obs: i) Salvo menção em contrário, anel = anel comutativo com unidade. ii) O conjunto dos naturais inclui o zero.

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1 Lista 1 - Teoria de Anéis Professor: Marcelo M.S. Alves Data: 03/09/2013 obs: i) Salvo menção em contrário, anel = anel comutativo com unidade. ii) O conjunto dos naturais inclui o zero. 1. Os conjuntos abaixo são candidatos a anéis (possivelmente não comutativos). Verifique se a soma e produto indicadas em cada item definem realmente uma operação no conjunto; nos casos em que funciona, verifique se temos realmente um anel. (a) N com soma e multiplicação usuais. (b) A = {±2 n ; n N}, com soma e produto usuais. (c) O conjunto dos complexos imaginários puros I = {bi; b R}, com soma e produto de números complexos. (d) o conjunto Z[ 3] = {a + b 3; a, b Z} 2. Verifique que o conjunto das matrizes 2 2 diagonais com entradas em R é um anel (comutativo com unidade) que não é um domínio de integridade. 3. Seja m um número natural, m > 1, que não é o quadrado de outro natural. (a) Mostre que o conjunto Z[ m] = {a+b m; a, b Z} é um subanel de R. Conclua daí que Z[ m] é um anel comutativo e, mais ainda, que é um domínio (de integridade). (b) Uma pequena variação do anterior: considere Q[ m] = {a+b m; a, b, Q}. Mostre que este conjunto é um anel (novamente, para fazer isso basta mostrar que é subanel de R...). Esse anel é um corpo? (c) Verifique que o conjunto A = {a + b 3 2; a, b Z} não é subanel. Como você pode consertar este exemplo e obter um subanel de R, bem pequeno, que contém A? 4. Mostre que Q[ 2, 3] = {a+b 2+c 3+d 6; a, b, c, d Q} é um anel (mesma sugestão do exercício anterior: basta provar que é subanel de um anel). Baseado neste exercício e nos anteriores, dê a forma dos elementos do menor subanel de C que contém 2 e i (e prove que é realmente um subanel). 5. Mostre que o conjunto I = {a + b 3; a, b, Z, 3 a} é um ideal de Z[ 3]. 6. Mostre que o conjunto I = {6x + 9y; x, y Z} é um ideal de Z. 7. Generalizando o item anterior: se α 1,..., α n são elementos de um anel A, mostre que o conjunto I = {α 1 x α n x n ; x i A} é um ideal de A. 8. Seja A um anel. Mostre, sem utilizar a unidade do anel, que (a) a + b = a + c implica em b = c

2 (b) 0 a = 0, a A (c) (ab) = ( a)b = a( b), (d) ( a)( b) = ab, (e) a(b c) = ab ac, (f) (a b)c = ac bc, a, b A a, b A a, b, c A a, b, c A 9. Mostre que se a é um elemento de um anel A, então (a) a = ( 1)a (b) ( 1)( 1) = 1 (c) ( 1)( a) = a 10. Seja A um domínio de integridade. Mostre que (a) a 2 = 1 implica em a = 1 ou a = 1 (sugestão: produto notável...) (b) Mais geralmente, a 2 = b 2 implica em a = b ou a = b. (c) Se a 3 = a então a = 0, 1 ou 1. (d) Para ver que a hipótese de ser domínio é mesmo importante, procure contra-exemplos para as afirmações dos itens anteriores no anel do exercício 2 (que não é um domínio). 11. Seja A um anel. Mostre que A é um domínio de integridade se e somente se não possui divisores de zero, isto é, 12. Seja A um subanel de R. se ab = 0 então a = 0 ou b = 0. (a) Mostre que A contém Z. Sugestão: 1 A por definição, e já vimos que 0 também está em A. Por que 2 está em A? Continue por indução. (b) Mostre que A é um domínio. Generalizando, mostre que um subanel de um domínio é um domínio também. (c) Mostre que se A é um subcorpo de R então A contém Q. 13. Seja A um anel. Definimos recursivamente potências (com expoente natural positivo) de elementos de A pelas regras: a 1 = a a (n+1) = a n a de modo menos formal, a n é o produto de a por si mesmo n vezes. Mostre que para todos m, n, naturais, m, n > 0, e todos a, b A, (a) a m+n = a m a n (sugestão: fixe m e faça indução em n) (b) (ab) m = a m b m (note que isso não é verdade se A não é comutativo!) (c) (a m ) n = a mn (d) (a + b) n = a n + b n + n 1 k=1 ( n ) k a k b n k (sugestão: veja a prova para números reais). (e) Como fica (a + b) 2 se A não é comutativo e, em particular, a e b não comutam (isto é, ab ba)? E (a + b) n, em geral?

