Grupos Solúveis Finitos com Condições de Permutabilidade para seus Subgrupos Subnormais

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1 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Grupos Solúveis Finitos com Condições de Permutabilidade para seus Subgrupos Subnormais por Aline de Souza Lima Brasília 2005

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3 Agradecimentos A Deus, pelo dom da vida, pelo conhecimento e por me permitir mais essa conquista. A minha mãe, Maria Abadia, pelo apoio e pelo exemplo de luta e serenidade. A minha irmã, Joselaine, pela compreensão e amizade. Aos meus amigos, Allan, Daniel, Fausto, Fernando, Letícia, Marina, Raquel, Ricardo e Willian, pelos momentos de alegria, companheirismo e trocas de conhecimento. Ao Jhone e a Sandra, que como irmãos estiveram presentes em todos os momentos de alegrias e tristezas, dando apoio e estímulo. Aos professores, Claudiney, Douglas, Fátima, Flávio, Gecirley, Iron, Jaqueline, José Alfredo, Luciana, Lúcio, Marta, Ruy, Sônia e Tonires, por me ensinar que não só o conhecimento ciêntífico, mas também valores e atitudes são importantes para a formação de um professor. Ao professor Ivan pela colaboração para o término deste. Ao meu orientador professor Rudolf Maier, pela escolha do tema e pela ajuda na construção do meu conhecimento. Aos professores do Departamento de Matemática da UNB e a todos os funcionários, pela prestatividade e paciência que sempre demonstraram. Ao CNPq/Capes, pelo suporte financeiro.

4 Pedi e lhe será dado; buscai, e achareis; batei, e lhe será aberto. Lucas 11,9.

5 Ao meu pai, José Antônio de Souza ( in memoriam ).

6 Resumo Nesse trabalho realizamos um estudo dos grupos solúveis finitos nos quais as relações de normalidade, permutabilidade e Sylow - permutabilidade são transitivas, apresentando diversas caracterizações destes grupos. Nosso estudo está baseado nos trabalhos de Robinson [13], [14], [15], Agrawal [1] e Beidleman - Brewster - Robinson [4].

7 Abstract In this work we realize a study of the finite soluble groups in which the relations of normality, permutability and Sylow - permutability are transitive, presenting diverse characterizations of these groups. Our study is based on the papers of Robinson [13], [14], [15], Agrawal [1] and Beidleman - Brewster - Robinson [4].

8 Sumário Lista de Símbolos 1 Introdução 3 Nota Histórica Apresentação do Trabalho Preliminares Definições e Resultados Básicos da Teoria dos Grupos Grupos Supersolúveis Caracterização dos T, PT e PST - grupos Solúveis Definições e Resultados Preliminares P ST - grupos Solúveis P T - grupos Solúveis T - grupos Solúveis A diferença entre P T - grupos e T - grupos Caracterizações Locais dos PT e T - grupos solúveis Propriedade X p Propriedade C p Pronormalidade e os T - grupos Solúveis Referências Bibliográficas 47 7

9 Lista de Símbolos G, H, Conjuntos, grupos e subgrupos x, y, z, Elementos de um conjunto xα ou x α x y [x, y] Imagem de x por α y 1 xy O conjugado do elemento x por y x 1 y 1 xy O comutador dos elementos x e y [x, kg] = [x, g, g,, g] Comutador de x com g, k vezes }{{} k vezes H = G H é isomorfo a G H G, H < G H é um subgrupo, um subgrupo próprio de um grupo G. H G, H G H G H 1 H 2 H n H é um subgrupo normal, H um subgrupo normal próprio de G H é um subgrupo subnormal de G Produto de subconjuntos ou de subgrupos de um grupo X λ /λ Λ Subgrupo gerado por subconjuntos X λ de um grupo X/R x W = G Grupo apresentado por geradores X e relações R Grupo gerado por um elemento x W é isomorfo a G

10 H Ordem do subgrupo H G : H Índice do subgrupo H no grupo G x C G (H), N G (H) Z(G) H G, H G Aut(G) H 1 H n Ordem do elemento x Centralizador, normalizador de H em G Centro de G Fecho normal, núcleo normal de H em G Grupo dos automorfismos de G Produto direto de grupos G = [G, G] Subgrupo derivado de um grupo G G (n) γ n (G) Z n (G) γ (G) Z (G) F (G) φ(g) O p (G) π(g) J(P ) n ésimo termo da série derivada de G n ésimo termo da série central inferior de G n ésimo termo da série central superior de G Hipercomutador do grupo G Hipercentro do grupo G Subgrupo de Fitting de G Subgrupo de Frattini de G p subgrupo normal maximal de G Conjunto dos primos que dividem a ordem de G Subgrupo de Thompson de G

11 Introdução Nos últimos anos, nos trabalhos de vários autores, foi difundido o interesse por critérios para a transitividade de propriedades locais de subgrupos como normalidade, permutabilidade e Sylow - permutabilidade. Muitas características estruturais de grupos que satisfazem essas propriedades foram descobertas. Realizamos uma investigação na qual registramos resultados importantes dentro dessa teoria. Muitos deles devido a Agrawal, R. K.; Gaschütz, W.; Robinson, D. J. S. e Zacher, G.. Nota Histórica Dizemos que um subgrupo H de um grupo G é subnormal se existe uma série H = H 0 H 1 H n = G, onde H i H i+1, i = 0, 1,, n 1. Um grupo G é um T - grupo se H G implica que H G, ou seja, todo subgrupo subnormal de G é normal. O primeiro resultado referente ao estudo de T - grupos é devido a R. Dedekind [6], em 1896, que determinou todos os grupos finitos nos quais todo subgrupo é normal. Resultado este estendido por R. Baer [2] para grupos infinitos. A determinação dos T - grupos finitos ocorreu quando Dedekind buscava determinar os corpos dos números algébricos com a propriedade que todo subcorpo é normal. Hoje grupos com todos seus subgrupos normais são chamados grupos de Dedekind. Eles são abelianos ou o produto direto de um grupo quatérnio de ordem 8 e um grupo abeliano sem elementos de ordem 4. A primeira menção explícita de T - grupos na literatura está no documento de E. Best e O. Tausshy [5] de Eles mostram que qualquer grupo com subgrupos de Sylow 3

