Axiomatizações equivalentes do conceito de topologia

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1 Axiomatizações equivalentes do conceito de topologia Giselle Moraes Resende Pereira Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Graduanda em Matemática - Programa de Educação Tutorial giselle_ mrp@ yahoo. com. br Geraldo Márcio de Azevedo Botelho Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Professor Associado II botelho@ ufu. br Resumo: Esse artigo tem por objetivo apresentar três axiomatizações diferentes, mas equivalentes, do conceito de topologia. Mostraremos que o fato de conjunto aberto ser o conceito básico da topologia apenas uma questão de conveniência, que podemos escolher, por exemplo, o conceito de vizinhança, ou o conceito de conjunto fechado, ou ainda o conceito de fecho de um subconjunto, para ser o conceito básico a partir do qual toda a teoria pode ser desenvolvida. 1 Introdução A topologia de conjuntos é uma área básica e unificadora de boa parte da matemática moderna. Normalmente, o conceito de topologia é introduzido como sendo uma coleção τ de subconjuntos de um conjunto X que satisfaz as seguintes condições: o conjunto vazio e X pertencem a τ, a coleção τ é fechada para uniões arbitrárias e para intereseções finitas. Dessa forma os conjuntos pertencentes a τ são chamados de conjuntos abertos. Daí toda a teoria pode ser desenvolvida, em particular são definidos os conceitos de conjuntos fechados, de vizinhanças e de fecho de subconjuntos de X. Ou seja, conhecendo-se os abertos de X, conhecemos toda a topologia de X. O objetivo do presente trabalho é apresentar três axiomatizações diferentes, mas equivalentes, do conceito de topologia. Mostraremos que o fato de conjunto aberto ser o conceito básico da topologia é apenas uma questão de conveniência, que podemos escolher, por exemplo, o conceito de vizinhança, ou o conceito de conjunto fechado, ou ainda o conceito de fecho de um subconjunto, para ser o conceito básico a partir do qual toda a teoria pode ser desenvolvida. 2 Definições e resultados preparatórios Os conceitos topológicos conhecidos em R, C, R n, espaços métricos e espaços normados dependem da noção de distância. Como estudar esses conceitos em ambientes desprovidos da noção de distância? A resposta é a definição usual de topologia: Definição 2.1. Seja X um conjunto e τ uma coleção de subconjuntos de X. Dizemos que τ é uma topologia se: 1. O conjunto e X pertencem a τ. 2. Se A 1, A 2,..., A n τ, então A 1 A 2 A n τ. 3. Se (A λ ) é uma família arbitrária de conjuntos A λ τ, então a união A = A λ τ.

2 66 FAMAT em Revista Definição 2.2. Dizemos que (X, τ) é um espaço topológico e os conjuntos de τ são chamados de abertos. Definição 2.3. Sejam (X, τ) espaço topológico e A X. 1. U X é dito ser uma vizinhança de x X se existir um conjunto aberto V tal que x V U. 2. O ponto x A é um ponto interior de A se existe uma vizinhança V de x contida em A, isto é, existe V tal que x V A. 3. O conjunto de todos os pontos interiores de A é chamado interior de A e é denotado por A. É imediato que A A. 4. A é fechado em τ se A c é aberto em τ. 5. Um ponto x X se diz aderente a A se numa vizinhança V qualquer de x existem elementos de A, isto é, V A para toda vizinhança V de x. 6. O conjunto dos pontos aderentes a A é chamado de fecho de A, e é denotado por A. Lema 2.4. Sejam (X, τ) espaço topológico e A X. Então A = A. Demonstração. Da definição decorre imediatamente que todo conjunto está contido no seu fecho, e portanto A A. Vejamos que também vale A A. Para isso seja x A. Então para toda vizinhança V de x temos que V A. Seja V vizinhança de x. Segue que V é vizinhança de x e, mais ainda, V é vizinhança de y para todo y V. Assim V A e portanto existe z V e z A. De z V segue que V é vizinhança de z; e de z A segue que para toda vizinhança U de z, U A. Logo, V A. Portanto, para toda vizinhança V de x temos V A, isto é, x A. Lema 2.5. Sejam (X, τ) espaço topológico e A X. Então A é fechado. Demonstração. Para demonstrar este fato, mostremos que ( A ) c é aberto. De fato, se x ( A ) c então existe V vizinhança de x tal que V ( A ) c, pois do contrário, para toda V vizinhança de x teríamos que V não estaria contida em ( A ) c, isto é, V A. Mas isto quer dizer que x A = A pelo Lema 2.4. Como isso contradiz o fato de que x ( A ) c, segue que ( A ) c é aberto, ou seja, A é fechado. Lema 2.6. Sejam (X, τ) um espaço topológico e A um subconjunto de X. Então ( A ) c = (A c ). Demonstração. De fato, x ( A ) c se, e somente se, x / A se, e somente se, existe uma vizinhaça V de x tal que V A = se, e somente se, existe uma vizinhaça V de x tal que V A c se, e somente se, x (A c ), como queríamos demonstrar. Definição 2.7. Sejam (X, τ) um espaço topológico e A um subconjunto de X. Chamaremos de fronteira de A, que denotaremos por A, ao conjunto de pontos que são simultaneamente aderentes a A e a A c, isto é, A = { x X : x A e x A c} = A A c. Lema 2.8. Sejam (X, τ) espaço topológico e A X. Então X é a união disjunta de A, A e ( A ) c, isto é, os conjuntos A, A e ( A ) c são disjuntos dois a dois e X = A A ( A ) c. Demonstração. Sejam x um ponto qualquer de X e A X. Então uma e apenas uma das possibilidades abaixo ocorre: (i) Existe V vizinhança de x tal que x V A; e neste caso x A. (ii) Para toda V vizinhança de x, V A e V A c ; e neste caso x A e x A c, isto é x A. (iii) Existe V vizinhança de x tal que V A c, e portanto x (A c ). Pelo Lema 2.6 temos que neste caso x ( A ) c. Definições e resultados preparatórios Universidade Federal de Uberlândia

3 Axiomatizações equivalentes do conceito de topologia 67 Lema 2.9. Sejam (X, τ) espaço topológico e A X. Então A é fechado se e somente se A = A. Demonstração. Suponha que A seja fechado. Pelo Lema 2.8 temos que X = A A ( A ) c com união disjunta, logo A = A A. Seja x A. Temos então que x A ou x A. Se x A temos que x A. Agora, se x A temos que para toda vizinhança U de x, U tem ao menos um ponto de A e um de A c. Suponha que x / A. Então x A c, que é um conjunto aberto pois A é fechado, e portanto segue que A c é vizinhança de x. Mas como para toda vizinhança U de x, U tem ao menos um ponto de A e um de A c, segue que A A c =. Como isso é obviamente um absurdo, segue que x A. Logo temos x A em ambos os casos, o que completa a demonstração de que A A. A outra inclusão é óbvia. Reciprocamente, suponha A = A. Como A é fechado pelo Lema 2.5, segue que A também é fechado. Lema Sejam (X, τ) espaço topológico e A, B X. Se A B então A B. Demonstração. Se x A, então para toda vizinhança V de x, V A e como A B segue que V B, logo x B. Proposição Sejam (X, τ) espaço topológico e B X. Então B = {A : A é aberto e A B}. Demonstração. Vamos começar mostrando