3 Lista 2 - Teoria de Anéis Professor: Marcelo M.S. Alves Data: 17/09/ Sejam I um intervalo da reta, x 0 um ponto de I (fixado). Seja A o conjunto de todas as funções de I em R que têm limite quando x tende para x 0. (a) Prove que A é um subanel do anel das funções de I em R. (b) Mostre que o conjunto J = {f A; lim x x0 f(x) = 0} é um ideal de A. (c) Mostre que a aplicação ϕ : A R dada por ϕ(f) = lim x x0 f(x) é um homomorfismo sobrejetor. 2. Sejam A um anel e a um elemento de A. (a) Mostre que o conjunto a = {ax; x A} é um ideal de A. (b) Seja I um ideal de A e seja a I. Mostre que a I. (por exemplo, 4 2Z e 4Z 2Z). (c) Generalizando, dados a 1, a 2,..., a n A, mostre que o conjunto das combinações dos a i s a 1, a 2,..., a n = {a 1 x 1 + a 2 x a n x n ; x i A} é um ideal de A. Mostre também que este ideal é o menor ideal de A que contém estes elementos, ou seja, se um ideal I contém cada a i então I a 1, a 2,..., a n. 3. Sejam a, b elementos de um anel A. (a) Mostre que a b se e somente se b a. (b) Suponha que A é um domínio. Mostre que a = b se e somente se b = ua, com u invertível em A. 4. Seja A um anel. (a) Mostre que se I é um ideal de A que contém um elemento inversível, então I = A. (b) Usando o item anterior, mostre que A é um corpo se e somente se A possui apenas dois ideais, 0 e A. 5. Mostre que se I e J são ideais então I + J e I J também são ideais. 6. Tendo em mente o isomorfismo de Q( 2) com o corpo das matrizes da forma [ a 2b ] b a encontre um isomorfismo de Q( m) com um corpo de matrizes 2 2 com entradas racionais.

4 7. Mostre que a aplicação f : Z[i] Z 5 a + bi a + 3b é um homomorfismo sobrejetor. Determine seu núcleo (resolva primeiro em Z 5, depois reinterprete em Z e Z[i]). 8. Mostre que existe um homomorfismo f : Z[i] Z m se e somente se existe α Z m tal que α 2 = 1. (Sabe-se que 1 é um quadrado em Z p (p primo) se e somente se p 1 mod 4; portanto, existem infinitos exemplos de homomorfismos como o do exercicio 7). 9. Sejam A e B anéis, sejam a 0, a 1,..., a n A, α A, e suponha que a 0 +a 1 α+ +a n α n = 0. (a) Mostre que se ϕ : A B é um homomorfismo então ϕ(a 0 ) + ϕ(a 1 )ϕ(α) + + ϕ(a n )ϕ(α) n = 0. (b) Suponha que Z é subanel de ambos A e B e que a i Z para todo i. Mostre que a 0 + a 1 ϕ(α) + + a n ϕ(α) n = 0 (dica: por definição, ϕ(1) = 1. Prossiga por indução para mostrar que ϕ(m) = m para todo m Z). (c) Estenda este resultado para Q A, B no lugar de Z isto é, mostre que ϕ(m/n) = m/n para todo m/n Q. Sugestão: basta provar que ϕ(1/n) = 1/n, pois m/n = m(1/n). (d) Conclua do item (c) que se B R não existe homomorfismo ϕ : Z[i] B. 10. Seja ϕ : A B um homomorfismo. Nos itens abaixo, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa; se for verdadeira, prove, e se for falsa, dê um contraexemplo. (a) Se a A tem inverso em A então ϕ(a) tem inverso em B. (b) Se ϕ(a) tem inverso em B então a tem inverso em A. (c) Se a A é nilpotente então ϕ(a) B é nilpotente (dizemos que a é nilpotente se existe n > 0 tal que a n = 0). (d) Se ϕ(a) A é nilpotente então a A é nilpotente. (e) Se A tem divisores de zero então B tem divisores de zero. (f) Se B tem divisores de zero então A tem divisores de zero. (g) Se A é domínio de integridade então B também é. (h) Se B é domínio de integridade então A também é. 11. (conjugação) (a) Mostre que a conjugação complexa é um homomorfismo bijetor de C em C.