12 cíclicos é um T - grupo. Subseqüentemente, G. Zacher [19] caracterizou os T - grupos solúveis por meio da propriedade Torre de Sylow. O teorema que traz a estrutura precisa dos T - grupos solúveis foi demonstrado por W. Gaschütz [7] em Um subgrupo H de um grupo G é dito permutável se HK = KH para todo K G. Como generalização deste conceito, temos que H é S-permutável se HP = P H para todos subgrupos de Sylow P de G. Dizemos que um grupo G é um P T - grupo se a permutabilidade é uma relação transitiva em G, ou seja, se H é um subgrupo permutável em K, e K é um subgrupo permutável em G, então H é permutável em G. Análogamente, G é um P ST - grupo se a S-permutabilidade é transitiva em G. De acordo com um conhecido teorema de O. Ore [11], subgrupos permutáveis são subnormais. Logo, P T - grupos são precisamente os grupos nos quais cada subgrupo subnormal é permutável. A estrutura dos P T - grupos solúveis foi determinada por Zacher [18] em Um resultado semelhante ao dos P T - grupos para P ST - grupos foi estabelecido por O. Kegel [9] em 1962, mostrando que todo subgrupo S - permutável é subnormal. Portanto, um grupo é um P ST - grupo se, e somente se, todo subgrupo subnormal é S-permutável. A estrutura dos P ST - grupos solúveis foi determinada por R. Agrawal [1] em Apartir das caracterizações feitas por Gaschütz, Zacher e Agrawal dos T, P T e P ST - grupos, respectivamente, vários outros autores como Robinson, Ballester - Bolinches e Esteban - Romero, dentre outros, em trabalhos recentes, trazem resultados interessantes com caracterizações dos T, P T e P ST - grupos através de propriedades locais dos grupos. Apresentação do Trabalho Esta dissertação tem como objetivo principal realizar um estudo dos grupos finitos nos quais as relações de normalidade, permutabilidade e Sylow - permutabilidade são transitivas. Este estudo está baseado nos trabalhos de Robinson [13], [14], [15], Agrawal [1] e Beidleman - Brewster - Robinson [4]. No primeiro capítulo, são introduzidos conceitos básicos da teoria dos grupos, resultados conhecidos como a lei modular de Dedekind e o teorema do isomorfismo, além 4

13 das definições e resultados importantes sobre solubilidade e nilpotência. Finalizamos o capítulo com alguns resultados sobre grupos supersolúveis. O segundo capítulo apresenta novos conceitos e resultados acerca de subgrupos permutáveis. O principal trabalho aqui é demonstrar os teoremas de Agrawal, Zacher e Gaschütz, que caracterizam os T, P T e P ST - grupos, respectivamente. O capítulo é concluído com uma discussão sobre as diferenças entre os T e P T - grupos. O terceiro e último capítulo introduz as propriedades locais X p, C p e a pronormalidade. São apresentados resultados que estabelecem critérios para grupos finitos satisfazerem tais propriedades. Apartir desses critérios conseguimos caracterizar os T, P T e P ST - grupos, e ainda estabelecer relações entre as propriedades locais. 5

14 Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo apresentamos algumas das definições e conceitos básicos relacionados com a teoria dos grupos, que são necessários para um bom entendimento do nosso trabalho. Desempenhando papel importante temos alguns resultados sobre grupos solúveis, nilpotentes e supersolúveis. Apresentamos a demonstração de vários destes resultados e para aqueles mais conhecidos trazemos apenas seus enunciados, já que suas demonstrações podem facilmente ser encontradas em [14], [17] e [16]. 1.1 Definições e Resultados Básicos da Teoria dos Grupos Teorema (Lei de Dedekind). Sejam H, K e L subgrupos de um grupo G com H L. Então HK L = H(K L). Demonstração: Seja x HK L, então x = hk onde h H e k K. Como H L, h, h 1 pertencem a L e h 1 x = k L, vale que k K L, ou seja, x = hk onde h H e k K L. Portanto, x H(K L). Conseqüentemente, temos HK L H(K L). Agora seja y H(K L). Então y = hx onde h H e x K L. Como H L, h e x pertencem a L, então y pertence a L. E ainda, h H e x K, logo y = hx HK. Portanto y HK L e temos H(K L) HK L. 6

15 Definição Um subgrupo H de um grupo G é chamado característico em G, se ϕ(h) = H para todo automorfismo ϕ de G. Lema Se H é característico em K e K é normal em G, então H é normal em G. Demonstração: Seja a G e seja ϕ : G G o automorfismo conjugação por a. Como K G, ϕ restrito a K, ϕ K, é um automorfismo de K; como H é característico em K, ϕ K (H) H. Isso diz que se h H, então aha 1 = ϕ(h) H. Teorema (isomorfismo). Sejam G um grupo, H G e N G. Então valem: (i) H, N = HN = NH; (ii) N HN, H N H; (iii) HN N = H H N ; (iv) N : N H = HN : H ; (v) Se N e H são subgrupos normais em G e N H, então H N G N e ( G N ) ( H N ) = G H. Demonstração: Veja [17], pág. 42. Definição Um automorfismo de um grupo G que deixa todo subgrupo invariante é chamado um automorfismo de potência. Podemos observar que o conjunto dos automorfismos de potência de G é um subgrupo do grupo de automorfismos de G e o denotaremos por P (G). Teorema Se A é um grupo abeliano finito e α é um automorfismo de potência de A, então existe um inteiro positivo m tal que a α = a m para todo a A. Demonstração: Veja [7], pág

16 Definição Se H é um subgrupo de um grupo G, um subgrupo K é chamado um complemento de H em G se podemos escrever G = HK onde H K = 1 Definição Seja G um grupo finito. Um subgrupo de Hall de G é um subgrupo H cuja ordem e o indíce em G são relativamente primos, ou seja, ( H, G : H ) = 1. Teorema (Schur - Zassenhaus - Feit - Thompsom). Seja N um subgrupo normal de um grupo finito G. Suponha que N é um subgrupo de Hall de G. Então, N possui complemento em G e quaisquer dois deles são conjugados. Demonstração: Veja [14], pág. 253 Definição Seja H subgrupo de um grupo G. O núcleo normal de H em G, denotado por H G, é definido como o subgrupo gerado pelos subgrupos normais de G contidos em H. Com essa definição podemos escrever o núcleo normal de um grupo G também da forma H G = g 1 Hg. Claramente, H G é normal em G. g G Definição Um subgrupo normal H de um grupo G é normal minimal se H 1 e não existe subgrupo normal K de G com 1 < K < H. Seja G um grupo. Dizemos que H/K é um fator principal de G se H/K é um subgrupo normal minimal de G/K. E H é um subgrupo maximal de G se 1 H < G e não existe subgrupo próprio de G contendo H. O próximo teorema exibe uma relação entre subgrupos maximais e fatores principais. Teorema Seja G um grupo. Assuma que G = HA onde H é um subgrupo próprio e A é um subgrupo abeliano normal de G. Então H é um subgrupo maximal em G se, e somente se, A H A é um fator principal de G. Também G : H = A : H A. Demonstração: Note que H A H e H A A pois A é abeliano. Assim, H A HA = G. Assuma que H é um subgrupo maximal em G. Se existe L A tal que H A < L e L G, temos que G = HL pois L H. 8 Logo, pela lei de Dedekind, vale que

17 A = (HL) A = (H A)L = L. Portanto, é um fator principal de G. Reciprocamente, suponha que A H A A H A é um fator principal de G. Seja K um subgrupo de G tal que H < K G. Novamente, pela lei de Dedekind, K = K (HA) = H(K A) > H. Então, H A < K A G e conseqüentemente A = K A e G = K, o que mostra que H é um subgrupo maximal em G. Grupos Solúveis Seja G um grupo. Uma série subnormal de G é uma cadeia de subgrupos, 1 = G 0 G 1 G n = G, onde G i G i+1 para 0 i n 1. Se G i+1 /G i é abeliano para todo 0 i n 1, então tal série é denominada abeliana. Um grupo G é dito solúvel se possui uma série subnormal abeliana. Como exemplos importantes e conhecidos podemos citar: (i) Todo grupo abeliano é solúvel; (ii) Os grupos simétricos S n, n 4 são solúveis; (iii) Os grupos S n, n 5 não são solúveis; (iv) Todo p - grupo finito é solúvel. Podemos ainda definir grupo solúvel através da série derivada: Sejam G um grupo e G = [G, G] = x 1 y 1 xy : x, y G (o grupo comutador de G). A série dos subgrupos G (0) = G, G (1) = [G, G],, G (n) = [G (n 1), G (n 1) ], onde n 1 é chamada série derivada de G. Logo, um grupo G é solúvel se, e somente se, existe um inteiro r 0 tal que G (r) = 1. Se G r 1 > G r = 1, então r é o comprimento derivado de G. Proposiçao Subgrupos, imagens homomórficas e produtos diretos (de um número finito) de grupos solúveis são solúveis. Observação Seja G um grupo. Se N é um subgrupo normal de G, então G é solúvel se, e somente se, N e G/N são solúveis. 9

