Lema. G(K/F ) [K : F ]. Vamos demonstrar usando o Teorema do Elemento Primitivo, a ser provado mais adiante. Assim, K = F (α).

Transcrição

1 Teoria de Galois Vamos nos restringir a car. zero. Seja K/F uma extensão finita de corpos. O grupo de Galois G(K/F ) é formado pelos isomorfismos ϕ : K K tais que x F, ϕ(x) = x.

2 Lema. G(K/F ) [K : F ]. Vamos demonstrar usando o Teorema do Elemento Primitivo, a ser provado mais adiante. Assim, K = F (α).

3 Sejam ϕ 1 = I,..., ϕ n,... elementos de G distintos 2 a 2. Seja p α (x) F [x] o polinômio mínimo de α sobre F.Temos ϕ i α = ϕ j α i = j. Mas 0 = p α (α) = ϕ i p α (α) = p α (ϕ i α). Por fim, conte as raízes...

4 Extensões de Galois Dizemos que K/F é Galois quando valer a igualdade G(K/F ) = [K : F ]. Exemplos: [K : F ] 2 Galois.

5 Teorema do elemento primitivo Seja K/F extensão finita, car. 0. Então existe α em K tal que K = F (α). De fato, se K = F (α 1,..., α n ), o argumento abaixo mostra que uma combinação linear genérica α = c 1 α c n α n, c i F, funciona.

6 Por indução em n, reduz-se a n = 2. Dados α, β K, seja γ = cα + β, c F. Mostrar que, evitando um número finito de c F, γ funciona, i.e., K = F (α, β) = F (γ).

7 Basta mostrar que α F (γ). Calcular o polinômio mínimo q α de α sobre F (γ) e mostrar que o grau é igual a um. Sejam α = α 1,..., α m e β = β 1,..., β n as raízes dos polinômios mínimos de α,β sobre F.

8 Seja h(x) = p β (γ cx). Temos h(α) = p β (γ cα) = p β (β) = 0 = p α (α). Logo q α (x) divide o mdc de h(x), p α (x). Este mdc vai ser igual a x α desde que nenhuma das outras raízes α i, (i 2) de p α (x) seja raiz de h(x).

9 h(α i ) = p β (γ cα i ) = 0 γ cα i = β j β + c(α α i ) = β j. Valores a evitar: β j β α α i No que segue, seja ϕ : F F isomorfismo de corpos. Seja f = f ϕ F [x] o polinômio obtido aplicando ϕ nos coeficientes.

10 lema de extensão Seja f(x) F [x] irredutível. Seja α raiz de f em alguma extensão K/F, idem α para f em K/ F. Então existe um e um só isomorfismo ψ : F (α) F ( α) compatível com ϕ e tal que ψα = α.

11 É claro que a exigência ψ F = ϕ, junto com ψα = α, determina ψ. Para a existência, analise o diagrama

12 F ϕ F

13 F [x] F ϕ ϕ F [x] F

14 F (α) = F [α] F [x] F ϕ ϕ ϕ F [ α] = F ( α) F [x] F

15 F (α) = F [α] F [x] F ϕ ϕ ϕ F [ α] = F ( α) F [x] F ϕ passa ao quociente induzindo pois ϕ manda f em f. (Detalhes?)

16 Lema 2. Sejam ϕ : F F isomorfismo de corpos

17 Lema 2. Sejam ϕ : F F isomorfismo de corpos e ϕ : F [x] F [x] como acima. Seja f F [x], f = f ϕ F [x].

18 Lema 2. Sejam ϕ : F F isomorfismo de corpos e ϕ : F [x] F [x] como acima. Seja f F [x], f = f ϕ F [x]. Sejam K, K corpos de raízes de f, f.

19 Lema 2. Sejam ϕ : F F isomorfismo de corpos e ϕ : F [x] F [x] como acima. Seja f F [x], f = f ϕ F [x]. Sejam K, K corpos de raízes de f, f. Então existe :K K

20 Lema 2. Sejam ϕ : F F isomorfismo de corpos e ϕ : F [x] F [x] como acima. Seja f F [x], f = f ϕ F [x]. Sejam K, K corpos de raízes de f, f. Então existe :K K isomorfismo compatível com ϕ.

21 Lema 2. Sejam ϕ : F F isomorfismo de corpos e ϕ : F [x] F [x] como acima. Seja f F [x], f = f ϕ F [x]. Sejam K, K corpos de raízes de f, f. Então existe :K K isomorfismo compatível com ϕ. Em particular, o corpo de raízes é único a menos de F isomorfismo.

22 Se todo fator irredutível de f em F [x] é linear,

23 Se todo fator irredutível de f em F [x] é linear, segue K = F, nada a fazer.

24 Se todo fator irredutível de f em F [x] é linear, segue K = F, nada a fazer. Proceder por indução sobre [K : F ].

25 Se todo fator irredutível de f em F [x] é linear, segue K = F, nada a fazer. Proceder por indução sobre [K : F ]. Tome fator irredutível p F [x] de f, com deg p 2.