5 (b) Seja m um inteiro positivo que não é quadrado perfeito e seja Q( m) = {a + b m; a, b Q}. Mostre que a conjugação é um isomorfismo. σ : Q( m) Q( m) a + b m a b m (c) Mostre que os únicos homomorfismos de Q( m) em si mesmo são a identidade e a aplicação σ do item anterior (use o exercício 9). 12. Quais são os homomorfismos de Z[i] em Z[i]? (sugestão: veja o exercício 9). 13. Homomorfismos entre anéis de inteiros módulo m. (a) Mostre que existe no máximo um homomorfismo ϕ : Z m Z n. (b) Dê uma condição necessária e suficiente em m e n para que exista um homomorfismo ϕ : Z m Z n. (c) Mostre que não existe homomorfismo ϕ : Z n Z para nenhum n. 14. Seja M 2 (Z) o anel das matrizes 2 2 com entradas inteiras. (a) Mostre que a aplicação é um homomorfismo injetor. ϕ : Z[ 2] M 2 (Q) a + b [ ] a 2b 2 b a (b) Use o item anterior para concluir que o anel das matrizes com entradas em Z da forma [ a ] 2b b a é um anel, que é isomorfo a Z[ 2]. Qual o elemento que corresponde a 2? Ele é mesmo raiz de 2 em algum sentido? (primeiro veja quem seria o 2 em M 2 (Z)). (c) Note que com o isomorfismo do item anterior conseguimos obter uma nova versão de Z[ 2] que só usa números inteiros (não precisamos mais de 2)...tente generalizar esta idéia para Z[ m]. (d) Use as mesmas idéias para mostrar que o corpo C é isomorfo a um anel de matrizes reais, isto é, a um subanel de M 2 (R) (que também não usa mais a unidade imaginária i). 15. (corpo de 4 elementos) O corpo F 4 é o conjunto F 4 = {a + bα; a, b Z 2 } com soma feita coordenada a coordenada, e produto definido pela equação α 2 = 1 + α. Este anel não é igual a Z 4 (não é nem isomorfo a Z 4 ; por quê?) Usando o que foi feito para Q( m), encontre uma bijeção de F 4 com um conjunto B de matrizes 2 2 com entradas em Z 2. Mostre que B é subanel comutativo do anel de matrizes M 2 (Z 2 ), e mostre ainda que B é um corpo (faça as contas diretamente com as matrizes, sem fazer referência a F 4 ).

6 16. Dizemos que uma propriedade é preservada por isomorfismos se, toda vez que ela vale em um anel, vale em todo anel isomorfo a ele. Decida quais das propriedades abaixo são preservadas por isomorfismos. (a) A tem divisores de zero. (b) A é subanel de R. (c) A é um anel de matrizes. (d) O número de elementos de A, quando A é finito. (e) A tem elementos nilpotentes diferentes de zero (um elemento a A é nilpotente se existe n positivo tal que a n = 0). (f) A é um corpo. (g) A é um domínio de integridade. 17. Use os exercícios 9, 10 e 16 para provar que os anéis abaixo não são isomorfos. (a) Z 3 Z 3 e Z 9. (b) Z e Q. (c) Z[i] e Z[ 2].

7 Lista 3 - Teoria de Anéis Professor: Marcelo M.S. Alves Data: 10/10/2013 Nesta lista K sempre indicará um corpo. 1. Efetue as divisões indicadas a seguir em K[x] (todas são exatas). (a) x n α n por x α, onde α K. (b) x n 1 por x n 1 + x n x + 1. (c) x nm 1 por x n 1. (d) x n + 1 por x 1, para n ímpar. 2. Efetue as divisões indicadas a seguir. (a) x 5 x 3 + 3x 4 por 2x em Z 5 [x]. (b) x 5 x 3 + 3x 5 por x em Q[x]. (c) f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 por x α no corpo K. (o resto é conhecido pela teoria, mas o quociente é bem mais complicado. Procure encontrar um padrão, e aí prove por indução em n) 3. Seja D um domínio. Mostre que f(x) D[x] tem inverso se e somente se f(x) é constante, f(x) = c, com c invertível em D. (para a ida, suponha que existe g(x) tal que f(x)g(x) = 1 e use as propriedades da função grau) 4. Verifique que (2x + 1) 2 = 1 em Z 4 [x], ou seja, 2x + 1 é invertível em Z 4 [x]. Por que isso não contradiz o item anterior? 5. Prove que A é um domínio se e somente se vale a equação (fg) = (f) + (g) para quaisquer f e g não-nulos em A[x]. Sugestão: volte na demonstração desta equação no caso em que A é domínio e veja, precisamente, o que é necessário para esta equação funcionar. 6. Seja p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n Z[x] um polinômio de grau n 1. (a) Mostre que se k Z é uma raiz de p(x) então k divide a 0. (b) Mostre que se a fração reduzida c/d Q é uma raiz de p(x) então d divide a n e c divide a 0. sugestão para ambos os itens: substitua as raízes no polinômio, coloque termos adequados em evidência, use resultados de teoria de números