18 Definição Dizemos que um grupo solúvel com comprimento derivado igual a 2 é metabeliano. Teorema Se G é um grupo finito solúvel, então todo subgrupo normal minimal é abeliano elementar. Demonstração: Seja V um subgrupo normal minimal de G. Como V é característico em V, pelo lema 1.1.1, V = 1 ou V = V, mas V é solúvel, logo V = 1 e V é abeliano. Então um p-subgrupo de Sylow P de V, para qualquer primo p, é característico em V. Portanto V é um p-grupo abeliano. Mas {x V : x p = 1} é característico em V, e assim V é abeliano elementar. Teorema Um grupo finito G que não tem subgrupos característicos diferentes de G e 1 é simples ou é o produto direto de grupos simples isomorfos. Demonstração: Escolha um subgrupo normal minimal não trivial H de G. Escreva H = H 1, e considere todos os subgrupos de G da forma H 1 H 2... H n, onde n 1, H i G e H i = H. Seja M um desses subgrupos de maior ordem possível. Mostraremos que M = G utilizando o fato que M é característico em G. Para isso é suficiente mostrar que ϕ(h i ) M para todo i e todo automorfismo ϕ de G. É claro que ϕ(h i ) = H = H 1, ϕ Aut(G) e assim temos ϕ(h i ) G. Se a G então a = ϕ(b) para algum b G, e aϕ(h i )a 1 = ϕ(b)ϕ(h i )ϕ(b) 1 ϕ(h i ), pois H i G. Se ϕ(h i ) M, então ϕ(h i ) M < ϕ(h i ) e ϕ(h i ) M < ϕ(h i ) = H. Mas ϕ(h i ) M G, e assim, pela minimalidade de H, ϕ(h i ) M = 1. Logo o subgrupo M, ϕ(h i ) = M ϕ(h i ) é do mesmo tipo de M mas de maior ordem, uma contradição. Então M é característico em G e, por hipótese, M = G. E finalmente H = H i tem que ser simples. Suponha que N é um subgrupo normal não trivial de H, então N é um subgrupo normal de M = G, e isso contradiz a minimalidade de H. 10

19 Corolário Um subgrupo normal minimal H de um grupo finito G é simples ou é o produto direto de subgrupos simples isomorfos. Demonstração: Se N é um subgrupo característico de H então N G, logo N = 1 ou N = H. Portanto H não tem subgrupos característicos próprios, e o resultado segue do teorema acima. Observação Com esse corolário e o teorema temos que um grupo simples finito é soluvel se, e somente se, ele é cíclico de ordem prima. Grupos Nilpotentes Dizemos que um grupo G é nilpotente se G possui uma série subnormal 1 = G 0 G 1 G n = G tal que G i+1 /G i Z(G/G i ) para i = 0, 1, 2,, n 1 Teorema Todo p - grupo finito é nilpotente. Demonstração: Seja G um grupo tal que G = p n. Como G > 1, sabemos que Z(G) > 1. Coloquemos G 0 = 1, G 1 = Z(G). Se G k G já foi definido, definamos G k+1 por G k+1 /G k = Z(G/G k ). Como G/G k é um p - grupo finito teremos que se G/G k > 1, então G k+1 /G k = Z(G/G k ) > 1 e daí G k < G k+1 G. Depois de (no máximo) n passos temos 1 = G 0 G 1 G n 1 G n = G, com G k G e G k /G k 1 = Z(G/G k 1 ) k = 1,, n. Portanto G é nilpotente de classe n. Proposiçao Subgrupos, imagens homomórficas e produtos diretos finitos de grupos nilpotentes também são nilpotentes. Observamos que todo grupo nilpotente é solúvel, mas em geral um grupo solúvel não é nilpotente. Como exemplo temos o grupo S 3 que é solúvel e tem centro trivial. 11

20 Observação Podemos definir a série central superior de G da forma 1 = Z 0 (G) Z 1 (G) Z i (G), onde 1 = Z 0 (G), Z 1 (G) = Z(G), Z 2 (G) G Z 1 = Z( ),, Z i (G) G (G) Z 1 (G) Z i 1 = Z( ),. (G) Z i 1 Esta série não atinge o grupo G (G) necessariamnete, mas se G é finito a série termina em um grupo chamado hipercentro de G, que denotaremos por Z (G). E a série central inferior de G como G = γ 1 (G) γ 2 (G) γ j (G), onde γ 1 (G) = G, γ 2 (G) = [G, G], γ 3 (G) = [G, γ 2 (G)],, γ s+1 (G) = [G, γ s (G)],. Se G é um grupo nilpotente, existem n e r inteiros positivos tal que Z n (G) = G e γ r+1 (G) = 1. Teorema Seja G um grupo nilpotente. Suponha que N é um subgrupo normal não trivial de G. Então Z(G) N 1. Demonstração: Seja 1 = Z 0 (G) Z 1 (G) Z n (G) = G a série central superior de G, onde Z 1 (G) = Z(G). Suponha que Z(G) N = 1. Seja i o menor número tal que N contém um elemento x 1 de Z i (G). Como x N e N G, decorre que [G, x] N. Por outro lado [G, x] Z i 1 (G). Pela minimalidade de i, decorre que [G, x] = 1. Então x Z(G). Teorema Seja G um grupo finito. Então, G é nilpotente se, e somente se, G é o produto direto de seus subgrupos de Sylow. Demonstração: Veja [16], pág. 116 Definição O subgrupo F (G) gerado por todos os subgrupos normais nilpotentes de um grupo G é chamado o subgrupo de Fitting de G. Definição O subgrupo de Frattini de um grupo G, denotado por Φ(G), é a interseção de todos os subgrupos maximais de G. Se G não possui subgrupos maximais, então Φ(G) = G. 12

