Parte I - Grupos. Sumário. 1.1 Grupos, subgrupos, ordem. Exercício Se H é um subconjunto nito de um grupo G, estável pela operação.

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1 Estruturas Algébricas Mestrado Matemática UFRJ Parte I - Grupos Sumário 1 Grupos, morsmos Grupos, subgrupos, ordem Morsmos, subgrupos normais, grupos quocientes Teoremas de homomorsmos Grupo de permutações Ações de grupos, subgrupos de Sylow Ações de grupos em conjuntos Os teoremas de Sylow Aplicações Grupo derivado - grupos resolúveis Centro, grupo derivado Séries subnormais e de composição Grupos solúveis Grupos, morsmos Prerequisitos: teoria dos conjuntos elementar. 1.1 Grupos, subgrupos, ordem Um grupo G ou (G, ) é um conjunto (não vazio) munido de uma operação associativa que admite uma identidade e pela qual todo elemento tem um simétrico. Isso é: x, y, z G, x (y z) = (x y) z e G, x e = e x = x x G, x G, x x = x x = e Se, além disso a operação é comutativa: x, y G, x y = y x, G é dito abeliano. Denotamos a operação por,, ou por nada, se ela é comutativa denotamos em geral +. Se verica facilmente que a identidade é única, é denotada e, 1 ou 0 no caso abeliano; o simétrico de x é também único, é denotado x 1 ou x (caso abeliano). Um subgrupo H de G é um subconjunto que é ele próprio um grupo com a mesma operação de G, denotamos H G. Por exemplo, {e} e G são subgrupos de G, chamados subgrupos triviais. Exercício Se H é um subconjunto nito de um grupo G, estável pela operação. Mostre que H é um subgrupo de G. Dê um contraexemplo no caso de cardinal innito. Exercício (Teorema de Lagrange) Seja G um grupo, H um subgrupo e x um elemento de G. Denotamos xh o conjunto {xh : h H} de todas classes laterais (a esquerda) de H em G. 1) Mostre que a relação xry y xh é uma relação de equivalência. 1

2 2) Mostre que as classes de equivalência são do tipo xh e estão em bijeção com H. O conjunto quociente, isso é o conjunto das classes de equivalência é denotado G/H. O seu cardinal chamase o índice de H em G, denotado [G : H]. 3) Sob qual condição temos xh = H? Quais classes de equivalência são subgrupos? 4) Demostre o teorema de Lagrange: se H G (nito), então H é um divisor de G. 5) Denimos igualmente as classes de equivalência à direita, do tipo Hx. Mostre que as classes à direita estão em bijeção com H e que o conjunto quociente é em bijeção com o conjunto das classes à esquerda. Exercício Seja H um subgrupo de índice nito de G, e K um subgrupo de G contendo H. Mostre que ele é de índice nito em G e que [G : H] = [G : K][K : H] Exercício Seja G um grupo, S um subconjunto. Porque podemos falar do subgrupo gerado por S? Denotamo-lo < S >. Um grupo é nitamente gerado quando G =< S > com S é nito, ele é dito cíclico se é gerado por um único elemento G =< x >, chamado de gerador. Ele pode ser innito {..., x 1, 1, x, x 2, x 3,... } ou nito {1, x, x 2,..., x n 1 } a como (Z, +) ou (Z/nZ, +) e U n. O ordem de um elemento x de um grupo G é o cardinal x do subgrupo gerado por x (i.e. o menor inteiro n > 0 tal que x n = e, e se tal n não existe, dizemos que x tem ordem innito). b a Denotamos x k o produto de x por ele mesmo k vezes. Por convenção x 0 = e e x k = (x 1 ) k se k for negativo b Também usamos a palavra ordem pra designar o cardinal de um conjunto nito... É obvio que todo grupo cíclico é abeliano. Os grupos cíclicos são exemplos importantes que aparecem em vários aspectos da teoria. Exercício ) Determine todos os subgrupos de um grupo cíclico innito e logo nito de ordem n (tem-se um subgrupo de ordem d para cada inteiro d divisor de n). 2) Mostre que os geradores de G =< x > são do tipo x k onde k é primeiro com n := G. Detalhe o caso n = 12 e logo quando n é primeiro. Denotamos φ(n) o número de geradores de um grupo cíclico de ordem n; essa função chama-se de indicatriz de Euler. 