8 7. Mostre que se α 1, α 2,..., α r são as raízes distintas de p(x) K[x] {0} então p(x) = (x α 1 ) (x α r )h(x), para algum h(x) K[x] (sugestão: indução no grau de p(x)). Use isso para mostrar que p(x) tem no máximo n raízes distintas em K, sendo n o grau de p(x). 8. A relação obtida nos itens anteriores entre número de raízes distintas e grau do polinômio pode não valer quando os coeficientes não moram em um domínio. Verifique que o polinômio f(x) = x 2 Z 9 [x] tem mais que 2 raízes distintas em Z Melhorando o resultado de (7), você irá considerar raízes com multiplicidade neste exercicio. Se α K é raiz de p(x), diremos que sua multiplicidade é m 1 se e somente se (x α) m p(x) e (x α) m+1 p(x). Mostre que se α 1, α 2,..., α r são as raízes distintas de p(x) em K com multiplicidades m 1,..., m r respectivamente, então p(x) = (x α 1 ) m1 (x α r ) mr t(x), para algum t(x) K[x]. Conclua que m m r (p(x)). 10. Seja D um domínio. Prove que se g(x) D[x] tem coeficiente líder invertível então ainda é possível dividir por g(x) com resto, isto é: Dado f(x) D[x], existem q(x) e r(x) em D[x] tais que f(x) = q(x)g(x) + r(x) com r(x) = 0 ou (r(x)) < (g(x)). (reveja a prova que foi feita para K[x]) O quociente e resto são únicos? 11. Seja D um domínio. Usando o item (10), (a) Mostre que para p(x) D[x] {0} e α D, vale que (x α) p(x) se e somente se p(α) = 0. (b) Mostre que se α 1, α 2,..., α r são as raízes distintas de p(x) em D com multiplicidades m 1,..., m r respectivamente, então p(x) = (x α 1 ) m1 (x α r ) mr t(x), para algum t(x) D[x]. Conclua que m m r (p(x)). 12. Sendo α um número real positivo, determine a fatoração de p(x) = x n α em C[x]. 13. Encontre as fatorações de x 4 4 em Q, R e C. 14. Encontre as fatorações de x 4 2 em Q, R e C. 15. O Teorema Fundamental da tem uma raiz em C. Álgebra diz que todo polinômio não-constante f(x) C[x] (a) Use isso para mostrar que todo polinômio f(x) C[x] se escreve como produto de fatores lineares (use indução no grau do polinômio). (b) Seja α número complexo com parte imaginária não-nula. Mostre que (x α)(x α) é um polinômio com coeficientes reais. Mostre que é irredutível sobre R. (c) Use os itens anteriores para mostrar que todo polinômio com coeficientes reais se fatora em R[x] como produto de polinômios irredutíveis de graus 1 e Mostre que todo polinômio p(x) de coeficientes reais que tem grau ímpar tem pelo menos uma raiz real (use o exercício (15))