que {A : A é aberto e A B} B. Seja x {A : A é aberto e A B}. Então existe um aberto A B tal que x A. Segue imediatamente que x B. Vamos mostrar agora que B {A : A é aberto e A B}. Seja x B, então existe uma vizinhança V de x tal que x V B. Logo existe um aberto A em X tal que x A V B. Portanto, x {A : A é aberto e A B}. Proposição Sejam (X, τ) espaço topológico e B X. Então B = {F : F é fechado e B F }. Demonstração. Seja F fechado com B F. Pelo Lema 2.10 temos que B F. Mas como F é fechado, pelo Lema 2.9 segue que B F. Provamos então que B {F : F é fechado e B F }. Reciprocamente, seja x {F : F é fechado e B F }. Então x F para todo F fechado com B F. Note que B é fechado pelo Lema 2.9 e B B, logo x B. Vejamos que os conjuntos abertos (elementos da topologia) podem ser caracterizados por meio dos conceitos de ponto interior, de interior de um conjunto, de vizinhança e de fecho. São essas caracterizações que nos ensinaram como definir a topologia a partir dos axiomas de fecho e de vizinhança. Proposição As seguintes afirmações são equivalentes para um subconjunto A do espaço topológico (X, τ): (a) A é aberto. (b) A = A. (c) A é vizinhança de todos os seus pontos. (d) Todos os pontos de A são interiores a A. (e) A c = A c. Demonstração. (a) = (b) Da definição de interior de conjunto é imediato que A A. Mostremos que A A. Seja x A. Por hipótese temos que A é um aberto, A A e x A. Logo, A é uma vizinhança de x contida em A, isto é x A. Portanto A = A. Faculdade de Matemática Definições e resultados preparatórios

4 68 FAMAT em Revista (b) = (c) Seja x A. Então x A, pois A = A por hipótese. Logo existe V vizinhança de x tal que x V A. Portanto A é uma vizinhança de x. Como x é qualquer, segue que A é vizinhança de todos seus pontos. (c) = (d) Se A é vizinhança de todos os seus pontos, então para todo x A existe V aberto, com x V A. Por definição temos que x A é ponto interior de A. Como x é qualquer, segue que x A para todo x. Isto é, todos os pontos de A são pontos interiores. (d) = (b) Por definição é imediato que A A. Falta verificar que A A. Por hipótese temos que todos os pontos de A são interiores a A, isto é para todo x A temos que x A. Portanto, A A. (b) = (e) Por hipótese temos que A = A, logo basta verificar que (A ) c = A c. Seja x (A ) c então x / A isto é, para toda V vizinhança de x temos que V A e então V A c. Mas isto quer dizer que x A c, e então (A ) c A c. Seja agora x A c então para toda V vizinhança de x temos V A c e x / A, pois se x A existiria uma vizinhança V 0 de x tal que V 0 A e então x / A, ou seja, x (A ) c. Portanto A c (A ) c. (e) = (a) Por hipótese temos que A c = A c, então pelo Lema 2.9 segue que A c é fechado. Logo por definição temos que A é aberto. 3 Resultados Temos então três conceitos definidos usando caracterizações de conjuntos abertos: Conjuntos fechados, Vizinhança e Fecho. Isto é, A X é aberto A c é fechado A é vizinhança de seus pontos A c = A c. Começamos mostrando como os conjuntos fechados podem ser a noção básica da topologia. A definição da topologia usando conjuntos fechados é imediata a partir da definição de conjunto fechado como complementar de um conjunto aberto. Teorema 3.1. Sejam X um conjunto e σ uma coleção de subconjuntos de X que satisfaz: 1., X σ. 2. Se A 1, A 2,..., A n σ, então A 1 A 2 A n σ. 3. Se (A λ ) é uma família arbitrária de conjuntos de σ, então a interseção A = A λ σ. Então a coleção τ = {A c : A σ} é uma topologia em X e nesta topologia os conjuntos fechados são exatamente os elementos de σ. Demonstração. Mostremos que τ é uma topologia em X. 1. e X τ. De fato, X c = e X σ, logo τ. Por outro lado, c = X e σ, logo X τ. Definições e resultados preparatórios Universidade Federal de Uberlândia