3) Calcule φ(p), φ(p α ) (com p primeiro). Demonstre que: x N, d n φ(d) = n 4) Demonstre uma reciproca de 1) para concluir que um grupo nito de cardinal n é cíclico se e só se por cada d divisor de n existe um único subgrupo de cardinal d. Deduza que todo subgrupo nito (multiplicativo) de um corpo é cíclico. Exercício ) Mostre que um grupo G tal que todo elemento (diferente de e) tem ordem 2 é abeliano. 2) Mostre que todo grupo com p elementos, p primo é cíclico. 3) Prove que existe dois grupos com quatro elementos, ambos abelianos. Aquele que não é cíclico chama-se o grupo de Klein. 2

3 1.2 Morsmos, subgrupos normais, grupos quocientes Um morsmo de grupos f é um mapa entre grupos G G respeitando as operações: x, y G, f(xy) = f(x)f(y) Todo morsmo traz a identidade na identidade, o simétrico da imagem é a imagem do simétrico e f, f 1 traz subgrupos em subgrupos. Chamamos de núcleo de f, denotado ker f, o conjunto dos antecedentes da identidade. Um morsmo é injetor se e só se ker f = {e}. Se um morsmo é bijetor, então f 1 é um morsmo. Os dois grupos são ditos isomorfos e escrevemos G = G. Um isomorsmo de um grupo em ele mesmo é um automorsmo. O conjunto dos automorsmos de G é um grupo pela operação de composição; denotado Aut(G). Exercício Mostre que x x 2 de G em G é um morsmo se e só se G é abeliano. Quando G é nito, sob qual condição é um automorsmo? (Repare que se G contem um elemento de ordem 2, então G é par por Lagrange). Exercício Seja x um elemento qualquer de G. Denotamos i x o mapa: i x : G G g xgx 1 Mostre que i x é um automorsmo de G (chamado de automorsmo interno). Mostre que o conjunto dos automorsmos internos é um subgrupo de Aut(G) (denotado Int(G)). Um subgrupo H de G é normal em G se toda classe a esquerda é classe a direita, i.e. x G, xh = Hx. a Escrevemos então: H G No caso abeliano, todo subgrupo de G é normal. Os dois subgrupos triviais {e} e G são sempre normais, quando são os únicos dizemos que G é um grupo simples b. Se H G então o conjunto quociente G/H pode ser munido de uma estrutura de grupo compatível com G, no sentido que a projeção G G/H denida por x xh seja um morsmo de grupos. a Isso não signica que os elementos de G comutam com os elementos de H. b Os grupos simples são as partículas elementares que permitem, em grande parte, reconstruir todos os grupos (cf. cap. 3.2). Os grupos simples nitos são todos conhecidos (mas a classicação completa é muito complicada...). Exercício Prove essa última armação. Exercício Mostre que o Int(G) é subgrupo normal de Aut(G). Exercício Mostre que um grupo abeliano simples é isomorfo a Z/pZ onde p é primo. Exercício Mostre que um subgrupo de índice 2 é sempre normal. Exercício Demonstre que podemos caraterizar um subgrupo normal H em G por uma das seguintes condições: a) é estável pelos automorsmos internos b) é o núcleo de um morsmo de G num outro grupo Exercício Suponhamos K H G, quais implicações são verdadeiras? K G K H K H K G K H e H G K G Exercício Seja f um morsmo de G em G, que podemos dizer da imagem inversa (resp. da imagem direita) de um subgrupo normal de G (resp. G)? 3