9 Lista 4 - Teoria de Anéis Professor: Marcelo M.S. Alves Data: 23/10/ Seja K um corpo. (a) Mostre que se g(x) f(x) e (g(x)) = (f(x)) então existe uma constante c K tal que g(x) = c f(x). (b) Seja f(x) K[x] polinômio com (f(x)) 1. Mostre que dizer que f(x) é irredutível é equivalente a dizer que se g(x) f(x) então (g(x)) = (f(x)) ou (g(x)) = Sejam f(x), b(x) K[x] polinômios com b(x) 0. Mostre, por indução forte no grau de f(x), que existe uma expansão na base b(x) da forma f(x) = c 0 (x) + c 1 (x)b(x) + c 2 (x)(b(x)) c k (x)(b(x)) k onde cada c j (x) é nulo ou tem grau menor do que o grau de b(x) e k é o maior expoente tal que (b(x) k ) (f(x)). 3. Usando o exercício anterior para b(x) = (x α), obtemos uma expansão da forma f(x) = c 0 + c 1 (x α) + + c n (x α) n onde n = (f(x)) e os c i s são constantes. Neste exercício, suponha que Q K C. (a) Mostre por indução em k que n f (k) (x) = l(l 1) (l k + 1)c l (x α) l k. para 1 k n. l=k (b) Usando o item anterior, mostre que c k = f (k) (α) para cada k = 0, 1,..., n. k! (c) Use isso para provar que se f (j) (α) = 0 para j = 0, 1,..., m 1 e f (m) (α) 0 então α tem multiplicidade m como raiz de f(x). 4. Seja f(x) K[x] um polinômio não-constante, e suponha que sua fatoração é f(x) = u p a 1 1 (x) p a k k (x), com u K e p 1,..., p k mônicos, distintos e irredutíveis sobre K. Mostre que d(x) K[x] divide f(x) se e somente se d(x) = v p d 1 1 (x) p d k k (x) com v K e 0 d i a i para cada i = 1, 2,..., k. 5. (fórmula do mdc e mmc) Sejam f(x), g(x) K[x] polinômios não-constantes. Acrescentando expoentes nulos, se necessário, existem p 1,..., p k mônicos, distintos e irredutíveis sobre K e duas constantes u e v tais que f(x) = u p a 1 1 (x) p a k k (x) g(x) = v p b 1 1 (x) p b k k (x) Sejam m i = min{a i, b i }, M i = {a i, b i }. Mostre que (a) mdc(f(x), g(x)) = p m 1 1 (x) p m k k (x) (b) mmc(f(x), g(x)) = p M 1 1 (x) p M k (x) k

10 Lista 5 - Teoria de Anéis Professor: Marcelo M.S. Alves Data: 12/11/ Verifique se os polinômios a seguir são irredutíveis nos anéis correspondentes: (a) x 7 6x 3 + 2x x + 6 em Q[x]. (b) x 8 13 em Q[x]. (c) x 3 5x em Q[x]. (d) x 3 + x + 1 em Z 5 [x]. (e) x x em Q[x]. 2. Mostre que se f(x) = x n q Q[x] e q é primo então f(x) é irredutível sobre Q. Isto mostra que existem polinômios irredutíveis de qualquer grau positivo em Q[x]. 3. Seja p(x) = x em Z 7 [x], e seja K = Z 7 [x]/ p(x). Denote por [x] a classe de x em K, ou seja, [x] = x + p(x). (a) Verifique que (a + b[x])(c + d[x]) = (ac bd) + (ad + bc)[x] para todos a, b, c, d Z 7. (b) Prove que K = Z 7 [x]/ p(x) é um corpo. (c) Mostre que K tem 49 elementos. 4. Mostre que existe um isomorfismo de Q[x]/ x 2 2 com Q( 2) = {a + b 2; a, b Q}. Para isso, (a) Explique porque a aplicação de Q[x] em Q[ 2] dada por f(x) f( 2) é um homomorfismo de anéis (procure resultados na teoria; não é preciso provar que é homomorfismo direto da definição). (b) Mostre que seu núcleo é o ideal gerado por x 2 2. (c) Use o teorema dos homomorfismos para provar que a aplicação é um isomorfismo de anéis. ϕ : Q[x]/ x 2 2 Q[ 2] [f(x)] f( 2) 5. Seja α C uma raiz de p(x) Q[x] de grau n. Considere o homomorfismo ϕ : Q[x] C dado por f(x) f(α). (a) Seja Q(α) a imagem de ϕ. Mostre que todo elemento não-nulo de Q(α) se escreve como r(α) para um polinômio r(x) Q[x] com (r(x)) n 1. (b) Suponha que p(x) é irredutível em Q[x]; explique porque a aplicação Q[x]/ p(x) Q(α) [f(x)] f(α) é um isomorfismo de anéis (na verdade, de corpos).