21 Observação O subgrupo de Frattini de um grupo G também pode ser visto como o conjunto dos elementos não geradores de G, ou seja, se x Φ(G) e M G é tal que x, M = G, então M = G. Teorema Seja G um grupo finito. Então G/Φ(G) é nilpotente se, e somente se, G é nilpotente. Demonstração: Sejam p um primo e P um p - subgrupo de Sylow de G, temos que P Φ(G)/Φ(G) G/Φ(G). Considere em G o subgrupo N = P Φ(G). Temos, pelo argumento de Frattini, que G = NN G (P ) = P Φ(G)N G (P ) = Φ(G)N G (P ). Mas Φ(G) é o conjunto dos elementos não geradores de G, então G = N G (P ) e P é normal em G. Pelo teorema , vemos que G é nilpotente. Observe que a recíproca do teorema segue da proposição Dizemos que um grupo finito G é p - nilpotente, onde p é um primo, se ele tem um p - subgrupo de Hall normal. Observemos que todo grupo nilpotente finito é p - nilpotente. Reciprocamente, um grupo finito que é p - nilpotente para todo primo p, é nilpotente. Um dos resultados mais conhecidos sobre p - nilpotência é devido a Burnside e sua demonstração pode ser encontrada em [14] (pág. 289). Apresentamos este resultado no teorema abaixo. Teorema (Critério de Burnside). Se para algum primo p um p - subgrupo de Sylow de um grupo finito G está no centro de seu normalizador, então G é p - nilpotente. 1.2 Grupos Supersolúveis Um grupo G é dito supersolúvel se existe uma série 1 = G 0 G 1 G n = G, com G i G e tal que G i /G i 1 é cíclico para cada i, 0 i n. Podemos observar que todo grupo supersolúvel é solúvel. E o grupo alternado A 4 é um exemplo de grupo solúvel que não é supersolúvel. 13

22 Proposiçao Subgrupos, imagens homomórficas e produtos diretos (de um número finito) de grupos supersolúveis são também supersolúveis. Demonstração: Seja G um grupo supersolúvel. Então existe uma série 1 = G 0 G 1 G n = G tal que G i G e G i+1 G i é cíclico para todo i. Vamos mostrar que se H G, então H é supersolúvel. Considere a série 1 = H 0 H G 1 H G 2 H G n = H (I). Temos que H G i H. Logo (I) é uma série normal de H. Pelo teorema do isomorfismo 1.1.2, vale: H G i+1 H G i = H G i+1 G i (H G i+1 ) = G i+1 (H G i+1 ) G i G i G i Como G i+1 G i é cíclico para todo i, segue que H G i+1 H G i é um grupo cíclico. Portanto H tem um série normal onde os quocientes são cíclicos, ou seja, H é supersolúvel. Agora, seja N um subgrupo normal de G. Mostraremos que G/N é supersolúvel. Seja N i = NG i e considere N NG 1 NG 2 N N N NG n 1 N NGn N = G N (II) Temos que NG i NG para todo i, logo a série (II) é normal em G. Além disto, pelo N teorema 1.1.2, vemos que NG i+1 /N NG i /N = NG i+1 NG i = (NG i)g i+1 NG i = G i+1 G i+1 NG i = G i+1 (G i+1 NG i )G i = G i+1 /G i (G i+1 N)G i /G i que é cíclico. Logo, G/N é supersolúvel pois tem um série normal onde os quocientes são cíclicos. Finalmente, para provar que o produto direto de um número finito de grupos supersolúveis é supersolúvel, é suficiente considerar o caso de dois fatores. Sejam H e K grupos e sejam 1 = H 0 H 1 H m = H e 1 = K 0 K 1 K m = K séries normais onde os quocientes são cíclicos. Então: 1 = H 0 K 0 H 1 K 0 H m K 0 H m K 1 H m K n = H K 14

23 é uma série normal de H K onde os quocientes são cíclicos. Portanto H K é supersolúvel. Observação Seja G um grupo finito supersolúvel. Se N é um subgrupo normal minimal de G, então N = p, onde p é um número primo. Proposiçao Seja G um grupo finito supersolúvel. Se P é um p - subgrupo de Sylow de G, onde p é o maior primo que divide a ordem de G, então P é um subgrupo característico de G. Demonstração: Seja G um contra - exemplo de ordem mínima. Seja N um subgrupo normal minimal de G. Pela observação 1.2.1, N = q, onde q é um número primo. Temos que P N/N é um p - subgrupo de Sylow de G/N e, como G/N < G, segue pela minimalidade da ordem de G, que P N G. Além disso, P é um p - subgrupo de Sylow de P N. Podemos então considerar dois casos: 1 o Caso: p = q. Pelo Teorema de Sylow P N = P e assim P G, o que implica que P é característico em G, uma contradição. 2 o Caso: Consideramos p q. Neste caso, novamente pelo Teorema de Sylow, P N : N P N (P ) 1 (mod p), onde N P N (P ) é o normalizador de P em P N, isto é, P N : N P N (P ) = 1 + kp. Ainda, P N : N P N (P ) = N = q. Como por hipótese temos p > q, segue que, k = 0. Logo P P N, o que implica que P é característico em P N. Portanto, pelo lema 1.1.1, P é normal em G e conseqëntemente, característico em G, uma contradição. Podemos observar, com esta proposição, que se G é um grupo supersolúvel, então G possui uma torre de Sylow. Ou seja, para todo subgrupo normal N de G, o p - subgrupo de Sylow de G/N é normal quando p denota o maior primo dividindo a ordem de G/N. Particularmente, G é q - nilpotente, quando q é o menor primo que divide a ordem de G. Observação Sejam G um grupo, N, M G. Se G N e G M Então G é supersolúvel. N M são grupos supersolúveis. 15

24 Teorema Se todo subgrupo maximal de um grupo finito G é supersolúvel, então G é solúvel. Demonstração: Suponha que G não é solúvel e seja p o menor primo dividindo a ordem de G. Se G é p - nilpotente, então O p (G) G pois O p (G) é maximal em G e O p (G) é supersolúvel. Como G/O p (G) é um p - grupo, a solubilidade de G segue. Portanto, G não é p - nilpotente. Em outras palavras, um subgrupo H maximal em G é supersolúvel e portanto p - nilpotente. Seja P um p - subgrupo de Sylow de G. Temos que H é O p (H) H nilpotente, pois H é p - nilpotente, e é nilpotente enquanto P O H P p (H) = 1. Assim, H é nilpotente. Logo, todo subgrupo maximal de G é nilpotente e conseqüentemente G é solúvel. Teorema Um subgrupo maximal de um grupo supersolúvel tem índice primo. Demonstração: Sejam G um grupo supersolúvel e M um subgrupo maximal de G. Temos que G é solúvel e M G, logo existe um maior inteiro i tal que para o i - ésimo termo da série derivada de G, temos A = G (i) M. Então A M e M/A é maximal em G/A. Sem perda de generalidade podemos assumir que A = 1 e A é abeliano. Como M é maximal, G = MA. Então, pelo teorema 1.1.5, A é minimal normal em G. Como G : M = A, o resultado segue da observação Mencionaremos a seguir o famoso Teorema de Huppert, onde a recíproca do teorema acima também é verdadeira. Teorema (huppert). Um grupo finito G é supersolúvel se, e somente se, todo subgrupo maximal de G tem índice primo. Demonstração: Veja [14], pág. 276 Outro resultado importante é o seguinte: 16

25 Teorema Se G é um grupo supersolúvel, então G é nilpotente. Demonstração: Veja [14], pág

26 Capítulo 2 Caracterização dos T, PT e PST - grupos Solúveis Neste capítulo apresentamos os resultados que caracterizam os T, P T e P ST - grupos solúveis finitos. Estes resultados foram estabelecidos por W. Gaschütz [7], G. Zacher [18] e R.K. Agrawal [1], respectivamente. Para tanto introduzimos os conceitos de grupos permutáveis e grupos S-permutáveis, e demonstramos alguns resultados referentes a estes grupos. Na segunda seção deste capítulo, demonstramos o teorema de Agrawal. Para a demonstração dos teoremas de Gaschütz e Zacher, nas terceira e quarta seções, fazemos uso dos resultados obtidos sobre P ST - grupos. E por fim, na quinta seção, identificamos a diferença entre as estruturas dos P T e T - grupos e demonstramos um resultado que diz quando um P T - grupo é um T - grupo. 2.1 Definições e Resultados Preliminares Seja G um grupo. Dois subgrupos H e K de G permutam se HK = KH. E se um subgrupo H permuta com todos os subgrupos de G dizemos que H é permutável em G. Como uma generalização desse conceito, se H permuta com todos os subgrupos de Sylow de G, H é chamado S-permutável. Em [9], Kegel mostra que um subgrupo 18

