MAT0313 Álgebra III Lista 5

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1 MAT0313 Álgebra III Lista (a) Se G é um grupo no qual (ab) i = a i b i, para três inteiros consecutivos i e para quaisquer a, b G, demonstre que G é abeliano. (b) Vale o mesmo resultado se (ab) i = a i b i, para apenas dois inteiros consecutivos i? 2. (a) Seja G um grupo tal que a 2 = e, para todo a G. Prove que G é abeliano. (b) O mesmo resultado é válido se G for um grupo tal que a 3 = e, para todo a G? 3. Mostre que todo grupo de ordem 5 é abeliano. 4. Seja G um grupo e sejam H 1, H 2 dois subgrupos de G. Mostre que a interseção H 1 H 2 é um subgrupo de G. Mais geralmente, mostre que se {H i i I} é uma família de subgrupos de G, então i I H i é um subgrupo de G. 5. Seja G um grupo e sejam H e K subgrupos de G. Mostre que H K é um subgrupo de G se e somente se H K ou K H. 6. Seja G um grupo e seja H um subconjunto finito de G tal que HH = H. Prove que H é um subgrupo de G. E se H não for finito? 7. (a) Seja S G um subconjunto de um grupo G. O centralizador de S em G é definido como sendo o conjunto Z(S) = {x G xa = ax a S}. Quando S = {a} escrevemos simplesmente Z(a). Prove que o centralizador de S em G é um subgrupo de G. (Se S = G então Z(G) é o centro de G. Veja o próximo exercício.) (b) Determine o centralizador de σ em S 3 = {e, σ, σ 2, τ, στ, σ 2 τ}; (c) Determine o centralizador de j em Q 8 = {1, 1, i, i, j, j, k, k}. 8. (a) O centro de um grupo G é definido como sendo o conjunto Prove que Z(G) é um subgrupo de G. (b) Prove que Z(G) = Z(x); x G Z(G) = {z G zx = xz, para todo x G}. (c) Encontre o centro de S 3 e de Q 8 = {1, 1, i, i, j, j, k, k}. 9. Seja G um grupo. Dados H um subgrupo de G e a G, mostre que aha 1 = {aha 1 h H} é um subgrupo de G. Se H é finito, qual é a ordem de aha 1?

2 10. Seja G um grupo. Define-se a ordem de a G como sendo o menor inteiro n tal que a n = e, se esse número existir (caso contrário, dizemos que a ordem de a é infinita). Mostre que se a G tem ordem finita, esse número coincide com a ordem do subgrupo de G gerado por a. 11. Se G é um grupo de ordem par, mostre que G contém um elemento de ordem Mostre que se G é um grupo de ordem par então existe um número ímpar de elementos de ordem Seja a um elemento de um grupo tal que a n = e. Mostre que o(a) divide n. 14. Seja G um grupo e sejam a, b G. Mostre que ab e ba têm a mesma ordem. 15. Seja G um grupo e seja a G um elemento de ordem n. Se n = km, mostre que a k tem ordem m. 16. Seja G um grupo e seja a G um elemento de ordem r. Seja m um inteiro positivo tal que mdc(m, r) = 1. Mostre que o(a m ) = r. 17. Seja G um grupo e sejam a, b G tais que a 5 = e e aba 1 = b 2. Mostre que o(b) = Seja G um grupo e sejam a, b G tais que a n = e e aba 1 = b s. Mostre que o(b) s n Mostre que o número de geradores de um grupo cíclico de ordem n é φ(n), onde φ é a função de Euler (φ(n) é igual ao número de inteiros positivos menores que n e que são relativamente primos com n). 20. Mostre que todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico. 21. (a) Seja G um grupo e sejam a, b G. Mostre que o(a) = o(b 1 ab). (b) Se G possui apenas um elemento a de ordem n, mostre que a Z(G) e que n = Seja G um grupo e sejam H e K subgrupos de G cujas ordens sejam relativamente primas. Mostre que H K = {e}. 23. Seja G um grupo e sejam a, b G tais que ab = ba. Se a tem ordem m, b tem ordem n e mdc(m, n) = 1, mostre que a ordem de ab é mn. 24. Seja G um grupo abeliano que contém um elemento de ordem n e um de ordem m. Mostre que G contém um elemento de ordem mmc(n, m). 25. Seja G um grupo e sejam H e K dois subgrupos de índice finito em G. Mostre que H K é um subgrupo de índice finito em G.