11 6. Considere o polinômio f(x) = x 3 2 Q[x]. (a) Encontre suas raízes. Verifique que há duas conjugadas e uma raiz real, que não é racional. (b) Prove que f(x) é irredutível sobre Q. (use o item anterior... ) (c) Mostre que Q(α) e Q(β) são anéis isomorfos para quaisquer raízes α e β de f(x) mesmo que um esteja contido em R e o outro não. (sugestão: não é preciso fazer conta alguma. Use o exercicio (5)). 7. Dados a e b racionais positivos, mostre que os números a seguir são algébricos: (a) a + b 3 (b) a + b (c) a + b 8. Sendo α = 2 + 2, (a) Determine o polinômio minimal de α sobre Q e determine [Q(α) : Q]. (b) Determine [Q(α) : Q( 2)]. 9. Sendo α = , (a) Determine o polinômio minimal de α sobre Q; (b) Determine [Q(α) : Q] e [Q(α) : Q( 6)]. 10. Determine o grau e também uma base das extensões a seguir; não deixe de justificar porque é uma base e não apenas um conjunto gerador sobre o corpo K. (a) Q( 2, 3 2) sobre K = Q. (b) Q( 4 2, i 2) sobre K = Q. (c) Q( 2, 3) sobre K = Q. (d) Q( 2, 3) sobre K = Q( 6). 11. (Alguns números irracionais) (a) Use o critério de Eisenstein para mostrar que se α = m p, com p primo (positivo) e m 2, então α é irracional (sugestão: qual o polinômio minimal de α?) (b) Generalizando, seja a N tal que sua fatoração é da forma a = p 1 p n 2 2 p n k k, onde os p j s são números primos (positivos) distintos, n 1 = 1 e n j 1 para j = 2,..., k. Prove que α = m a é irracional para todo m Seja L K uma extensão finita e seja α L K. Mostre diretamente, sem usar o homomorfismo de avaliação, que K[α] = {f(α); f(x) K[x]}. Sugestão: usando apenas as propriedades que definem um subanel e o fato que α K[α] e K K[α], comece por mostrar que cada potência de α está em K[α]. 13. Sejam p, q primos positivos e f(x) = x p q. (a) Mostre que as raízes de f(x) estão no corpo Q( p q, u), onde u = exp(2πi/p).

12 (b) Reciprocamente, mostre que se L é um subcorpo de C que contém as raízes de f(x), então L contém Q( p q, u). 14. Seja L K uma extensão finita, e seja f(x) K[x] um polinômio irredutível sobre K. (a) Mostre que se f(x) tem uma raiz α em L, então o grau de f(x) divide o grau da extensão L K. (sugestão: considere o corpo K(α)). (b) Use isso para dar outra prova de que 2 / Q( 3 2), e que 3 2 / Q( 2). 15. Mostre que o polinômio minimal de um número algébrico sempre é irredutível. Mostre também que se p(x) Q[x] é irredutível então todas as suas raízes (em C) são simples. (sugestão: suponha que existe uma raiz múltipla, olhe o mdc de f(x) e f (x)) 16. Prove que a extensão C R é algébrica. 17. Seja α = a + bi, com b 0. Prove que R(α) = C. 18. Suponha que a extensão L K é finita e que [L : K] = p, p primo. Mostre que se α L e α / K então L = K(α). 19. Mostre que Q( 2, 3) = Q(α), onde α = Sugestão: (a) Mostre que Q(α) Q( 2, 3). (b) Para a inclusão inversa, mostre que 6 está em Q(α) (eleve α ao quadrado). (c) Continuando, calcule o produto 6α, que está em Q(α), e conclua que 3 está em Q(α); deduza disso que 2 Q(α), e que portanto Q( 2, 3) Q(α). 20. (Extensões de corpos e matrizes) Seja L K uma extensão de grau n, e seja β = {v 1,..., v n } uma base de L sobre K. (a) Mostre que se α L, a aplicação T α : L L dada por T α (v) = αv é K-linear (é até L-linear, mas não precisaremos disso). (b) Seja End k (L) o anel dos operadores K-lineares de L em L (onde o produto de operadores é a composição). Mostre que a aplicação que leva α em T α, T : L End K (L) α T α é um homomorfismo injetor (para a injetividade: se T α está no núcleo, calcule T α (1)). (c) Pode-se mostrar que a aplicação θ : End K (L) M n (K) que leva um operador em sua matriz na base β é um homomorfismo injetor. Conclua que L é isomorfo a um subanel de M n (K). 21. Usando o exercício (20), (a) Encontre um subanel de M 2 (Z 2 ) que é isomorfo ao corpo de 4 elementos K = Z 2 [x]/ x 2 + x + 1. (b) Encontre um subanel de M 2 (R) que é isomorfo ao corpo C. (c) Encontre um subanel de M 3 (Q) que é isomorfo ao corpo Q( 3 2).