27 S-permutável é também um subgrupo subnormal. Estudaremos apartir de agora em que estruturas de grupos a permutabilidade e a normalidade são relações transitivas. Um grupo onde a S-permutabilidade é transitiva é chamado de P ST - grupo. Ou ainda, de acordo com Kegel [9], um grupo G é um P ST - grupo se, e somente se, todo subgrupo subnormal de G é S-permutável em G. Já um grupo onde a permutabilidade é uma relação transitiva é chamado de P T - grupo. De maneira semelhante, dizemos que um grupo G é um P T - grupo se, e somente se, todo subgrupo subnormal de G é permutável em G. Finalmente, dizemos que um grupo G é um T - grupo se todo subgrupo subnormal de G é normal em G. Sejam T, P T e P ST as classes correspondentes aos grupos definidos acima. Claramente percebemos que T P T P ST. Adiante mencionaremos alguns resultados onde alguma dessas inclusões pode inverter. Lema Se H K G e H é S-permutável em G, então H é S-permutável em K. Demonstração: Seja P 1 um p - subgrupo de Sylow de K. Pelo teorema de Sylow P 1 P, onde P é um p - subgrupo de Sylow de G e P K = P 1. Logo pela Lei de Dedekind, teorema 1.1.1, temos HP 1 = H(P K) = HP K = P H K = (P K)H = P 1 H. Portanto H é S-permutável em K. Lema Um subgrupo subnormal de um P ST - grupo é também um P ST - grupo. Mas um subgrupo não subnormal de um P ST - grupo não é necessariamente um P ST - grupo. Demonstração: Seja G um P ST - grupo e H um subgrupo subnormal de G. Seja K um subgrupo de G subnormal em H. Logo, K é subnormal em G, o que implica que 19

28 K é S-permutável em G. Pelo lema 2.1.1, K é S-permutável em H. Portanto, H é P ST - grupo. Expomos aqui o grupo A 5 como exemplo de um P ST - grupo, pois ele é simples,ou seja, não possui subgrupos normais próprios. O subgrupo A 4, não subnormal em A 5, não é um P ST - grupo. Percebemos que o grupo A 5 também é P T e T - grupo, e da mesma forma o subgrupo A 4 não satisfaz as condições para ser um P T ou T - grupo. Mencionamos que, em grupos solúveis, as propriedades T, P T e P ST são herdadas por subgrupos. Este fato está demonstrado adiante neste trabalho. Lema Um grupo quociente de um P ST - grupo é um P ST - grupo. Demonstração: Sejam G um P ST - grupo e N um subgrupo normal de G. Temos que todo subgrupo de Sylow de G/N é da forma P N/N, onde P é um subgrupo de Sylow de G. Seja H/N um subgrupo subnormal de G/N. Como H é subnormal em G, temos (P N)H = P H = HP H(P N). Logo (H/N)(P N/N) = (P N/N)(H/N). Portanto G/N é um P ST - grupo. Proposiçao Se G 1 e G 2 são dois P ST - grupos e ( G 1, G 2 ) = 1, então G = G 1 G 2 é também um P ST - grupo. Demonstração: Sejam H um subgrupo subnormal de G = G 1 G 2 e G p um p - subgrupo de Sylow de G. Para provar que G é um P ST - grupo temos que mostrar que H e G p comutam. Como ( G 1, G 2 ) = 1 temos G 1 G 2 = 1. Observe que (H G 1 ) (H G 2 ) H. Agora, seja h H. Então h G e h = (g 1, g 2 ) com g 1 G 1 e g 2 G 2. Temos que G 1 e G 2 são finitos, logo existe n inteiro positivo tal que g1 n = 1 e h n = (1, g2 n ) H. Como H é um subgrupo, temos que h n (h n 1 ) 1 = (1, g 2 ) H. Análogamente, g 1 pertence a H. Portanto, g 1 (H G 1 ) e g 2 (H G 2 ) e assim h (H G 1 ) (H G 2 ). Podemos então escrever H = (H G 1 ) (H G 2 ). 20

29 Agora vamos assumir sem perda de generalidade que G p G 1. Como H é subnormal em G, existe uma série subnormal H = H 0 H 1 H n = G. Fazendo a interseção com G 1 obtemos H G 1 = H 0 G 1 H 1 G 1 H n G 1 = G G 1 = G 1. Logo H G 1 é subnormal em G 1 e como G 1 é um P ST - grupo temos que H G 1 permuta com G p. Além disto, seja x G 1 e y G 2 e considere o elemento xyx 1 y 1. Observe que xyx 1 y 1 = (xyx 1 )y 1 = y x 1 y 1 G 2, mas por outro lado temos que xyx 1 y 1 = x(yx 1 y 1 ) = x(x 1 ) y 1 G 1. Então xyx 1 y 1 G 1 G 2 = 1, o que implica que xy = yx para todos x G 1 e y G 2. Logo G 2 centraliza G 1 e então H G 2 centraliza G p. Portanto, H = (H G 1 ) (H G 2 ) permuta com G p. Isto prova a proposição. No resultado acima a condição que ( G 1, G 2 ) = 1 é necessária. O seguinte exemplo mostra isto Exemplo Sejam G 1 = S 3 = x, y x 3 = y 2 = 1, yx = x 2 y e G 2 = z z 3 = 1. Então xz é subnormal em G 1 G 2. Mas como xz não permuta com y, não é S - permutável em G 1 G 2. Portanto, G 1 G 2 não é um P ST - grupo. Observação Note que os grupos nilpotentes são P ST - grupos, mas não são necessariamente P T - grupos. 2.2 P ST - grupos Solúveis Nesta seção apresentamos a caracterização dos P ST - grupos solúveis, a qual foi estabelecida de forma conclusiva por R.K. Agrawal [1], em Antes de demonstrar o principal teorema referente a essa caracterização, introduzimos dois resultados preliminares importantes. Lema Seja G um P ST - grupo. Se N é um subgrupo normal minimal solúvel de G, então a ordem de N é um primo. 21