5 Axiomatizações equivalentes do conceito de topologia Sejam A 1, A 2,..., A n τ. Então (A 1 ) c, (A 2 ) c,..., (A n ) c σ. Por (2) temos que (A 1 ) c (A 2 ) c (A n ) c σ. Como (A 1 A 2 A n ) c = (A 1 ) c (A 2 ) c (A n ) c, segue que (A 1 A 2 A n ) c σ, e portanto A 1 A 2 A n τ. 3. Seja (A λ ) uma família arbitrária de conjuntos de τ. Logo (A λ ) c σ para todo λ L. Por (3) segue que (A λ ) c σ. Como ( A λ)c = (A λ ) c, segue que A λ τ. Devemos agora mostrar o fato de que na topologia (X, τ) um conjunto F é fechado se e somente se F σ. De fato, F σ F c τ F c é aberto F é fechado. Provaremos agora que a noção de fecho de um conjunto também define a topologia, ou seja, conhecendo os fechos de todos os subconjuntos de X, recuperamos a topologia de X. Os axiomas que definem o fecho de um conjunto são razoavelmente óbvios tendo em vista as propriedades dos fechos de conjuntos. Entretanto, a definição da topologia a partir dos axiomas de fecho não é imediata. É a Proposição 2.13 que nos ensina como proceder: Teorema 3.2. Seja X um conjunto. Considere uma função F : P(X) P(X), onde P(X) é o conjunto das partes de X, tal que: 1. F( ) =. 2. A F(A) para todo A X. 3. F(F(A)) = F(A) para todo A X. 4. F(A B) = F(A) F(B) para todos A, B X. Então, definindo τ = {A c : A = F(A)} temos que τ é uma topologia de X. Além disso, para cada A X o fecho de A nessa topologia é igual a F(A). Demonstração. Note que, chamando B = A c temos que τ = {A c : A = F(A)} = {B : B c = F(B c )}. Logo τ = {A : A c = F(A c )}. Vejamos que τ é uma topologia em X. 1. e X τ. De fato, por (2) temos que X F(X) e a inclusão inversa segue do fato de que o contradomínio de F é P(X). Então c = X = F(X) = F( c ), e portanto τ. Além disso, F(X c ) = F( ) = = X c, e portanto X τ. Faculdade de Matemática Resultados

6 70 FAMAT em Revista 2. Sejam A 1, A 2,..., A n τ. Então (A 1 ) c = F(A c 1),..., (A n ) c = F(A c n). Aplicando (4) repetidas vezes temos que (A 1 A 2 A n ) c = (A 1 ) c (A n ) c = F(A c 1) F(A c n) = F((A c 1) (A c 2)) F(A c 3) F(A c n) = F((A c 1) (A c 2) (A c 3)) F(A c 4) F(A c n) = e portanto segue que A 1 A 2 A n τ. 3. Seja (A λ ) uma coleção de conjuntos de τ. = F((A c 1) (A c 2) (A c n)) = F((A 1 A 2 A n ) c ), Então A λ τ para todo λ L, logo (A λ ) c = F((A λ ) c ) para todo λ L. Devemos provar que ( ) c (( ) c ) A λ = F A λ. ( ) c (( ) c Por (2) sabemos que vale A λ F A λ ). Basta provar então que F (( ) c ) ( ) c ( ) A λ A λ, isto é, F (A λ ) c (A λ ) c. Para isso chame B = (A λ ) c. Então B (A λ ) c para todo λ L, e daí (A λ ) c = B (A λ ) c para todo λ L. Por (4) segue que F((A λ ) c ) = F(B) F((A λ ) c ) e portanto F(B) F((A λ ) c ). Mas isso vale para todo λ L, logo ( ) F (A λ ) c = F(B) F((A λ ) c ) = λ ) (A c. Devemos agora mostrar que o fecho de um subconjunto qualquer A de X na topologia τ coincide com F(A). Isto é, devemos provar que A = F(A) para todo A X, onde A denota o fecho de A na topologia τ. Para isso seja A X. Pela Proposição 2.12 sabemos que A = {F : F é fechado