O TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES AUTO-ADJUNTOS

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1 O TEOEMA ESPECTAL PAA OPEADOES AUTO-ADJUNTOS Mariane Pigossi, oberto de A. Prado, Depto. de Matemática e Computação, FCT, UNESP, , Presidente Prudente, SP marianepigossi@gmail.com, robertoprado@fct.unesp.br esumo: O presente trabalho tem como objetivo estudar o teorema espectral para operadores auto-adjuntos, que é um resultado fundamental da Análise Funcional, o qual afirma que para cada operador auto-adjunto T definido num espaço de Hilbert H, corresponde uma única resolução da identidade P T. Na Álgebra Linear o mesmo garante a existência de uma base ortonormal de autovetores, o que implica que o operador é diagonalizável. Discutiremos uma aplicação desse teorema para operadores puramente pontuais. Palavras-chave: Medida Espectral, Operadores auto-adjuntos, Operadores puramente pontuais, esolução da Identidade, Teorema espectral 1 Introdução O teorema espectral para operadores auto-adjuntos fornece uma importante representação espectral para esses operadores. Esse teorema também reduz muitas questões sobre operadores auto-adjuntos para questões sobre operadores de multiplicação, onde a situação fica mais transparente. Na seção 2 apresentamos algumas definições importantes e resultados preliminares. Na seção 3 apresentamos o resultado principal desse trabalho, que é o Teorema Espectral, e aplicamos para operadores puramente pontuais. Na seção 4 finalizamos o trabalho com uma breve conclusão. 2 Definições e Preliminares Nesta seção apresentamos alguns conceitos e resultados preliminares necessários para o desenvolvimento desse trabalho, os quais podem ser encontrados na referência [1]. Definição 1. Um operador linear T : domt H H, com domt subconjunto denso de H, é auto-adjunto se < T η, >=< η, T >, η, domt. Denotemos por B(H) o conjunto dos operadores lineares limitados de H em H e escrevemos P roj(h) para indicar o conjunto dos operadores de projeção ortogonal sobre o espaço de Hilbert H, isto é, P 0 P roj(h) se, e somente se, P 0 B(H), é auto-adjunto e P 2 0 = P 0. Considere A uma σ-álgebra de Borel em. Para cada par de conjuntos disjuntos Λ j escrevemos j Λ j para indicar a união desses conjuntos, e denotemos por χ Λ a função característica do conjunto Λ. Bolsista de Mestrado FAPESP 164

2 Definição 2. Uma resolução da identidade sobre H é uma aplicação P : A P roj(h) que satisfaz i) P () = I; ii) Se Λ = j=1 Λ j, com Λ j A para todo j, então P (Λ) = s lim n j=1 n P (Λ j ), ou seja, n j=1 P (Λ j) converge fortemente para P (Λ). Definição 3. Dada uma resolução da identidade P, para cada H associa-se uma medida de Borel positiva finita µ : A [0, ) definida por µ (Λ) :=, P (Λ). Dizemos que µ é a medida espectral da resolução da identidade P associada a H. Dada uma função de Borel f : C, definimos o operador P (f) = f(t)dp (t) = fdp. Note que P (χ Λ ) = P (Λ). Temos também que P (f) é um operador limitado, pois ( ) P (f) 2 = f(t) 2 dµ (t) = f 2 L sup f(t) 2 2, H. 2 µ t Teorema 1. Seja P uma resolução da identidade. Para cada função de Borel a valores reais f : o operador P (f) é auto-adjunto. Para a demonstração do Teorema 1 veja Seção 8.2 de [1]. Dados uma resolução da identidade P e H, considere { } H := P (f) : f L 2 µ (). Temos que H é um subespaço vetorial fechado de H. Definição 4. Dizemos que H é o subespaço cíclico gerado por para P, e se H = H então é chamado de vetor cíclico para P. Dados H e P, considere o operador U : H L 2 µ () definido por U (P (f)) := f. Então U (P (f)) 2 L = f 2 dµ 2 = P (f) 2. µ Logo U é uma isometria sobre L 2 µ (), e portanto, um operador unitário entre tais espaços. Além disso, para η H, existe uma função g L 2 µ () com η = P (g), e o operador inverso U 1 : L 2 µ () H safisfaz U 1 (g) = P (g). Como P (fg) é uma extensão de P (f)p (g) temos que ( isto é, U P (f)u 1 ) g = U P (f)p (g) = U P (fg) = fg = M f g, U P (f)u 1 = M f, 165