30 Demonstração: Como N é um subgrupo normal minimal solúvel de G, vale que N = p n para algum primo p, onde n é um inteiro positivo. Logo, todo subgrupo de N é subnormal em G e portanto S-permutável em G. Seja G p qualquer p - subgrupo de Sylow de G. Então N é um subgrupo normal de G p e N Z(G p ) 1, conforme o teorema Seja g um elemento não trivial pertencente a N Z(G p ). Logo g é um subgrupo subnormal em G e portanto S-permutável. Seja q primo tal que q p. Como g G p então g G q = 1 e g G q G. Logo g é subnormal em g G q. Disto e do fato que g é um p - subgrupo de Sylow de g G q, obtemos que g é normal em g G q, para todo q p. Por outro lado g é normal em G p, pois g Z(G p ). Portanto, g é normal em G. Pela minimalidade de N temos que N = g e assim N = p. Teorema Um P ST - grupo solúvel é supersolúvel. Demonstração: Usamos indução sobre a ordem de G. Seja N um subgrupo normal minimal de G. Como G/N é um P ST - grupo solúvel, G/N é supersolúvel por indução. Mas pelo lema 2.2.1, N é um primo e assim G é supersolúvel. O próximo teorema apresenta a estrutura dos P ST - grupos solúveis determinada por R.K. Agrawal [1], em Teorema Seja G um P ST - grupo solúvel e γ (G) seu subgrupo hipercomutador (o menor subgrupo normal de G tal que G/γ (G) é nilpotente). Então (i) γ (G) é um subgrupo de Hall de G de ordem impar, e (ii) todo subgrupo de γ (G) é normal em G. Neste caso em particular, γ (G) é abeliano. Observação Note que todo complemento de γ (G) em G é nilpotente. Demonstração: Suponha que G é um contra exemplo de ordem mínima tal que G é um P ST - grupo solúvel mas não satisfaz (i). Temos que G é supersolúvel, logo G é 22

31 nilpotente. Segue que γ (G) é nilpotente, pois γ (G) G. Como G é 2 - nilpotente, γ (G) tem ordem impar. Analizemos, agora, três possibilidades quanto ao número de primos que dividem a ordem de γ (G). 1 o caso: Suponha que dois primos distintos, p e q, dividem a ordem de γ (G). Sejam P e Q os p - subgrupo e q - subgrupo de Sylow de γ (G), respectivamente. Como γ (G) é nilpotente, P e Q são normais em γ (G), logo são característicos em γ (G). Portanto P e Q são normais em G. Pelo lema 2.1.3, G/P e G/Q são P ST - grupos e ainda, pela minimalidade da ordem de G, a propriedade (i) vale. Então, γ (G/P ) é um subgrupo de Hall de G/P. Como γ (G/P ) = γ (G)P/P = γ (G)/P temos que γ (G)/P é um subgrupo de Hall de G/P, onde q divide a ordem de γ (G)/P. Logo q não divide a ordem de G/γ (G). Analogamente, γ (G)/Q é um subgrupo de Hall de G/Q e p não divide a ordem de G/γ (G). Portanto, se existirem mais primos dividindo a ordem de γ (G), indutivamente, temos que γ (G) é um subgrupo de Hall de G. 2 o caso: Suponha que γ (G) é um p - grupo, ou seja, γ (G) = p s, onde s é um inteiro positivo. Considere N um subgrupo normal minimal de G com N γ (G). Como G é supersolúvel, N = p. Pela minimalidade da ordem de G, a propriedade (i) vale em G/N, ou seja, γ (G/N) é um subgrupo de Hall de G/N. Mas γ (G/N) = γ (G)N/N = γ (G)/N. Logo, ( G/γ (G), γ (G)/N ) = 1. Se N < γ (G), então p divide a ordem de γ (G)/N mas não divide a ordem de G/γ (G). Segue que ( G/γ (G), γ (G) ) = 1. Portanto γ (G) é um subgrupo de Hall de G. Resta - nos o 3 o caso: Considere que γ (G) = p. Em outras palavras, que γ (G) = N é um subgrupo normal minimal de G. Suponha que γ (G) Φ(G). Então G/Φ(G) é nilpotente, e pelo teorema , G é nilpotente. Absurdo. Então γ (G) Φ(G), por conseqüência existe um complemento M para γ (G) em G o qual não é normal. Se p divide a ordem de M existe um subgrupo normal Y de M, de ordem p, e portanto central em M. Então T = Y γ (G) é um subgrupo abeliano elementar de G do tipo (p, p), e Y é um fator central em G = γ (G)M. Como γ (G) não é central em G, existe um primo q p e um q - subgrupo de Sylow Q de G que não centraliza γ (G). Seja W um subgrupo de T de ordem p com γ (G) W Y. Como W é subnormal em G, W permuta com Q. Logo W Q G e W W Q, ou seja, Q normaliza W. Daí, temos os Q - isomorfismos 23

32 γ (G) = Q T/W = Q Y. Como Y é centralizado por Q e γ (G) não é, p não pode dividir a ordem de M e γ (G) é um subgrupo de Hall de G. Agora vamos mostrar que todo subgrupo de γ (G) é normal em G. Claramente, basta mostrar que todo subgrupo cíclico de γ (G) é normal em G. Para tanto, note que todos os subgrupos de γ (G) são subnormais em γ (G), e portanto são subnormais em G. Logo, são S-permutáveis, ou seja, permutam com todos os subgrupos de Sylow de G. Seja M um complemento de γ (G) em G. Temos que M é nilpotente e assim sendo, M é o produto direto de seus subgrupos de Sylow, que são também subgrupos de Sylow de G. Seja c um subgrupo cíclico de γ (G). Dado que c permuta com M e ( c, M ) = 1, vale que c é normalizado por M. Como M é um complemento arbitrário de γ (G) em G, temos que c é normalizado por todos os conjugados de M. Portanto, c é normal em M G. Mas o fecho normal de M em G é normal em G e G M G é nilpotente o que é uma contradição com a definição de γ (G). Portanto, temos M G = G e c é normal em G. Observe que a condição (ii) do teorema acima nos diz que os elementos de G induzem automorfismo de potência em γ (G). O próximo teorema dá condições suficientes para um grupo G ser um P ST - grupo. Mesmo não exigindo que G seja solúvel. Teorema Suponha que o grupo G tem um subgrupo de Hall normal N tal que: (i) G/N é um P ST - grupo, e (ii) Todo subgrupo subnormal de N é normal em G. Então G é um P ST - grupo. Demonstração: Seja H um subgrupo subnormal de G. Temos então que mostrar que H é S-permutável em G. Suponha que G é um grupo de menor ordem tal que vale (i) e (ii) mas não é um P ST - grupo Considere primeiramente o caso K = N H 1. Como H é subnormal em G existe uma série subnormal H H 0 H n = G. Fazendo a interseção com N obtemos a série H N H 0 N H n N = N. Portanto, K é subnormal em N e por (ii) é normal em G. Logo, G/K é um P ST - grupo e H/K é subnormal em G/K e portanto 24

33 S-permutável em G/K. Segue que H é S-permutável em G. Agora suponha que N H = 1. Pelo teorema de Schur - Zassenhaus 1.1.4, N tem um complemento em G e todos os complementos são conjugados. Seja M um complemento de N em G. Então M é um P ST - grupo. Como H é subnormal em G e ( N, M ) = 1 temos que H = (H M)(H N). Mas H N = 1, assim H = H M. Isto significa que H M. Portanto, todo complemento M de N em G é um P ST - grupo que contém H e sendo ( N, M ) = 1, temos também ( H, N ) = 1. Considere o subgrupo HN. Como H é subnormal em HN e ( H, N ) = 1, segue que H é característico em HN. Portanto, H permuta com todos os subgrupos de Sylow de N. Sejam p um divisor primo da ordem de G e G p um p - subgrupo de Sylow de G. Se p divide a ordem de N, então G p N e assim HG p = G p H. Em outras palavras, se p não divide a ordem de N, então existe um complemento L de N em G tal que G p L. Como H é um subgrupo subnormal de L e L é um P ST - grupo, os subgrupos H e G p permutam. Portanto H é S - permutável em G. Isto prova o teorema. Uma conseqüência do teorema acima que mostra que as condições (i) e (ii) do teorema não são somente necessárias mas são também suficientes é o Corolário Se o grupo G tem um subgrupo de Hall normal N tal que: (i) G/N é um P ST - grupo solúvel, e (ii) N é solúvel e todos os seus subgrupos subnormais são normais em G. Então G é um P ST - grupo solúvel. Demonstração: Como G/N e N são solúveis, G é solúvel. Portanto, pelo teorema 2.2.3, G é um P ST - grupo solúvel. Observação A condição (i) do corolário é automaticamente satisfeita se o grupo quociente é nilpotente. Corolário Seja G um P ST - grupo solúvel. Então seus subgrupos são também P ST - grupos solúveis. 25