26 Se todo fator irredutível de f em F [x] é linear, segue K = F, nada a fazer. Proceder por indução sobre [K : F ]. Tome fator irredutível p F [x] de f, com deg p 2. Escolha uma raiz α K de p,

27 Se todo fator irredutível de f em F [x] é linear, segue K = F, nada a fazer. Proceder por indução sobre [K : F ]. Tome fator irredutível p F [x] de f, com deg p 2. Escolha uma raiz α K de p, idem α K para p.

28 Pelo lema 1, temos θ : F (α) F ( α)

29 Pelo lema 1, temos θ : F (α) F ( α) compatível com ϕ.

30 Pelo lema 1, temos θ : F (α) F ( α) compatível com ϕ. Trocar K/F por K/F (α)

31 Pelo lema 1, temos θ : F (α) F ( α) compatível com ϕ. Trocar K/F por K/F (α) e usar indução.

32 Pelo lema 1, temos θ : F (α) F ( α) compatível com ϕ. Trocar K/F por K/F (α) e usar indução. A asserção sobre a unicidade do corpo de raízes segue fazendo F = F, ϕ = id.

33 Lema 3 Sejam K/F, K/ F, ϕ, f, f como no Lema 2.

34 Lema 3 Sejam K/F, K/ F, ϕ, f, f como no Lema 2. Então o número de isomorfismos distintos ψ : K K

35 Lema 3 Sejam K/F, K/ F, ϕ, f, f como no Lema 2. Então o número de isomorfismos distintos ψ : K K compatíveis com ϕ é igual a [K : F ].

36 Lema 3 Sejam K/F, K/ F, ϕ, f, f como no Lema 2. Então o número de isomorfismos distintos ψ : K K compatíveis com ϕ é igual a [K : F ]. Em particular, K/F é Galois,

37 Lema 3 Sejam K/F, K/ F, ϕ, f, f como no Lema 2. Então o número de isomorfismos distintos ψ : K K compatíveis com ϕ é igual a [K : F ]. Em particular, K/F é Galois, i.e., G(K/F ) = [K : F ].

38 Indução sobre N = [K : F ].

39 Indução sobre N = [K : F ]. Escolha fator irredutível p de f com grau 2.

40 Indução sobre N = [K : F ]. Escolha fator irredutível p de f com grau 2. Fixe uma raiz α de p em K.

41 Indução sobre N = [K : F ]. Escolha fator irredutível p de f com grau 2. Fixe uma raiz α de p em K. Para cada raiz α K de p,

42 Indução sobre N = [K : F ]. Escolha fator irredutível p de f com grau 2. Fixe uma raiz α de p em K. Para cada raiz α K de p, existe um e só um isomorfismo θ : F (α) F ( α) que estende ϕ.

43 Há exatamente deg p escolhas para α,

44 Há exatamente deg p escolhas para α, igualmente para θ.

45 Há exatamente deg p escolhas para α, igualmente para θ. Substitua ϕ : F F por θ : F (α) F ( α).

46 Há exatamente deg p escolhas para α, igualmente para θ. Substitua ϕ : F F por θ : F (α) F ( α). Temos [K : F (α)] < [K : F ].

47 Há exatamente deg p escolhas para α, igualmente para θ. Substitua ϕ : F F por θ : F (α) F ( α). Temos [K : F (α)] < [K : F ]. Por indução, cada θ se estende a K K de [K : F (α)] maneiras distintas.

48 Logo, ϕ se estende a K K de [K : F (α)] [F (α) : F ] maneiras distintas.

49 Logo, ϕ se estende a K K de [K : F (α)] [F (α) : F ] maneiras distintas. F ϕ F

50 Logo, ϕ se estende a K K de [K : F (α)] [F (α) : F ] maneiras distintas. F (α) θ F ( α) deg p α = [F (α) : F ] F ϕ F

51 Logo, ϕ se estende a K K de [K : F (α)] [F (α) : F ] maneiras distintas. K ϕ [K : F (α)] F (α) θ K F ( α) deg p α = [F (α) : F ] F ϕ F

52 Logo, ϕ se estende a K K de [K : F (α)] [F (α) : F ] maneiras distintas. K ϕ [K : F (α)] F (α) θ K F ( α) deg p α = [F (α) : F ] F ϕ F A afirmação sobre a natureza galoisiana de [K : F ] segue tomando F = F, ϕ = id.

53 Galois corpo de raízes

54 Galois corpo de raízes Vale a recíproca:

55 Galois corpo de raízes Vale a recíproca: se K/F é uma extensão galoisiana, então K é o corpo de raízes de algum f F [x].