4 Exercício (Teorema de correspondência de Noether) Seja H G. Mostre que o mapa K K/H é uma bijeção do conjunto dos subgrupos K tais que H K G no conjunto dos subgrupos de G/H. Prove que ela também é uma bijeção entre tais K normais e os subgrupos normais de G/H. 1.3 Teoremas de homomorsmos Exercício (Teorema de fatoração) Seja f : G G um morsmo de grupos. Seja H G, suponha H ker f. Mostre que podemos denir um morsmo f : G/H G tal que f p = f, onde p é a projeção canônica de G sobre G/H. Exercício (1 Teorema de homomorsmo) Deduza que um morsmo de G em G, induz um isomorsmo de G/ ker f em Im f G. Exercício Sejam G um grupo, H G, K G dois subgrupos. Denimos o conjunto HK = {hk : h H, k K}. 1) Demonstre que HK é um subgrupo se e só se HK = KH. 2) Qual é o cardinal de HK quando ambos subgrupos são nitos? 3) Mostre que se H K = {e}, então os elementos de HK têm uma escritura única como produto hk. 4) Seja G = Z/6Z e H =< 2 >, K =< 3 >. Verique que G = HK e a unicidade da escritura. Exercício (2 Teorema de homomorsmo) Sejam H e K dois subgrupos de G. Suponhamos K G. Mostre que H K H e H H K = HK K Exercício (3 Teorema de homomorsmo) Sejam H e K dois subgrupos normais de G. Suponhamos K H. Prove que H/K G/K e (G/K) (H/K) = G H Exercício (Lema de Poincaré) Suponhamos H G e K G ambos de índice nito. Demonstre que H K é de índice nito provando: [G : H K] [G : H][G : K] (Dica: ache um monomorsmo de G/H K num conjunto nito). Dê um exemplo onde a desigualdade é estrita, um outro onde temos igualdade. 1.4 Grupo de permutações Denotamos S n o conjunto das bijeções de {1, 2,..., n} em ele mesmo; os seus elementos são também chamados de permutações. O grupo de permutações se chama também o grupo simétrico. Um caso particular de permutação são as permutações circulares ou r-ciclos, onde r {2, 3,..., n}, quando existe (i 1, i 2,..., i r ) inteiros distintos em {1, 2,..., n} tais que: σ(i 1 ) = i 2, σ(i 2 ) = i 3,..., σ(i r ) = i 1 todos demais inteiros sendo invariantes. Denotamos σ = (i 1, i 2,..., i r ) ou (i 1 i 2... i r ). Um 2-ciclo é chamado de transposição. Exercício Descreve os grupos S 1, S 2, S 3. 4

5 Exercício Verique que a única permutação que comuta com todos demais é a identidade quando n 3. (Dica: procure apenas os elementos que comutam com as transposições.) Exercício (Decomposição em ciclos) 1) Demonstre que um r-ciclo é de ordem r. 2) Chamamos suporte de um r-ciclo c o conjunto dos inteiros {i 1, i 2,..., i r }. Mostre que dois ciclos com suportes disjuntos comutam. 3) Demonstre que qualquer permutação se escreve de forma única como produto de ciclos a suporte disjuntos. 4) Um exemplo, seja σ a permutação de {1, 2,..., n} denida por σ(i) = n + 1 i. Determine sua composição em ciclos. Exercício Demonstre que o r-ciclo c = (i 1 i 2... i r ) é composto de r 1 transposições. Deduza que S n é gerado pelas transposições. As transposições geram S n mas não é a única possibilidade. Exercício Mostre que S n é gerado por cada um dos seguintes conjuntos: ˆ as transposições (1, i) ˆ as transposições (i, i + 1) ˆ o ciclo (1, 2..., n) e a transposição (1, 2) Exercício (Assinatura) 1) Mostre que: (ab)(ax 1 x 2... x k by 1 y 2... y l ) = (ax 1 x 2... x k )(by 1 y 2... y l ) (ab)(ax 1 x 2... x k )(by 1 y 2... y l ) = (ax 1 x 2... x k by 1 y 2... y l ) 2) Denimos a função sinal (ou assinatura) de S n em { 1, 1} por: ε(σ) = ( 1) n k onde k é o número de ciclos (a suportes disjuntos) acrescentado do número de pontos xos de σ. 1 Mostre que ε é um morsmo. 3) Quando o sinal é 1 dizemos que a permutação é par, ímpar senão. Qual é a paridade de um r-ciclo? Como determinar a paridade conhecendo a decomposição em ciclos? 4) Chamamos de grupo alternado o núcleo da assinatura; é assim um subgrupo distinguido de índice 2 de S n. Denotamos-lo A n. Mostre que é gerado pelos 3-ciclos (por n > 2). 5) Demonstre que A n é também gerado pelos 3-ciclos do tipo (1, 2, i). 2 Ações de grupos, subgrupos de Sylow 2.1 Ações de grupos em conjuntos Uma ação de um grupo G num conjunto X é uma operação externa. Isso é um mapa: ϕ : G X X (g, x) g.x vericando : g, g G, x X, g.(g.x) = (g g).x x X, e.x = x 1 Esse número k se chama número de órbitas de σ: é o número de órbitas da ação de < σ > sobre {1,..., n} (ver capítulo seguinte). 5

