MCTB Álgebra Linear Avançada I Claudia Correa Exercícios sobre transformações lineares. Os Exercícios 3 e 4 são os exercícios bônus dessa lista.

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1 MCTB Álgebra Linear Avançada I Claudia Correa Exercícios sobre transformações lineares Os Exercícios 3 e 4 são os exercícios bônus dessa lista. Definição 1. Dados conjuntos X e Y, uma função ϕ : X Y e A um subconjunto de Y, a pré-imagem de A por ϕ é definida como o subconjunto de X formado por todos os elementos x de X tais que ϕ(x) A e é denotada por ϕ 1 [A]. Mais precisamente: ϕ 1 [A] = {x X : ϕ(x) A}. Definição 2. Se V é um espaço vetorial sobre um corpo K, S é um subconjunto de V e v 0 V, definimos o seguinte subconjunto de V : S + v 0 = {v + v 0 : v S}. Dizemos que S + v 0 é o transladado de S por v 0. Tentem fazer um desenho para entender o que é S + v 0. Observação 1. Note que se W é um subespaço vetorial de V, em geral temos que: W + v 0 W + span{v 0 }. Sempre vale que W + v 0 W + span{v 0 }. É fácil ver que a outra inclusão vale se, e somente se, W + v 0 é um subespaço de V. Exercício 1. Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e T : V W uma transformação linear. Fixado w ImT, mostre que: T 1 [{w}] = KerT + v 0, onde v 0 é algum vetor de V satisfazendo T (v 0 ) = w. Observação 2. O Exercício 1 acima esclarece o motivo pelo qual olhamos somente para KerT = T 1[ {0} ] e não para a pré-imagen por T de outros vetores de W, no caso em que T é uma transformação linear. Esse exercício nos diz que se soubermos o kernel de uma trasformação linear, a pré-imagem de qualquer outro ponto da imagem é apenas um transladado desse kernel. Exercício 2. Seja V o conjunto formado por todas a sequências de números reais. Mais precisamente: V = {(x n ) n 0 : x n R, para todo n 0}. Defina em V as seguintes operações: (x n ) n 0 (y n ) n 0 = (x n + y n ) n 0 e λ (x n ) n 0 = (λ x n ) n 0, 1

2 para todos (x n ) n 0 e (y n ) n 0 em V e todo λ R. Note que as operações do lado direito das equações são as operações canônicas de R. Considere a função T : V V definida como: T ( (x n ) n 0 ) = (yn ) n 0, onde y 0 = 0 e y n = x n 1, para todo n 1. Mostre que valem: (1) V é um espaço vetorial sobre R, se munido das operações definidas acima. (2) T é uma transformação linear. (3) T é injetora. (4) T não é sobrejetora. (5) Conclua que V não tem dimensão finita, usando os itens anteriores. Exercício 3. Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e T : V W uma transformação linear. Considere um subconjunto S de V e mostre que: (1) Se S é um conjunto de geradores de V, então o conjunto {T (v) : v S} é um conjunto de geradores da imagem de T. (2) Se S é LI e T é injetora, então o conjunto {T (v) : v S} é LI. Usando os itens (1) e (2) acima, conclua que um isomorfismo leva bases do domínio em bases do contra-domínio. Finalmente, conclua que se V e W têm dimensão finita e T é um isomorfismo, então eles têm a mesma dimensão. Definição 3. Dado um espaço vetorial V sobre um corpo K, uma transformação linear P : V V é dita uma projeção se P P = P, onde denota a composição de funções. Exercício 4. Sejam V um K-espaço vetorial e P : V V uma projeção. Mostre que V = ImP KerP. Ou seja, uma projeção gera uma decomposição em soma direta do espaço. Por outro lado, sejam W e U subespaços de V e suponha que V = W U. Mostre que existe uma projeção P : V V tal que KerP = U e ImP = W. Ou seja, uma decomposição em soma direta do espaço dá origem a uma projeção. Observação 3. Tendo em vista o Exercício 4 acima e a Definição 2 da lista sobre bases e somas de subespaços, concluímos que um subespaço W de um espaço vetorial V é complementado se, e somente se, existe uma projeção P : V V tal que ImP = W. Nesse caso, um complementar de W é dado pelo KerP. Exercício 5. Considere os seguintes conjuntos: c = { (x n ) n 0 : x n R, n 0 e a sequência (x n ) n 0 é convergente em R } 2