56 De fato, seja α K primitivo, K = F (α).

57 De fato, seja α K primitivo, K = F (α). Vamos mostrar que K é o corpo de raízes do polinômio mínimo p α.

58 De fato, seja α K primitivo, K = F (α). Vamos mostrar que K é o corpo de raízes do polinômio mínimo p α. Para cada ψ G(K/F ), temos (p α ) ψ = p α.

59 De fato, seja α K primitivo, K = F (α). Vamos mostrar que K é o corpo de raízes do polinômio mínimo p α. Para cada ψ G(K/F ), temos (p α ) ψ = p α. Segue que cada ψα é raiz de p α.

60 Visto que ψ é completamente determinado por ψα,

61 Visto que ψ é completamente determinado por ψα, produzimos, em K, todas as raízes de p α.

62 Visto que ψ é completamente determinado por ψα, produzimos, em K, todas as raízes de p α.

63 a correspondência de Galois Seja K/F galoisiana, G = G(K/F ).

64 a correspondência de Galois Seja K/F galoisiana, G = G(K/F ). Seja K L F um corpo intermediário.

65 a correspondência de Galois Seja K/F galoisiana, G = G(K/F ). Seja K L F um corpo intermediário. Então K/L é galoisiana,

66 a correspondência de Galois Seja K/F galoisiana, G = G(K/F ). Seja K L F um corpo intermediário. Então K/L é galoisiana, com G(K/L)=

67 a correspondência de Galois Seja K/F galoisiana, G = G(K/F ). Seja K L F um corpo intermediário. Então K/L é galoisiana, com G(K/L)={ψ G ψx = x x L}. (Atenção!! L/F nem sempre é Galois. Veja mais adiante.)

68 O caráter galoisiano é claro, pois K é igualmente corpo de raízes de um polinômio a coeficientes em L.

69 O caráter galoisiano é claro, pois K é igualmente corpo de raízes de um polinômio a coeficientes em L. Para determinar o grupo de Galois,

70 O caráter galoisiano é claro, pois K é igualmente corpo de raízes de um polinômio a coeficientes em L. Para determinar o grupo de Galois, denote por S o subgrupo de G que age trivialmente em L.

71 O caráter galoisiano é claro, pois K é igualmente corpo de raízes de um polinômio a coeficientes em L. Para determinar o grupo de Galois, denote por S o subgrupo de G que age trivialmente em L. É claro que S G(K/L).

72 Mas se ψ G(K/L),

73 Mas se ψ G(K/L), então ψ age trivialmente em L

74 Mas se ψ G(K/L), então ψ age trivialmente em L e portanto também age trivialmente em F L, logo ψ S.

75 o subcorpo fixo Para cada subgrupo S G, denote K S = {x K ψx = x ψ S}.

76 o subcorpo fixo Para cada subgrupo S G, denote K S = {x K ψx = x ψ S}. Então K S é um subcorpo de K contendo F

77 o subcorpo fixo Para cada subgrupo S G, denote K S = {x K ψx = x ψ S}. Então K S é um subcorpo de K contendo F e a extensão K/K S é (como já sabemos) galoisiana,

78 o subcorpo fixo Para cada subgrupo S G, denote K S = {x K ψx = x ψ S}. Então K S é um subcorpo de K contendo F e a extensão K/K S é (como já sabemos) galoisiana, valendo G(K/K S ) = S.

79 Abreviemos L = K S.

80 Abreviemos L = K S. É óbvio que G(K/L) S por definição de L.

81 Abreviemos L = K S. É óbvio que G(K/L) S por definição de L. Sabemos que G(K/L) = [K : L].

82 Abreviemos L = K S. É óbvio que G(K/L) S por definição de L. Sabemos que G(K/L) = [K : L]. Mostraremos que [K : L] = S.

83 Seja α elemento primitivo de K sobre L = K S.

84 Seja α elemento primitivo de K sobre L = K S. Cada ψ S é determinado por seu valor ψα.

85 Seja α elemento primitivo de K sobre L = K S. Cada ψ S é determinado por seu valor ψα. Seja p(x) = ψ S(x ψα),

86 Seja α elemento primitivo de K sobre L = K S. Cada ψ S é determinado por seu valor ψα. Seja p(x) = ψ S(x ψα), polinômio de grau n := S,

87 Seja α elemento primitivo de K sobre L = K S. Cada ψ S é determinado por seu valor ψα. Seja p(x) = ψ S(x ψα), polinômio de grau n := S, sem fator repetido.

88 Temos p ψ = p ψ S.

89 Temos p ψ = p ψ S. Logo, p L[x].

90 Temos p ψ = p ψ S. Logo, p L[x]. Seja q α (x) L[x] o polinômio mínimo de α sobre L.

91 Temos p ψ = p ψ S. Logo, p L[x]. Seja q α (x) L[x] o polinômio mínimo de α sobre L. Temos 0=q α (α)

92 Temos p ψ = p ψ S. Logo, p L[x]. Seja q α (x) L[x] o polinômio mínimo de α sobre L. Temos 0=q α (α) = q α (ψα) ψ S.

93 Temos p ψ = p ψ S. Logo, p L[x]. Seja q α (x) L[x] o polinômio mínimo de α sobre L. Temos 0=q α (α) = q α (ψα) ψ S. Segue q α (x) = p(x)

94 Temos p ψ = p ψ S. Logo, p L[x]. Seja q α (x) L[x] o polinômio mínimo de α sobre L. Temos 0=q α (α) = q α (ψα) ψ S. Segue q α (x) = p(x) e portanto [K : L] = [L(α) : L] = deg q α = S.