6 Exercício Mostre que essa noção é equivalente a dar-se um homomorsmo Φ : G S X, onde S X é grupo simétrico de X (i.e. S X = {f : X X; f é bijeção}). A noção de ação de grupo é a geometrização da noção de grupo. De fato todo grupo age pelo menos em ele-mesmo. Exercício (Teorema de Cayley) Demonstre que todo grupo nito é isomorfo a um grupo de permutações (i.e. um subgrupo de S n ). Dica: considere a ação de G em si mesmo pela translação a esquerda: g.a = ga e use o exercício acima. Algumas denições: 1. Se x X, a órbita de x, denotada Gx é denida por: Gx = {y X : g G, y = g.x} 2. Se x X, o estabilizador de x, que denotaremos G x é denido por: G x = {g G : g.x = x} 3. O núcleo da ação é o conjunto dos elementos de G tais que para todos x de X, g.x = x. Obviamente é o núcleo de Φ. Uma ação é dita el quando o núcleo é trivial (nesse caso, G é isomorfo a um subgrupo de S n (cf. ex )). Exercício ) Mostre que o estabilizador G x de um elemento x de X é sempre um subgrupo de G. Prove que se G for nito, então Gx = [G : G x ]. 2) Como descrever o núcleo de uma ação por meio dos estabilizadores? 3) Mostre que se a ação não é el, podemos contudo denir uma ação el de G/ ker Φ é o núcleo da ação. Exercício Descreva os estabilizadores e as órbitas da ação de G em si mesmo por automorsmo interno. Os primeiros são os centralizadores e as segundas as classes de conjugação. Exercício Mesmas questões pela ação de G = GL(n, K) em X = M n (K) dada por: P.M = P MP 1 Exercício (Formula das classes) Suponhamos X nito. Considere o o conjunto Ω dos elementos de X tais que toda órbita encontra Ω num único ponto. (Diz-se que Ω é uma transversal.) Demonstre: X = x Ω G G x Os dois seguintes exercícios são aplicações importantes da formula das classes. Exercício (Teorema de Cauchy) Prove que se G é um grupo nito de cardinal n e se p é um fator primo de n, então existe um elemento de ordem p em G. Por isso, introduza o subconjunto e passe as seguinte etapas: E = {(x 1, x 2,..., x p ) : x 1 x 2..., x p = 1} 6

7 1) Mostre que Z/pZ age naturalmente em E, e que cada órbita tem 1 ou p elementos. Caraterize as órbitas de um elemento. 2) Calcule o cardinal de E e deduza o resultado usando a formula das classes. Um grupo nito é um p-grupo (p primo) quando o seu cardinal é uma potência de p. Exercício Seja G um grupo, ele age em si mesmo por automorsmo interno. 1) Se x Z(G) (o centro de G, ver (1) no cap.3.), qual é a órbita de x? 2) Mostre que: G = Z(G) + x Ω G G x onde Ω é uma transversal pelo conjunto das órbitas não reduzidas a um ponto. 3) Deduza que todos grupos de cardinal p n, onde p é primo, têm um centro não trivial (i.e. {e}). Como o centro é um subgrupo normal, deduzimos que um p-grupo não abeliano nunca á simples. Exercício (Formula de Burnside) Seja G um grupo nito agindo num conjunto nito X. Denotamos N o número de órbitas, e Fix(g) o conjunto dos pontos xos de g (i.e. os x tais que g.x = x). Mostre: N = 1 Fix(g) G g G Dica: enumere o conjunto das duplas (g, x) onde g.x = x de dois maneiras distintas. Exercício Um exemplo de aplicação. uma roda de loteria é dividida em n setores; cada um é colorido por uma cor escolhida dentro de p cores distintas. Qual é o número de roda de loterias possíveis (não distinguimos colorações que se deduzem uma da outra por rotação da roda)? 2.2 Os teoremas de Sylow Por G nito, G = p k m com p é primo e p m; um p-sylow é um subgrupo de G de ordem p k. Exercício Seja G um grupo de ordem p k m onde p é primo e mdc(p, m) = 1. 