora e sua inversa é contínua. ρ(t ) é o conjunto dos valores regulares de T chamado de conjunto resolvente de T. σ(t ) = K ρ(t ) é chamado de espectro de T. E um espaço de Banach ρ(t ) = {λ K ; (T λi ) é bijetora}

16 Espectro de Operadores Contínuos Exemplo O operador T L(l 2, l 2 ) definido por T ((a n ) n ) = (0, a 1, a 2,...) para todo (a n ) n l 2 não possui autovalores. Além disso, T é injetora porém não é bijetora. Portanto 0 σ(t ) e não é autovalor. Teorema Sejam E um espaço de Banach e T L(E, E). Então o espectro de T é um compacto de K. Além disso, σ(t ) {λ K ; λ T }.

17 Operadores Compactos Um operador T : E F entre espaços normados é dito compacto quando satisfaz uma (e, portanto, todas) das afirmações a seguir: T (B E ) é compacto em F ; T (A) é compacto em F para todo limitado A em E; Para toda sequência limitada (x n ) n em E, a sequência (T (x n )) n tem subsequência convergente em F. Operadores Integrais são compactos! K : [a, b] [c, d] C uma função contínua e T : C[a, b] C[c, d] definido por T (f )(t) = b a K(s, t)f (s) ds para todo t [c, d]. K é chamada de núcleo do operador integral T.

18 Teoria Espectral de Operadores Compactos Proposição Sejam E um espaço de Banach, T : E E um operador compacto e λ 0. Então (a) V λ = ker(t λi ) tem dimensão finita. (b) (T λi )(E) é fechado em E. (c) (T λi ) é injetora se, e somente se, é sobrejetora. Teorema Espectral para Operadores Compactos O espectro de um operador compacto T : E E em um espaço de Banach E é enumerável, podendo ser finito, e o único ponto de acumulação possível é o zero.

19 Operadores Autoadjuntos Sejam H um espaço de Hilbert (complexo) e T L(H, H). Dizemos T é autoadjunto quando satisfaz para todos x, y H. Proposição T (x), y = x, T (y) Sejam H um espaço de Hilbert e T L(H, H) um operador autoadjunto. Então T = sup{ T (x), x ; x = 1}.

20 Teoria Espectral de Operadores Autoadjuntos Proposição Sejam H um espaço de Hilbert e T L(H, H) um operador autoadjunto. Então: (a) Os autovalores de T são números reais. (b) Se λ e µ são autovalores distintos de T, então V λ V µ. Teorema Seja H um espaço de Hilbert. O espectro σ(t ) de um operador autoadjunto T L(H, H) é real.

21 Teoria Espectral de Operadores Autoadjuntos Proposição Sejam H um espaço de Hilbert e T L(H, H) um operador não-nulo, compacto e autoadjunto. Então T ou T é um autovalor de T associado ao qual existe um autovetor x H tal que x = 1 e T (x), x = T. Corolário Sejam H um espaço de Hilbert e T L(H, H) um operado compacto e autoadjunto. Então: (a) σ(t ). (b) Se σ(t ) = {0}, então T = 0.

22 Teoria Espectral de Operadores Autoadjuntos Decomposição Espectral de Operadores Compactos e Autoadjuntos Sejam H um espaço de Hilbert e T L(H, H) um operador compacto e autoadjunto. Então H admite um sistema ortonormal completo formado por autovetores de T. Mais ainda, existem sequências (finitas ou infinitas) de autovalores (λ n ) n de T e de vetores (v n ) n tais que cada v n é autovetor associado a λ n e T (x) = n λ n x, v n v n.

23 Referências Bibliografia G. Botelho, D. Pellegrino & E. Teixeira, Fundamentos de Análise Funcional, Textos Universitários, SBM, 2012 J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Graduate texts in mathematics 96, Springer, 1990.

24 OBRIGADO!!!