95 A discussão anterior estabelece uma bijeção entre os corpos intermediários K L F de uma extensão galoisiana K/F e os subgrupos S G = G(K/F ) :

96 A discussão anterior estabelece uma bijeção entre os corpos intermediários K L F de uma extensão galoisiana K/F e os subgrupos S G = G(K/F ) : L = K S S = G(K/L).

97 Resta apenas ver que, tomando S = G(K/L), vale L = K S. Temos evidentemente L K S.

98 Resta apenas ver que, tomando S = G(K/L), vale L = K S. Temos evidentemente L K S. Examine os tamanhos: S = [K : K S ] }{{} (corpo fixo)

99 Resta apenas ver que, tomando S = G(K/L), vale L = K S. Temos evidentemente L K S. Examine os tamanhos: S = [K : K S ] }{{} (corpo fixo) [K : L]

100 Resta apenas ver que, tomando S = G(K/L), vale L = K S. Temos evidentemente L K S. Examine os tamanhos: S = [K : K S ] }{{} (corpo fixo) [K : L] = S }{{} galoisiana.

101 Resta apenas ver que, tomando S = G(K/L), vale L = K S. Temos evidentemente L K S. Examine os tamanhos: S = [K : K S ] }{{} (corpo fixo)

102 Resta apenas ver que, tomando S = G(K/L), vale L = K S. Temos evidentemente L K S. Examine os tamanhos: S = [K : K S ] }{{} (corpo fixo) [K : L]

103 Resta apenas ver que, tomando S = G(K/L), vale L = K S. Temos evidentemente L K S. Examine os tamanhos: S = [K : K S ] }{{} (corpo fixo) [K : L] = S }{{} galoisiana.

104 Na bijeção acima, podemos ainda explicitar quando G(K/L) é subgrupo normal de G(K/F ) :

105 Na bijeção acima, podemos ainda explicitar quando G(K/L) é subgrupo normal de G(K/F ) : exatamente se L/F é galoisiana. Neste caso, mostraremos / que G(L/F ) G(K/F ) G(K/L).

106 Seja ψ G = G(K/F ) S = G(K/L).

107 Seja ψ G = G(K/F ) S = G(K/L). Temos G(K/(ψL)) = ψsψ 1.

108 Seja ψ G = G(K/F ) S = G(K/L). Temos G(K/(ψL)) = ψsψ 1. De fato, dados σ S, λ L,

109 Seja ψ G = G(K/F ) S = G(K/L). Temos G(K/(ψL)) = ψsψ 1. De fato, dados σ S, λ L, calculamos ψσψ 1 (ψλ)

110 Seja ψ G = G(K/F ) S = G(K/L). Temos G(K/(ψL)) = ψsψ 1. De fato, dados σ S, λ L, calculamos ψσψ 1 (ψλ) = ψσλ

111 Seja ψ G = G(K/F ) S = G(K/L). Temos G(K/(ψL)) = ψsψ 1. De fato, dados σ S, λ L, calculamos ψσψ 1 (ψλ) = ψσλ = ψλ,

112 Seja ψ G = G(K/F ) S = G(K/L). Temos G(K/(ψL)) = ψsψ 1. De fato, dados σ S, λ L, calculamos ψσψ 1 (ψλ) = ψσλ = ψλ, mostrando a inclusão