1) Chamamos χ o conjunto dos subconjuntos de G tendo p k elementos. Assim, G age em χ por translação a esquerda (g.x = gx). Calcule o cardinal de χ e demonstre que existe ao menos uma órbita cujo cardinal não é divisível por p. 2) Seja A uma tal órbita, G X o estabilizador de um elemento X de A. Demostre que G X é um p-sylow de G. Deduza o primeiro teorema de Sylow: todo grupo nito cujo ordem é divisível por p contem um p-sylow. 3) Trocamos de ação. Seja S um p-sylow de G, e H um p-grupo de G. Fazendo agir H em G/S por translação a esquerda, demostre que H é incluído num conjugado de S. Em particular, todos os p-sylow de G são conjugados a S. Isso é o segundo teorema de Sylow. 4) Deduza que se um grupo admite somente um p-sylow, esse último é normal em G, e reciprocamente se G contem um p-sylow normal, ele é o único p-sylow de G. 5) Seja N p o número de p-sylow de G, use a ação por conjugação de S nos p-sylow por demonstrar: Isso é o terceiro teorema de Sylow. N p 1 mod (p) e N p m 7

8 2.3 Aplicações Exercício Determine os p-sylow de Z/nZ, de Z/6Z Z/12Z, e de D 2n (p = 2 ou p divisor de n). 2. Procure os 2-Sylow de S 4 e de S 5. Exercício Usando o terceiro teorema de Sylow, demonstre que não existe grupo simples tendo 30, 42 ou 105 elementos. Exercício (Estudo do grupo A 5 ) Esse grupo é constituído das permutações pares de 5 elementos. Enumere os diagrames de Young para determinar que A 5 contem (além da identidade): ˆ 15 elementos de ordem 2 (as duplas transposições) ˆ 20 elementos de ordem 3 (os 3-ciclos) ˆ 24 elementos de ordem 5 (os 5-ciclos) 1) Demonstre que os 3-ciclos formem uma classe de conjugação em A 5. Estude igualmente as duplas transposições. 2) Demonstre que se H A 5 contem um elemento de ordem 5, então ele os contem todos. (Dica: segundo teorema de Sylow). 3) Usando que um subgrupo normal é reunião de classes de conjugações, demonstre que A 5 é simples. O seguinte exercício mostre que o grupo alternado é simples por n > 5. Os casos n = 2, 3, 4 se tratam facilmente: n = 2, o grupo alternado é trivial; n = 3, o grupo alternado é de ordem 3, ele é simples; por n = 4, o grupo alternado contem um subgrupo normal, o grupo das duplas transposições. Exercício (Simplicidade do grupo alternado (caso geral)) Suponhamos n > 5 e seja H A n. Seja τ um elemento de H, diferente da identidade. 1) Se σ é uma permutação qualquer de A n, mostre que στσ 1 τ 1 pertence a H. 2) Tomando i tal que τ(i) = j, j i, e usando k distinto de i, j, τ(j), construa um 3-ciclo σ, tal que στσ 1 τ 1 deixa xo pelo menos n 5 elementos. 3) A partir do exercício anterior e das duas questões acimas, verique que H deve conter um 3-ciclo e deduza o resultado. Exercício Re-demonstre o teorema de Cauchy usando o teorema de Sylow. 3 Grupo derivado - grupos resolúveis 3.1 Centro, grupo derivado Existem várias maneiras de medir a não-comutatividade de um grupo G. Como visto anteriormente, podemos utilizar o centro de G, conjunto dos elementos de G que comutam com todos demais: Z(G) = {z G : x G, xz = zx} (1) Maior ele é, mais próximo é G de ser um grupo comutativo. É também possível introduzir o chamado grupo derivado assim denido: denotamos [x, y] = xyx 1 y 1, o comutador de x e y. O grupo derivado de G é o grupo gerado pelos comutadores denotado G ou D(G). Menor ele é, mais próximo é G de ser um grupo comutativo. 8

9 Exercício Mostre que Z(G) G e que G/Z(G) = Int(G) Exercício Mostre que D(G) G. Dizemos que um subgrupo é característico em G se ele é estável por todos os automorsmos de G. D(G) é característico em G? Exercício Determine G/Z(G) por G = D n e G = S n. Exercício Dene Z 1 = Z(G). Mostre que podemos denir um subgrupo Z 2 de G por: Z 2 /Z 1 = Z(G/Z 1 ) e que o grupo é normal, e mesmo característico em G. Como iterar essa construção? Exemplique no caso de um grupo diedral. Verique que Z 2 pode ser denido por: a Z 2 b G, [a, b] Z 1 Exercício ) Mostre que G ab := G/ D(G) é abeliano, é o abelianizado de G. 2) Seja H G, mostre que G/H é comutativo sse H D(G). 