3 c 0 = { (x n ) n 0 c : a sequência (x n ) n 0 converge para 0 }. Mostre que c é um espaço vetorial sobre R, se munido das operações coordenada a coordenada e que c 0 é um subespaço desse espaço. Considere a função T : c c 0 definida como T ( (x n ) n 0 ) = (yn ) n 0, onde y 0 é o limite de (x n ) n 0 e y n = x n 1 y 0, para todo n 1. (1) Mostre que T está bem definida, é linear e bijetora. (2) Conclua que c e c 0 são isomorfos. (3) Mostre que c 0 é um subespaço próprio de c. (4) Conclua que c não tem dimensão finita, usando os itens anteriores. Exercício 6. Sejam K um corpo e (V, +, ) um espaço vetorial sobre K. Se Y é um conjunto e ϕ : V Y é uma bijeção, então podemos definir operações : Y Y Y e : K Y Y através de ϕ da seguinte forma: y 1 y 2 = ϕ ( ϕ 1 (y 1 ) + ϕ 1 (y 2 ) ), y 1, y 2 Y λ y = ϕ ( λ ϕ 1 (y) ), λ K e y Y, onde ϕ 1 : Y V denota a função inversa de ϕ. Mostre que: (1) (Y,, ) é um espaço vetorial sobre K; (2) ϕ : V Y é um isomorfismo, se Y está munido das operações e ; Observação 4. No texto sobre estruturas algébricas, usamos a mesma técnica apresentada no Exercício 6 para munir o conjunto dos números inteiros de uma estrutura de corpo, usando uma bijeção entre o corpo dos racionais e o conjunto dos números inteiros (veja Lema 1 e Exercício 1 do texto complementar sobre estruturas algébricas). Exercício 7. Seja W o seguinte subespaço vetorial de R[X]: W = {p R[X] : grau p é menor ou igual a 2} e considere também duas bases ordenadas B = (u i ) 3 i=1 e C = (w i) 3 i=1 de W, onde: u 1 = 1, u 2 = x, u 3 = x 2 e w 1 = 1, w 2 = x + 4, w 3 = (x + 4) 2. Determine as coordenadas de um polinômio p = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 com respeito à base ordenada B e com respeito à base ordenada C. Determine a matriz de mudança de base entre as bases ordenadas B e C. Observação 5. Intuitivamente, podemos pensar que diferentes bases ordenadas num espaço vetorial proporcionam diferentes endereços para um mesmo vetor do espaço, onde o endereço de um vetor com respeito a uma base ordenada são suas coordenadas com respeito à essa base. A analogia fica clara quando se pensa que dadas as coordenadas de um vetor do espaço com e 3

4 4 respeito a uma base ordenada, descobrimos que vetor é esse usando o isomorfismo induzido por essa base ordenada entre o espaço e o K n correspondente. Por exemplo, no Exercício 7 se as coordenadas de um polinômio p com respeito à base ordenada C são (6, 2, 5), então p = (x + 4) + 5 (x + 4) 2. Definição 4. Dados V e W espaços vetoriais sobre um corpo K. Definimos: L(V, W ) = {T : V W tal que T é transformação linear}. Defina também as seguintes operações em L(V, W ): T S L(V, W ) dada por (T S)(v) = T (v) + S(v), v V e λ T L(V, W ) dada por (λ T )(v) = λ T (v), v V, para todas T e S em L(V, W ) e todo λ em K. Exercício 8. Mostre que as operações descritas na Definição 4 estão bem definidas, i.e., que se T e S pertencem a L(V, W ) e λ pertence a K, então T S e λ T pertencem a L(V, W ). Mostre também que L(V, W ) é um espaço vetorial sobre K, se munido dessas operações. Exercício 9. Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo K. Fixadas bases ordenadas B e C de V e W, respectivamente, mostre que a função ϕ : L(V, W ) M m n (K) definida como ϕ(t ) = [T ] BC, para toda T L(V, W ) é um isomorfismo, onde n denota a dimensão de V e m denota a dimensão de W e L(V, W ) está munido das operações descritas na Definição 4. Utilize isso para determinar uma base de L(V, W ), assim como sua dimensão. Exercício 10. Denote por F o subconjunto do conjunto das funções de R em R formado pelas funções f : R R tais que existem números reais a 0, a 1,..., a 4 satisfazendo: f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4, x R. Mostre que se o espaço de todas as funções reais está munido das operações canônicas, então F é um subespaço desse espaço. Seja T : F F a função definida como: onde f denota a derivada de f. T (f) = f, f F, (1) Mostre que T está bem definida e é linear. Determine o kernel e a imagem de T. (2) Determine a matriz de T com respeito à base ordenada B = (f i ) 5 i=1, onde f 1 denota a função constantemente igual a 1 e f i denota a função dada por f i (x) = x i 1, para todo x R e para todo 2 i 5. Em outras palavras, determine [T ] B.

5 (3) Determine a matriz de T com respeito à base ordenada C = (g i ) 5 i=1, onde g 1 denota a função constantemente igual a 1 e g i denota a função dada por g i (x) = (x + 3) i 1, para todo x R e para todo 2 i 5. (4) Determine a matriz invertível P M 5 (R) tal que: [T ] B = P [T ] C P 1. 5