113 G(K/(ψL)) ψsψ 1.

114 G(K/(ψL)) ψsψ 1. A igualdade segue do tamanho:

115 G(K/(ψL)) ψsψ 1. A igualdade segue do tamanho: [K : ψl]

116 G(K/(ψL)) ψsψ 1. A igualdade segue do tamanho: [K : ψl]= G(K/(ψL))

117 G(K/(ψL)) ψsψ 1. A igualdade segue do tamanho: [K : ψl]= G(K/(ψL)) ψsψ 1

118 G(K/(ψL)) ψsψ 1. A igualdade segue do tamanho: [K : ψl]= G(K/(ψL)) ψsψ 1

119 G(K/(ψL)) ψsψ 1. A igualdade segue do tamanho: [K : ψl]= G(K/(ψL)) ψsψ 1 S

120 G(K/(ψL)) ψsψ 1. A igualdade segue do tamanho: [K : ψl]= G(K/(ψL)) ψsψ 1 [K : L] = S

121 Ora, se S G é normal, temos ψsψ 1 = S ψ G.

122 Ora, se S G é normal, temos ψsψ 1 = S ψ G. Portanto, por conta da correspondência de Galois, segue ψl = L ψ G.

123 Deduzimos um homomorfismo de grupos, definido por restrição G(K/F ) ψ

124 Deduzimos um homomorfismo de grupos, definido por restrição G(K/F ) ψ Ψ ψ L

125 Deduzimos um homomorfismo de grupos, definido por restrição G(K/F ) ψ Ψ ψ L G(L/F ).

126 Deduzimos um homomorfismo de grupos, definido por restrição G(K/F ) ψ Ψ ψ L G(L/F ). O núcleo de Ψ é G(K/L).

127 Deduzimos um homomorfismo de grupos, definido por restrição G(K/F ) ψ Ψ ψ L G(L/F ). O núcleo de Ψ é G(K/L). Logo, G(K/F ) / G(K/L) G(L/F ) Mostremos em seguida que L/F é Galois.

128 Sejam ψ 1,..., ψ m G representantes das distintas classes laterais de S = G(K/L) em G = G(K/F ).

129 Sejam ψ 1,..., ψ m G representantes das distintas classes laterais de S = G(K/L) em G = G(K/F ). Argumentando com um elemento primitivo, L = F (λ),

130 Sejam ψ 1,..., ψ m G representantes das distintas classes laterais de S = G(K/L) em G = G(K/F ). Argumentando com um elemento primitivo, L = F (λ), temos ψ i λ = ψ j λ

131 Sejam ψ 1,..., ψ m G representantes das distintas classes laterais de S = G(K/L) em G = G(K/F ). Argumentando com um elemento primitivo, L = F (λ), temos ψ i λ = ψ j λ ψ 1 i ψ j λ = λ

132 Sejam ψ 1,..., ψ m G representantes das distintas classes laterais de S = G(K/L) em G = G(K/F ). Argumentando com um elemento primitivo, L = F (λ), temos ψ i λ = ψ j λ ψ 1 i ψ j λ = λ ψ 1 i ψ j L = id.

133 Percebemos que a imagem de Ψ contém os m = G/S

134 Percebemos que a imagem de Ψ contém os m = G/S elementos distintos, ψ 1 L,..., ψ m L G(L/F ).

135 Percebemos que a imagem de Ψ contém os m = G/S elementos distintos, ψ 1 L,..., ψ m L G(L/F ). Temos assim G(L/F ) m

136 Percebemos que a imagem de Ψ contém os m = G/S elementos distintos, ψ 1 L,..., ψ m L G(L/F ). Temos assim G(L/F ) m = [K : F ]/[K : L]

137 Percebemos que a imagem de Ψ contém os m = G/S elementos distintos, ψ 1 L,..., ψ m L G(L/F ). Temos assim G(L/F ) m = [K : F ]/[K : L]=[L : F ].

138 Como G(L/F ) [L : F ],

139 Como G(L/F ) [L : F ], segue a igualdade, completando a prova de que

140 Como G(L/F ) [L : F ], segue a igualdade, completando a prova de que G(K/L) normal em G(K/F )

141 Como G(L/F ) [L : F ], segue a igualdade, completando a prova de que G(K/L) normal em G(K/F ) L/F Galois.

142 Reciprocamente, suponhamos L/F Galois.

143 Reciprocamente, suponhamos L/F Galois. Seja f F [x] tal que L = corpo de raízes de f.

144 Reciprocamente, suponhamos L/F Galois. Seja f F [x] tal que L = corpo de raízes de f. Temos f ψ = f, ψ G=G(K/F ).

145 Reciprocamente, suponhamos L/F Galois. Seja f F [x] tal que L = corpo de raízes de f. Temos f ψ = f, ψ G=G(K/F ).

146 Logo, cada ψ G manda raízes de f em raízes de f.

147 Logo, cada ψ G manda raízes de f em raízes de f. Como L é gerado por essas raízes, temos ψl = L.

148 Logo, cada ψ G manda raízes de f em raízes de f. Como L é gerado por essas raízes, temos ψl = L. Daí segue a normalidade de S = G(K/L) G(K/F ).

149 De fato, já vimos que ψsψ 1 = G(K/(ψL))

150 De fato, já vimos que ψsψ 1 = G(K/(ψL)) = G(K/L)

151 De fato, já vimos que ψsψ 1 = G(K/(ψL)) = G(K/L) ψsψ 1 = S.

152 Exemplos Seja k um corpo e seja R = k[x 1, x 2, x 3 ] o anel de polinômios em 3 variáveis.

153 Exemplos Seja k um corpo e seja R = k[x 1, x 2, x 3 ] o anel de polinômios em 3 variáveis. Seja K = Fr(R) o corpo de frações,

154 Exemplos Seja k um corpo e seja R = k[x 1, x 2, x 3 ] o anel de polinômios em 3 variáveis. Seja K = Fr(R) o corpo de frações, i.e., o corpo de funções nas 3 variáveis, a coeficientes em k.