3) Mostre que se D(G) H G então H G. 4) Demonstre que todo morsmo f de G num grupo comutativo G se fatora pelo abelianizado. 3.2 Séries subnormais e de composição Uma série subnormal (ou normal) de G é uma sequencia crescente nita de estritas inclusões de subgrupos (H i ) i : {e} = H 0 H 1 H 2 H n = G tal que H i é normal em H i+1 (e não necessariamente em G). Um ranamento de uma série subnormal (H i ) i é uma série (K i ) i da qual a sequencia (H i ) i é uma subsequencia. O comprimento maximo de uma série subnormal é uma medida de quanto G é distante de ser simples. a Uma série de composição (ou série de Jordan-Hölder) é uma série subnormal onde todos os fatores H i+1 /H i são simples. a Se G é simples, a única série subnormal é G {e}. {e} = H 0 H 1 H n = G Exercício Mostre que podemos sempre ranar uma série subnormal numa série de composição. Exercício Descreve as séries subnormais de S n. Exercício Seja G um p-grupo de ordem p n. 1) Demonstre que se H é um subgrupo próprio de G então, ou H é normal em G, ou existe um conjugado de H incluído no normalizador de H em G. Dica: utilize a ação por automorsmos internos de H em seus conjugados. 2) Deduza que todo subgrupo maximal de G é normal em G de índice p. 3) Demonstre que G admite subgrupos normais de ordem p i por cada 1 i n. Dica: raciocina por recursão usando o centro. 4) Deduza que cada subgrupo H de G inicia uma série subnormal H = H 0 H 1 H n = G com [H i : H i+1 ] = p. 9

10 Exercício (Lema da borboleta) Sejam duas pares de subgrupos de G, H 1 H 2 e K 1 K 2. Demonstre que: H 1 (H 2 K 1 ) H 1 (H 2 K 2 ) e K 1 (K 2 H 1 ) K 1 (K 2 H 2 ) e que os grupos quocientes são isomorfos ao grupo (H 2 K 2 )/(H 1 K 2 )(H 2 K 1 ) Será útil fazer um esquema da organização dos grupos intervindo nesse lema e daí entender porque se chama o lema da borboleta. Duas séries subnormais são equivalentes se elas têm o mesmo comprimento e os mesmos fatores (a menos isomorsmo). Exercício (Teoremas de Schreier e de Jordan-Hölder) 1) Utilize o lema da borboleta para demonstrar que duas séries normais têm ranamentos equivalentes. Isso é o teorema de Schreier. Deduza que o comprimento maximo de uma série subnormal é bem denido e que as séries de composição são as séries subnormal de comprimento maximo. 2) Deduza que todas séries de composições de um grupo são equivalentes. Esse resultado é o teorema de Jordan-Hölder, ele diz que (as classes de isomorsmo de) os fatores de uma série de composição dependem apenas do grupo. Eles são os fatores de composição de G. 3.3 Grupos solúveis Um grupo é solúvel quando seus fatores de composição são abelianos. Exercício Mostre que um grupo simples não comutativo não é solúvel. Exercício Examine a solubilidade dos grupos S n. Os seguintes resultados serão útil no estudo de solubilidade por radicais na teoria de Galois. Exercício Demonstre que um grupo G nito é solúvel se e só se ele contem uma série cíclica, isso é uma série subnormal {e} = H 0 H 1 H n = G com os fatores H i+1 /H i cíclicos. Mostre que podemos requerer que os fatores tenham ordem primo. Exercício Denotamos G (i) a sequencia dos grupos derivados sucessivos de G: é a série derivada de G. G (0) = G, G (i+1) = (G (i) ) 1) Mostre que a sequencia é decrescente e que G é resolúvel se e só se existe n tal que G (n) = {e}. 2) Verique que subgrupos e grupos quocientes de grupos solúveis são solúveis. 3) Prove a reciproca: seja H G, então G é solúvel se e só se H e G/H são solúveis. Referências [1] P. Alu. Algebra: Chapter 0. AMS Graduate Studies in Mathematics (Vol. 104), [2] J. Delcourt. Théorie des groupes. Dunod, [3] A. Gonçalves. Introdução à àlgebra. IMPA,