34 Demonstração: Seja K um subgrupo de G e considere K γ (G). Segue, pelo teorema 2.2.2, que K γ (G) é um subgrupo de Hall normal em K e seus subgrupos subnormais são normais em K. Temos também que γ (G)K γ (G) = K, e como G K γ (G) γ (G) é nilpotente, então K K K γ (G) é nilpotente. Portanto, é um P ST - grupo solúvel. Ainda, K γ K γ (G) (G) é solúvel e todos os seus subgrupos subnormais são normais em K. Pelo corolário 2.2.1, segue que K é um P ST - grupo solúvel. 2.3 P T - grupos Solúveis O primeiro teorema desta seção caracteriza os P T - grupos solúveis, ele foi estabelecido por G. Zacher [18]. Antes de apresentar este resultado observamos que um p - grupo ou um grupo nilpotente é modular se seus subgrupos são permutáveis. Demonstramos esse resultado utilizando o teorema Teorema Um grupo solúvel G é um P T - grupo se, e somente se, ele tem um subgrupo de Hall normal abeliano L de ordem impar tal que G/L é um grupo modular nilpotente e os elementos de G induzem automorfismos de potência em L. Demonstração: Suponha que o grupo G é um P T - grupo solúvel. Temos que G é um P ST - grupo solúvel. Faça L = γ (G). Portanto, pelo teorema 2.2.2, L é um subgrupo de Hall abeliano normal em G de ordem impar, e os elementos de G induzem automorfismos de potência em L. Resta-nos então mostrar que G/L é modular. Mas como G/L é nilpotente e todo subgrupo de G/L é permutável, então G/L é modular. A condição de suficiência do teorema acima segue do próximo resultado, apesar de não exigirmos a solubilidade do grupo G. 26

35 Lema Seja N um subgrupo de Hall normal de um grupo G e assuma que valem: (i) G/N é um P T - grupo, e (ii) todo subgrupo subnormal de N é normal em G Então G é um P T - grupo. Demonstração: Seja H um subgrupo subnormal de G. Temos que mostrar que H é permutável em G. Considere o subgrupo H N, e suponha que H N 1. Suponha, ainda, que G seja o grupo de menor ordem tal que valem (i) e (ii) mas não seja um P T - grupo. Temos que H N é subnormal em N, logo pelo item (ii), H N é normal em H G. Então, é permutável em G H N é permutável em G., pela minimalidade da ordem de G. Segue que H H N Agora suponha que H N = 1. Pelo teorema 1.1.4, N tem um complemento em G e todos os complementos são conjugados. Seja M qualquer complemento de N em G. Então M é um P T - grupo. Como H é subnormal em G e ( N, M ) = 1, podemos escrever H = (H N)(H M). Mas H N = 1 e assim H = H M. Isto significa que H é um subgrupo de M. Portanto todo complemento de N em G é um P T - grupo e contém H. É suficiente mostrar que H permuta com qualquer subgrupo T de G de ordem p n, onde p é um primo e n é um inteiro positivo. Se p divide a ordem de N, então T N. Considere o subgrupo HN. Temos que H é subnormal em HN e ( H, N ) = 1. Segue então que H é característico em HN. Logo, H é normal em HN e H permuta com T. Assuma agora que p não divide a ordem de N. Então T está contido em algum conjugado de M; digamos M x, onde x G. Pelo item (i), M x é um P T - grupo e H M x, assim H permuta com T e o resultado segue. O próximo corolário dá características interessantes para os P T - grupos solúveis. Corolário Seja G um P T - grupo solúvel. Então as seguintes afirmações valem: (i) G é metabeliano. (ii) O subgrupo de Fitting de G, F (G), é igual a γ (G) Z (G). (iii) Se H é um subgrupo de G, então H é um P T - grupo solúvel. 27

36 (iv) Se G Z(G) = 1, então G é um T - grupo. Em particular se Z(G) = 1, então G é um T - grupo. Demonstração: Faça L = γ (G). Pelo teorema 2.3.1, L é abeliano e tem um complemento B, em G. Então, G = LB e G = [L, B ]. Mas [L, B ] L, visto que B induz automorfismo de potência em L, e [L, B ] B. Portanto G = [L, B ] = 1. Isto estabelece (i). Seja π = π(g/l) e note que L é um π - subgrupo de Hall abeliano de F (G). Portanto, temos F (G) = L F π. Agora, [F π, i G] F π L = 1, para algum i, o que significa que F π Z (G). Também note que γ (G) Z (G) = 1, pois do contrário γ (G) Z(G) 1, o que é uma contradição com a definição de γ (G). Portanto, F π = Z (G) e (ii) está demonstrado. Seja H um subgrupo de G e considere o subgrupo H L. Temos, pelo teorema 2.3.1, que H L é um subgrupo de Hall abeliano normal em H e tem ordem impar. H Conseqüentemente, H L = HL é um grupo modular nilpotente e todos os subgrupos L subnormais de H L são normais em H. Portanto, pelo lema 2.3.1, H é um P T - grupo. Finalmente, assuma que G Z(G) = 1. Pelos itens (i) e (ii), temos que L G L Z (G). Assim G = L e G/L é abeliano. Portanto, G é um T - grupo, pelo lema Logo (iv), segue. Observemos que o item (iv) do corolário acima não é verdadeiro para P T - grupos não solúveis. Exemplo Existe um P T - grupo G não solúvel com centro trivial o qual não é um T - grupo. Seja D = P SL 8 (25). Então D tem um automorfismo diagonal σ de ordem 8, e um automorfismo α de um corpo de ordem 2. Coloque Q = σ, α e note que σ α = σ 5 = σ 1+4. Portanto Q é um 2 - grupo modular de ordem 16. Seja G o produto semidireto de D por Q. Então G é semisimples. Seja H um subgrupo subnormal não trivial de G. Então D H, e H é permutável em G pois G/D é um P T - grupo. Assim, G é um P T - grupo com centro trivial, mas não é um T - grupo pois Q não é. 28