155 Defina s 1 = x 1 + x 2 + x 3,

156 Defina s 1 = x 1 + x 2 + x 3, s 2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3, s 3 = x 1 x 2 x 3.

157 Defina s 1 = x 1 + x 2 + x 3, s 2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3, s 3 = x 1 x 2 x 3. São as funções simétricas elementares.

158 Defina s 1 = x 1 + x 2 + x 3, s 2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3, s 3 = x 1 x 2 x 3. São as funções simétricas elementares. Seja F = k(s 1, s 2, s 3 )

159 Defina s 1 = x 1 + x 2 + x 3, s 2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3, s 3 = x 1 x 2 x 3. São as funções simétricas elementares. Seja F = k(s 1, s 2, s 3 ) K.

160 Defina s 1 = x 1 + x 2 + x 3, s 2 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3, s 3 = x 1 x 2 x 3. São as funções simétricas elementares. Seja F = k(s 1, s 2, s 3 ) K. Nosso propósito é calcular G(K/F ).

161 Considere f = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) K[x].

162 Considere f = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) K[x]. Temos de fato f = x 3 s 1 x 2

163 Considere f = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) K[x]. Temos de fato f = x 3 s 1 x 2 + s 2 x s 3 F [x].

164 Considere f = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) K[x]. Temos de fato f = x 3 s 1 x 2 + s 2 x s 3 F [x]. Vemos assim que K/F é Galois, como corpo de raízes de f.

165 É claro que cada elemento de G(K/F ) permuta as raízes x 1, x 2, x 3.

166 É claro que cada elemento de G(K/F ) permuta as raízes x 1, x 2, x 3. Por definição de K, todo homomorfismo de corpos K = k(x 1, x 2, x 3 ) K

167 É claro que cada elemento de G(K/F ) permuta as raízes x 1, x 2, x 3. Por definição de K, todo homomorfismo de corpos K = k(x 1, x 2, x 3 ) K que fixa k

168 É claro que cada elemento de G(K/F ) permuta as raízes x 1, x 2, x 3. Por definição de K, todo homomorfismo de corpos K = k(x 1, x 2, x 3 ) K que fixa k é completamente determinado

169 pelas imagens, y1, y2, y3

170 pelas imagens, y 1, y 2, y 3 de x 1, x 2, x 3.

171 pelas imagens, y 1, y 2, y 3 de x 1, x 2, x 3. As escolhas dos y i são bastante arbitrárias,

172 pelas imagens, y 1, y 2, y 3 de x 1, x 2, x 3. As escolhas dos y i são bastante arbitrárias, exceto pelo cuidado de que,

173 pelas imagens, y 1, y 2, y 3 de x 1, x 2, x 3. As escolhas dos y i são bastante arbitrárias, exceto pelo cuidado de que, para cada polinômio não nulo p(x 1, x 2, x 3 ),

174 pelas imagens, y 1, y 2, y 3 de x 1, x 2, x 3. As escolhas dos y i são bastante arbitrárias, exceto pelo cuidado de que, para cada polinômio não nulo p(x 1, x 2, x 3 ), deve-se igualmente verificar p(y 1, y 2, y 3 ) 0.

175 Em particular, vemos que G = G(K/F ) contém pelo menos os 6 automorfismos definidos por permutação dos x 1, x 2, x 3.

176 Em particular, vemos que G = G(K/F ) contém pelo menos os 6 automorfismos definidos por permutação dos x 1, x 2, x 3. Em resumo, G S 3.

177 Em particular, vemos que G = G(K/F ) contém pelo menos os 6 automorfismos definidos por permutação dos x 1, x 2, x 3. Em resumo, G S 3. Logo, [K : F ] = 6.

178 Em particular, vemos que G = G(K/F ) contém pelo menos os 6 automorfismos definidos por permutação dos x 1, x 2, x 3. Em resumo, G S 3. Logo, [K : F ] = 6. Deduzimos também que K S 3 = F : toda função simétrica é função das elementares.

179 Lista dos corpos intermediários? Consideremos apenas os subgrupos S = (12) (transposição)

180 Lista dos corpos intermediários? Consideremos apenas os subgrupos S = (12) (transposição) e 3= (123) das permutações pares.

181 Lista dos corpos intermediários? Consideremos apenas os subgrupos S = (12) (transposição) e 3= (123) das permutações pares. Queremos determinar os respectivos corpos fixos.

182 S = 2

183 S = 2 [K : K S ] = 2

184 S = 2 [K : K S ] = 2 [K S : F ] = 3.

185 S = 2 [K : K S ] = 2 [K S : F ] = 3. Visto que a transposição (12) deixa x 3 fixo,

186 S = 2 [K : K S ] = 2 [K S : F ] = 3. Visto que a transposição (12) deixa x 3 fixo, temos x 3 K S.

187 S = 2 [K : K S ] = 2 [K S : F ] = 3. Visto que a transposição (12) deixa x 3 fixo, temos x 3 K S. Não é difícil ver que a cúbica f = x 3 s 1 x 2 + é de fato irredutível em F [x]. Segue que K S = F (x 3 ).