3 onde M f : dom M f L 2 µ () L 2 µ () é o operador de multiplicação por f, definido por M f g = fg, com domínio { } dom M f := g L 2 µ () : fg L 2 µ (). Mostramos assim que P (f) é unitariamente equivalente ao operador de multiplicação M f em L 2 µ (). esumindo temos: Teorema 2. Se a resolução da identidade P possui um vetor cíclico H, então existe um operador unitário U : H L 2 µ () tal que U P (f) U 1 = M f. Além disso, U () = 1 é um vetor cíclico para P em L 2 µ (). Definição 5. Uma família ortogonal maximal de vetores { j } j J H com H j H k, se j k, é chamada uma base espectral de P. Dizemos que P tem espectro simples se possui um vetor cíclico. Observação Pelo Lema de Zorn, independentemente da dimensão de Hilbert de H, uma base espectral sempre existe e, se { j } j J é uma base espectral, então H = j J H j. 2. A soma direta de operadores unitários é um operador unitário e a soma direta de operadores de multiplicação é também um operador de multiplicação. Se ( j ) N j=1, com N N { }, é uma base espectral ortonormal enumerável de P (supondo H separável), definimos a medida µ := N j=1 1 µ 2 j j de modo que L 2 µ ( {1, 2,..., N}) = N j=1 L2 µ j (). Teorema 3. Para cada resolução da identidade P, sobre o espaço de Hilbert separável H, existe uma base espectral enumerável ( j ) N j=1, com N N { } e j = 1, tal que H = N 2 j j=1 H j e o operador unitário U := N j=1 U j : H N j=1 L2 µ j () satisfaz UP (f)u 1 = M f, sendo M f = N j=1 M f um operador de multiplicação atuando em N j=1 L2 µ j (), para toda função de Borel f : C. Seja P uma resolução da identidade sobre H e considere a função de Borel h :, h(t) = t. Assim, definimos o operador auto-adjunto T := P (h) = t dp (t). (1) O Teorema Espectral (veja Teorema 4 a seguir) nos diz que todo operador auto-adjunto pode ser representado da forma (1). 3 esultado e Aplicação Nesta seção apresentamos o teorema espectral e uma aplicação desse resultado para operadores puramente pontuais. Para comentários e referências sobre a sua demonstração veja Seção 8.5 de [1]. Teorema 4. (Teorema Espectral) Para cada operador auto-adjunto T : domt H H corresponde uma única resolução da identidade P T sobre H, tal que T = t dp T (t). Assim, cada operador auto-adjunto T é unitariamente equivalente ao operador de multiplicação M h, h(t) = t, atuando em L 2 µ ( {1, 2,..., N}), µ uma medida de probabilidade. 166

4 Definição 6. A medida µ T, definida por meio de P T, é chamada medida espectral de T. Dizemos que T possui um espectro simples se P T possui espectro simples. Dado um operador auto-adjunto T : domt H H, pelo teorema espectral podemos definir f(t ) := P T (f) para funções de Borel f : C. Aplicação 1. (Operadores puramente pontuais) Seja T um operador auto-adjunto em H e ( j ) j uma base ortonormal de H composta de autovetores de T correspondendo aos autovalores λ j, isto é, T j = λ j j, j = 1. Tais operadores são ditos puramente pontuais. Suponha que λ j λ k se j k, e denote por P j a projeção ortogonal sobre o subespaço unidimensional gerado por j. Para um conjunto de Borel Λ a aplicação P T (Λ) = λ j Λ P j define a resolução da identidade de T. De fato, como P j P k = δ k,j P j segue que P T (Λ) é uma projeção ortogonal. Cada H pode ser escrito como = j a j j, com 2 = j a j 2, de modo que P j = a j j e se domt tem-se T = j λ ja j j = j λ jp j. Assim, T = j Para funções contínuas f : C tem-se λ j P j = t dp T (t). f(t ) = j f(λ j )P j f(t ) = j f(λ j )a j j. Especialmente, T = f(h), h(t) = t, o que confirma que a resolução da identidade acima é de fato a resolução da identidade de T. As medidas espectrais são µ T (Λ) =, P T (Λ) = λ j Λ a j 2 δ λj = j a j 2 δ λj (Λ), onde δ λj denota a medida de Dirac em λ j. Se λ k Λ and se λ j / Λ para j k, então a probabilidade de uma medição de T resultando em um valor em Λ é µ T (Λ) = a k 2 ; em outras palavras, a k 2 é a probabilidade de λ k ser o valor medido de T. É também interpretado como a probabilidade do sistema ser encontrado no estado j na medição; isto é chamado uma redução quântica do estado para j. Note que tal interpretação é compatível com a expressão λ j a j 2 j para o valor esperado de T. Mais geralmente, j f(λ j) a j 2 é o valor esperado de f(t ). 4 Conclusão Neste trabalho estudamos o teorema espectral para operadores auto-adjuntos, o qual fornece uma representação espectral para esses operadores, podendo ser vistos como operadores de multiplicação num certo L 2 µ ( {1, 2,..., N}). Vimos também uma importante aplicação desse resultado para operadores puramente pontuais. 167

5 eferências [1] DE OLIVEIA, C..: Intermediate Spectral Theory and Quantum Dynamics; Birkhaüser, Basel, v. 54, Progress in Mathematical Physics (2008). 168