3 26. Seja G um grupo, seja H um subgrupo de G e seja K um subgrupo de H. Mostre que K tem índice finito em G se e somente se H tiver índice finito em G e K tiver índice finito em H. Neste caso, mostre que [G : K] = [G : H][H : K]. 27. Demonstre que se G é um grupo abeliano então todos os seus subgrupos são normais. A recíproca é verdadeira? 28. Neste exercício vamos construir um grupo não-abeliano, contendo 8 elementos, cujos subgrupos são todos normais. Considere o seguinte subconjunto de M 2 (C): Q 8 = {id, id, I, I, J, J, K, K}, onde id = [ 1 0 ] [, I = 1 0 ] [ 0 i, J = i 0 ] [ i 0, K = 0 i ]. (a) Verifique as seguintes identidades abaixo: I 2 = J 2 = K 2 = id, I J = K = JI, IK = J = KI, JK = I = KJ. (b) Mostre que Q 8 com o produto usual de matrizes é um grupo não-abeliano de ordem 8. (c) Encontre I 1, J 1, K 1. (d) Calcule as ordens de todos os elementos de Q 8. (e) Liste todos os subgrupos de Q 8. (São 6.) (f) Mostre que todos os subgrupos de Q 8 são normais. (g) Determine o centro Z(Q 8 ) de Q Seja GL(n, R) o grupo (com relação a multiplicação) das n n matrizes inversíveis sobre R. Mostre que SL(n, R) = {A GL(n, R) det(a) = 1} é um subgrupo normal de GL(n, R). 30. Seja N um subgrupo normal de um grupo G tal que [G : N] = m. Mostre que a m N para todo a G. 31. Sejam N 1, N 2 subgrupos normais de um grupo G. Mostre que N 1 N 2 é um subgrupo normal de G. Mais geralmente, mostre que se {N i i I} é uma família de subgrupos normais de G, então i I N i é um subgrupo normal de G. 32. Seja H um subgrupo de um grupo G tal que o produto de duas classes laterais à direita de H em G seja sempre uma classe lateral à direita de H em G. Mostre que H é normal em G. 33. Seja H um subgrupo de índice 2 em um grupo G. Mostre que H é normal em G. 34. Seja N um subgrupo normal de um grupo G e seja H um subgrupo de G. Mostre que NH é um subgrupo de G.

4 35. Mostre que a interseção de dois subgrupos normais de um grupo G é também normal em G. 36. Se N e M são subgrupos normais de um grupo G, mostre que NM também é normal em G. 37. Seja G um grupo e seja H um subgrupo de G. O normalizador de H em G é definido por N G (H) = {g G ghg 1 = H}. Mostre que (a) N G (H) é um subgrupo de G; (b) H é um subgrupo normal de N G (H); (c) se H é um subgrupo normal de um subgrupo K de G então K N G (H); (d) H é normal em G se e somente se N G (H) = G. 38. Seja G um grupo e seja N um subgrupo normal de G. Mostre que G/N é abeliano se e somente se aba 1 b 1 N, para todos a, b G. (Em particular, se G for abeliano, então o quociente G/N será também abeliano.) 39. Seja G um grupo e seja G o subgrupo de G gerado pelo seguinte conjunto: {aba 1 b 1 a, b G}. (a) Mostre que G é normal em G. (b) Mostre que G/G é abeliano. (c) Seja N um subgrupo normal de G. Mostre que se G/N for abeliano, então N G. (d) Mostre que se H é um subgrupo de G tal que H G, então H é normal em G. O subgrupo G de G definido acima chama-se subgrupo dos comutatores (ou derivado) de G. 40. Seja H um subgrupo de um grupo finito G e suponha que H seja o único subgrupo de G de ordem H. Mostre que H é normal em G. 41. Se N e M são subgrupos normais de G tais que N M = {e}, demonstre que nm = mn, para quaisquer n N e m M. 42. Seja e seja Mostre que G = {( ) } a b a, b, c R, ac = 0 0 c N = {( ) } 1 b b R.

5 (a) N é um subgrupo normal de G; (b) G/N é abeliano. 43. Seja G um grupo finito e H um subgrupo normal em G tal que mdc( H, [G : H]) = 1. Prove que H é o único subgrupo de G de ordem igual a H. 44. Seja G um grupo com centro Z(G). Mostre que se G/Z(G) é cíclico então G é abeliano. 45. Seja G um grupo e seja a um elemento fixado de G. Mostre que a função ϕ : G G, dada por ϕ(x) = axa 1, para todo x G, é um isomorfismo. 46. Mostre que um grupo G é abeliano se e somente se a aplicação ϕ : G G definida por ϕ(g) = g 1, para todo g G, for um homomorfismo. 47. Sejam G e H grupos e seja ϕ : G H um homomorfismo. Mostre que ϕ(g ) (ϕ(g)). 48. Seja G um grupo abeliano finito de ordem n, onde n é um inteiro positivo. Seja r um inteiro positivo tal que mdc(n, r) = 1. Mostre que todo elemento g G pode ser escrito na forma g = x r para algum x G. (Sugestão: Mostre que g g r é um isomorfismo de G em G.) 49. Seja G um grupo. Por automorfismo de G entende-se um isomorfismo de G em G. Seja Aut(G) o conjunto de todos os automorfismos de G. (a) Mostre que Aut(G) é um grupo com operação binária dada pela composição de funções. (b) Seja g G e defina ϕ g : G G por ϕ(a) = gag 1 para todo a G. Mostre que ϕ g Aut(G) para todo g G. O automorfismo ϕ g chama-se automorfismo interno definido por g. (c) Seja Inn(G) o subconjunto de Aut(G) formado por todos os automorfismos internos de G. Mostre que Inn(G) é um subgrupo normal de Aut(G). (d) Mostre que Inn(G) = G/Z(G). (Sugestão: Considere o homomorfismo ϕ : G Aut(G) dado por ϕ(g) = ϕ g.) (e) Determine o grupo de automorfismos de um grupo cíclico de ordem finita. (f) Determine o grupo de automorfismos do grupo cíclico de ordem infinita. (g) Determine o grupo de automorfismos de S Seja G um grupo finito e ϕ Aut(G) um automorfismo que leva mais do que 4 3 dos elementos de G em seus inversos. Mostre que G é abeliano e que ϕ(g) = g 1 para todo g G. 51. Mostre que existe um grupo não abeliano G de ordem 8 e um automorfismo ϕ de G que leva exatamente 3 4 dos elementos de G em seus inversos.