188 A 3 = 3

189 A 3 = 3 [K : K A 3] = 3

190 A 3 = 3 [K : K A 3] = 3 [K A 3 : F ] = 2.

191 A 3 = 3 [K : K A 3] = 3 [K A 3 : F ] = 2. Procura-se uma extensão quadrática de F

192 A 3 = 3 [K : K A 3] = 3 [K A 3 : F ] = 2. Procura-se uma extensão quadrática de F cujos elementos sejam funções racionais de x 1, x 2, x 3,

193 A 3 = 3 [K : K A 3] = 3 [K A 3 : F ] = 2. Procura-se uma extensão quadrática de F cujos elementos sejam funções racionais de x 1, x 2, x 3, invariantes por permutações pares.

194 Sabemos a priori que a resposta é única, pois A 3 é o único subgrupo do seu tamanho.

195 Sabemos a priori que a resposta é única, pois A 3 é o único subgrupo do seu tamanho. E a resposta é

196 Sabemos a priori que a resposta é única, pois A 3 é o único subgrupo do seu tamanho. E a resposta é

197 Sabemos a priori que a resposta é única, pois A 3 é o único subgrupo do seu tamanho. E a resposta é F (δ),

198 Sabemos a priori que a resposta é única, pois A 3 é o único subgrupo do seu tamanho. E a resposta é F (δ), com δ = (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )(x 2 x 3 ).

199 Sabemos a priori que a resposta é única, pois A 3 é o único subgrupo do seu tamanho. E a resposta é F (δ), com δ = (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )(x 2 x 3 ). Note que δ 2 F.

200 Sabemos a priori que a resposta é única, pois A 3 é o único subgrupo do seu tamanho. E a resposta é F (δ), com δ = (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )(x 2 x 3 ). Note que δ 2 F. O resultado abaixo mostra que K = F (δ, 3 α), α F (δ),

201 Sabemos a priori que a resposta é única, pois A 3 é o único subgrupo do seu tamanho. E a resposta é F (δ), com δ = (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )(x 2 x 3 ). Note que δ 2 F. O resultado abaixo mostra que K = F (δ, 3 α), α F (δ), desde que F contenha raiz cúbica primitiva da unidade.

202 extensões de Kummer

203 extensões de Kummer Seja K/F Galois com [K : F ] = p um número primo.

204 extensões de Kummer Seja K/F Galois com [K : F ] = p um número primo. Se F contém uma raiz p ésima da unidade, ξ 1,

205 extensões de Kummer Seja K/F Galois com [K : F ] = p um número primo. Se F contém uma raiz p ésima da unidade, ξ 1, então existe α em F tal que K = F ( p α).

206 Sabemos que G = G(K/F ) Z p,

207 Sabemos que G = G(K/F ) Z p, cíclico.

208 Sabemos que G = G(K/F ) Z p, cíclico. Seja γ G um gerador.

209 Sabemos que G = G(K/F ) Z p, cíclico. Seja γ G um gerador. O operador F linear, γ : K K,

210 Sabemos que G = G(K/F ) Z p, cíclico. Seja γ G um gerador. O operador F linear, γ : K K, satisfaz γ p = 1.

211 Sabemos que G = G(K/F ) Z p, cíclico. Seja γ G um gerador. O operador F linear, γ : K K, satisfaz γ p = 1. Logo seu polinômio mínimo divide x p 1,

212 raízes distintas.

213 raízes distintas. Portanto γ é diagonalizável

214 raízes distintas. Portanto γ é diagonalizável e os auto-valores são raízes p ésimas de 1.

215 raízes distintas. Portanto γ é diagonalizável e os auto-valores são raízes p ésimas de 1. Sabemos que γ 1.

216 raízes distintas. Portanto γ é diagonalizável e os auto-valores são raízes p ésimas de 1. Sabemos que γ 1. Assim, ao menos um autovalor é raiz primitiva.

217 Seja α K autovetor associado a ξ.

218 Seja α K autovetor associado a ξ. Temos γα = ξα α.

219 Seja α K autovetor associado a ξ. Temos γα = ξα α. Logo α F,

220 Seja α K autovetor associado a ξ. Temos γα = ξα α. Logo α F, seguindo K = F (α) (por que?).

221 Seja α K autovetor associado a ξ. Temos γα = ξα α. Logo α F, seguindo K = F (α) (por que?). Por fim, note que γ(α p ) = γ(α) p

222 Seja α K autovetor associado a ξ. Temos γα = ξα α. Logo α F, seguindo K = F (α) (por que?). Por fim, note que γ(α p ) = γ(α) p = (ξα) p

223 Seja α K autovetor associado a ξ. Temos γα = ξα α. Logo α F, seguindo K = F (α) (por que?). Por fim, note que γ(α p ) = γ(α) p = (ξα) p = α p.