e A F }, isto é, A = δ L F δ, onde (F δ ) δ L é a família de todos fechados que contém A. Para cada δ L temos que A F δ, e portanto A F δ = F δ. Por (4) segue que F(F δ ) = F(A F δ ) = F(A) F(F δ ), e portanto F(A) F(F δ ). Como F δ é fechado, então F c δ τ e portanto temos que F δ = F(F δ ). Daí segue F(A) F δ para todo δ L, e portanto F(A) δ L F δ = A. Para provar a inclusão inversa, usando (3) temos que F(F(A)) = F(A), e daí segue que F(A) c τ, ou seja F(A) é fechado. Por (2), A F(A), logo F(A) é um fechado que contém A. Pela Proposição 2.12 sabemos que o menor fechado que contém A é A, logo A F(A), o que completa a demonstração de que A = F(A). Resultados Universidade Federal de Uberlândia

7 Axiomatizações equivalentes do conceito de topologia 71 O último resultado mostra que o conceito de vizinhança também pode ser usado como conceito básico da topologia, ou seja, podemos recuperar a topologia de um conjunto conhecendo as vizinhanças de todos os pontos do conjunto. Assim como no caso anterior, os axiomas de vizi- nhança são decorrência das propriedades que as vizinhanças gozam, e a definição da topologia a partir desses axiomas é feita tendo em vista a equivalência (a) (c) da Proposição Teorema 3.3. Sejam X um conjunto e µ = {µ x } x X uma coleção de conjuntos µ x de subconjuntos de X que satizfaz: 1. (N1) x A para todo A µ x e X µ x para todo x X. 2. (N2) Se V X e existe A µ x tal que A V então V µ x. 3. (N3) Se A, B µ x então A B µ x. 4. (N4) Para todo A µ x, existe B µ x tal que B A e B µ y, para todo y B. Então, definindo τ = {A : A µ x para todo x A} temos que τ é uma topologia em X e para cada x X, µ x é a coleção de vizinhanças de x nessa topologia, isto é, µ x = {U : U é vizinhança de x na topologia τ} para todo x X. Demonstração. Vejamos que τ é uma topologia em X: 1. e X τ. De fato, τ, pois do contrário existiria x tal que / µ x, o que é absurdo. Mais ainda, X τ por (N1). 2. Sejam A 1, A 2,..., A n τ. Então, por definição, A 1 µ x1 para todo x 1 A 1, A 2 µ x2 para todo x 2 A 2,..., A n µ xn para todo x n A n. Logo A 1 µ x, A 2 µ x,..., A n µ x, para todo x A 1 A 2 A n. Aplicando (N3) repetidas vezes segue que para todo x A 1 A 2 A n, temos que se A 1 A 2 A n µ x então A 1 A 2 A n τ. 3. Seja (A λ ) uma coleção de conjuntos de τ. Dado x A λ, existe λ L tal que x A λ τ. Logo A λ µ x. Mas A λ A λ, logo por (N2) segue que A λ µ x. Assim A λ µ x para todo x A λ, ou seja A λ τ. Devemos agora mostrar o fato de µ x = {U : U é vizinhança de x na topologia τ} para todo x X. Sejam x X e U X. Suponha que U µ x. Por (N4) existe V µ x tal que V U e V µ y para todo y V. Portanto V τ, isto é, V é aberto. E por (N1) temos que x V. Então V é um aberto contendo x e contido em U. Por definição de vizinhança segue que U é uma vizinhança de x. Provamos então que µ x {U : U é vizinhança de x na topologia τ}. Reciprocamente, suponha que U seja uma vizinhança de x na topologia τ. Então existe um conjunto aberto A tal que x A U. Então A τ, isto é A µ y para todo y A. Como x A temos que A µ x. Como A U, por (N2) segue que U µ x, e portanto {U : U é vizinhança de x na topologia τ} µ x, o que completa a demonstração. Referências Bibliográficas [1] JÄNICH, K. Topology ed. Springer, [2] MUNKRES, J. R., Topology, 2 a Ed., Prentice-Hall, Faculdade de Matemática Resultados

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