37 2.4 T - grupos Solúveis A estrutura dos T - grupos solúveis foi estabelecida por W. Gaschütz, em 1957, através do seguinte resultado: Teorema Um grupo G é um T - grupo solúvel se, e somente se, ele tem um subgrupo de Hall abeliano normal L de ordem impar tal que G/L é um grupo de Dedekind e os elementos de G induzem automorfismos de potência em L. Demonstração: Como G é um T - grupo solúvel, então G é um P T - grupo solúvel e pelo teorema 2.3.1, L = γ (G) é um subgrupo de Hall abeliano normal de ordem impar de G. Além disto G/L é um grupo modular nilpotente e os elementos de G induzem automorfismos de potência em L. Basta então mostrar que G/L é um grupo de Dedekind. Temos que G/L é um T - grupo. Como ele é nilpotente todos os seus subgrupos são subnormais e portanto normais. Então G/L é um grupo de Dedekind. Observe que L = γ (G) = γ 3 (G) = [G, G]. Como no caso dos P T - grupos solúveis a condição de suficiência do teorema acima segue do próximo lema. Lema Seja N um subgrupo de Hall normal de um grupo G e assuma que vale: (i) G/N é um T - grupo, e (ii) todo subgrupo subnormal de N é normal em G Então G é um T - grupo. Demonstração: Seja H um subgrupo subnormal de G. Mostraremos que H é normal em G. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que H K G. Como H é subnormal em G, temos que H N é subnormal em N. Logo, pelo item (ii), H N é normal em G. Assim, passando o quociente módulo H N, podemos supor que H N = 1. Isto implica que H e N são relativamente primos.considere o subgrupo HN e seja M = K HN. Pela Lei de Dedekind temos M = K HN = H(K N). Então, M é normal em G pois HN é normal em G, pelo item (i). Também H é normal em M. Portanto, se π é o 29

38 conjunto de todos os primos divisores de G : N, então H é o único π - subgrupo de Hall de M. Isto mostra que H é característico em M e normal em G. Construindo T - grupos Solúveis Finitos Seja A um grupo abeliano finito de ordem impar, e seja B um grupo de Dedekind finito cuja ordem é relativamente prima com a ordem de A. Além disto, existe um homomorfismo θ : B P (A) com a propriedade de que para cada primo p dividindo a ordem de A, existe um elemento b p de B tal que b θ p age trivialmente sobre os p - componentes de A. Agora forme o produto semidireto G(A, B, θ). Obviamente esse produto semidireto é um grupo solúvel finito. Para ver que ele é um T - grupo basta fazer A = N no lema Observe também, pelo teorema 2.4.1, que todo T - grupo solúvel finito é isomorfo com algum G(A, B, θ). Note que se G = G(A, B, θ), temos por construção A = [A, G] e A = γ 3 (G). Em geral, um subgrupo de um T - grupo não é necessariamente um T - grupo. Por exemplo, A 5 é simples, assim ele é certamente um T - grupo. Mas A 5 tem um subgrupo isomorfo a A 4 que não é um T - grupo. Contudo, a situação é diferente para T - grupos solúveis finitos. Teorema (Gaschütz). Um subgrupo de um T - grupo solúvel é um T - grupo. Demonstração: Seja L = γ (G) e seja H um subgrupo de G. Sabemos, pelo teorema 2.4.1, que L e G : L são relativamente primos, o que implica que H L e H : H L H são relativamente primos. Também, pelo teorema do isomorfismo, H L = HL G, logo L L é isomorfo a um subgrupo de um grupo de Dedekind e é certamente um T - grupo. H H L Subgrupos de H L são normais em G, e portanto em H. Assim, H é um T - grupo como conseqüência do lema Teorema Um grupo finito com subgrupos de Sylow cíclicos é um T - grupo solúvel. 30

39 Demonstração: Este resultado segue do lema e de um resultado devido a Hölder, Burnside e Zassenhaus ([14], pag - 290), que diz que um grupo cujos subgrupos de Sylow são cíclicos é uma extensão cíclica de um grupo cíclico. Grupos com esta propriedade são chamados metacíclicos. 2.5 A diferença entre P T - grupos e T - grupos Podemos observar que todo T - grupo é um P T - grupo e ainda que os teoremas de Zacher e Gaschütz mostram que as estruturas dos P T - grupos e T - grupos solúveis são bastante similares. Percebemos nos teoremas e uma única diferença no grupo quociente G/L. Antes de mencionar o teorema que mostra essa diferença entre os T e P T - grupos, enunciamos um resultado importante que utilizamos na sua demonstração. Teorema (Maier - Schmid). Se Q é um subgrupo permutável de um grupo finito G, então Q G /Q G está contido no hipercentro Z (G/Q G ) de G/Q G. A demosntração deste teorema pode ser encontrado em [10]. Finalmente, o resultado seguinte mostra que a diferença entre T - grupos e P T - grupos acontece nos fatores abelianos. Teorema Seja G um P T - grupo. Então G é um T - grupo se, e somente se, para cada fator subnormal abeliano elementar H K de ordem p2, com p um primo, N G( H K ) C G ( H K ) é um p - grupo. Demonstração: Assuma que G é um T - grupo e seja H um fator subnormal abeliano K elementar de ordem p 2. Como H é subnormal, H é subnormal em G e portanto normal. K Logo H e K são normais em G e cada p - elemento x de G age trivialmente sobre H, pois K H é p - grupo abeliano elementar e x fixa todo subgrupo de H. Logo os p - elementos de K K G estão no C G ( H ) e então N G( H K ) é um K C G ( H K ) p - grupo. 31

40 Agora, inversamente, considere G o grupo de menor ordem onde as condições do teorema valem mas G não é um T - grupo. Pela hipótese existe um subgrupo H de ordem mínima que é subnormal não normal em G. Seja H G o núcleo normal de H em G. Pela minimalidade da ordem de G, H G = 1. Portanto, como H é permutável, pelo teorema de Maier - Schmid, H Z (G). Usando a minimalidade da ordem de H, vemos que H é um p - grupo cíclico; digamos H = u. Como H G = 1, temos que H = p. Agora os p - elementos de G normalizam, e portanto centralizam H, pois H Z (G). Conseqüentemente, existe um p - elemento x tal que v = [u, x] 1. Também Z(G) 1, visto que HZ(G) é G - central. Portanto, v Z(G) e como v p = [u p, x] = 1, vale que Z(G) u, v = u v. Temos que x age não trivialmente sobre u v, pois não normaliza u. Agora, u, v Z (G), e como Z (G) é normal em G, u v é subnormal em G com ordem p 2. Mas isto contradiz a hipótese. Portanto, G é um T - grupo. No próximo resultado mostramos que um P T - grupo solúvel pode ser imerso no produto direto de um grupo modular nilpotente com um T - grupo. Teorema O grupo G é um P T - grupo solúvel se, e somente se, existe um grupo modular nilpotente M e um T - grupo solúvel W tal que: (i) ( M, γ (W ) ) = 1; (ii) Existe um monomorfismo α : G M W com G α subdireto em M W e γ (W ) G α ; (iii) Se p é um divisor primo de ( M, W ), então um p - subgrupo de Sylow de G é isomorfo a um p - subgrupo de Sylow de M. Demonstração: Primeiramente, assuma que G é um P T - grupo solúvel e coloque L = γ (G). Pelo teorema 2.3.1, L é um subgrupo de Hall abeliano de G, G/L é um grupo modular nilpotente e os elementos de G agem por conjugação sobre L como automorfismos de potência. Além disto, pelo corolário 2.3.1, temos F (G) = L K onde K é o hipercentro de G. Coloque M = G/L e W = G/K. Como Z(W ) = Z(G/Z (G)) = 1, pelo item (iv) do corolário 2.3.1, W é um T - grupo. Agora γ (W ) = LK/K = L, pois ( K, L ) = 1, e 32