224 Seja α K autovetor associado a ξ. Temos γα = ξα α. Logo α F, seguindo K = F (α) (por que?). Por fim, note que γ(α p ) = γ(α) p = (ξα) p = α p. Isso mostra que α p K G = F.

225 Vimos assim que o ferramental da correspondência de Galois

226 Vimos assim que o ferramental da correspondência de Galois garante a solubilidade por radicais da equação geral cúbica.

227 Vimos assim que o ferramental da correspondência de Galois garante a solubilidade por radicais da equação geral cúbica. Embora não explicitando a fórmula, a informação de que

228 K = L( 3 α), α L = F ( δ),

229 K = L( 3 α), α L = F ( δ), mostra que as raízes x i se exprimem como função racional

230 K = L( 3 α), α L = F ( δ), mostra que as raízes x i se exprimem como função racional de uma raiz cúbica de um elemento

231 K = L( 3 α), α L = F ( δ), mostra que as raízes x i se exprimem como função racional de uma raiz cúbica de um elemento que é função racional de uma raiz quadrada

232 K = L( 3 α), α L = F ( δ), mostra que as raízes x i se exprimem como função racional de uma raiz cúbica de um elemento que é função racional de uma raiz quadrada de uma função dos coficientes da equação.

233 Uma análise similar mostra que a equação do quarto grau também é solúvel por radicais.

234 Uma análise similar mostra que a equação do quarto grau também é solúvel por radicais. O subgrupo A 4 S 4 das permutações pares tem como corpo fixo L, extensão quadrática de F = k(x 1,..., x 4 ).

235 L = F ( δ), δ = i<j (x i x j ). A extensão K/L tem grupo de Galois A 4. Este grupo alternado pode ser descrito como as

236 rotações do tetraedro regular,

237 rotações do tetraedro regular,.

238 rotações do tetraedro regular,..

239 rotações do tetraedro regular,..

240 rotações do tetraedro regular,..

241 rotações do tetraedro regular,...

242 rotações do tetraedro regular,

243 rotações do tetraedro regular, O subgrupo. 2 S= I,

244 rotações do tetraedro regular, S= I, (12)(34), O subgrupo. 2

245 rotações do tetraedro regular, O subgrupo S= I, (12)(34), (13)(24), (14)(23) tem ordem 4.. 2

246 rotações do tetraedro regular, O subgrupo S= I, (12)(34), (13)(24), (14)(23) tem ordem 4. É normal em A 4.. 2

247 Logo, K 4 K S 3 L.

248 Logo, K 4 K S 3 L. A extensão K S /L é normal.

249 Logo, K 4 K S 3 L. A extensão K S /L é normal. Segue que K S se realiza pela adjunção de uma raiz cúbica sobre L.

250 Lembrando que S é abeliano,

251 Lembrando que S é abeliano, podemos refinar a extensão K/K S inserindo um corpo intermediário

252 Lembrando que S é abeliano, podemos refinar a extensão K/K S inserindo um corpo intermediário K 2 M 2 K S,

253 Lembrando que S é abeliano, podemos refinar a extensão K/K S inserindo um corpo intermediário K 2 M 2 K S, cada qual adjunção de raiz quadrada.

254 Lembrando que S é abeliano, podemos refinar a extensão K/K S inserindo um corpo intermediário K 2 M 2 K S, cada qual adjunção de raiz quadrada. Resumo: K 2 M

255 Lembrando que S é abeliano, podemos refinar a extensão K/K S inserindo um corpo intermediário K 2 M 2 K S, cada qual adjunção de raiz quadrada. Resumo: K 2 M 2 K S

256 Lembrando que S é abeliano, podemos refinar a extensão K/K S inserindo um corpo intermediário K 2 M 2 K S, cada qual adjunção de raiz quadrada. Resumo: K 2 M 2 K S 3 L

257 Lembrando que S é abeliano, podemos refinar a extensão K/K S inserindo um corpo intermediário K 2 M 2 K S, cada qual adjunção de raiz quadrada. Resumo: K 2 M 2 K S 3 L 2 F.

258 Para a quíntica geral, acabou a festa:

259 Para a quíntica geral, acabou a festa: A n não é solúvel para n 5. Detalhes no texto...

260 lema de extensão Lema 1. Seja f(x) F [x] irredutível. Seja α raiz de f em alguma extensão K/F, idem α para f em K/ F. Então existe um e um só isomorfismo ψ : F (α) F ( α) compatível com ϕ e tal que ψα = α. (volta)

261 o subcorpo fixo Para cada subgrupo S G, denote K S = {x K ψx = x ψ S}. Então K S é um subcorpo de K contendo F e a extensão K/K S é (como já sabemos) galoisiana, valendo G(K/K S ) = S. (volta)