30 a OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO RIO GRANDE DO NORTE PRIMEIRA FASE. NÍVEL UNIVERSITÁRIO. 35! =

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1 0 a OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO RIO GRANDE DO NORTE 09- PRIMEIRA FASE. NÍVEL UNIVERSITÁRIO. Para cada questão, assinale uma alternativa como a resposta correta. NOME DO(A) ESTUDANTE: UNIVERSIDADE:. O fatorial de, isto é, o produto 4..., é um número com 4 algarismos:! = No lugar do algarismo central está um quadrado. O algarismo que teve o seu lugar ocupado pelo quadrado é: (a) (b) (c) 4 (d) (e) 6 A resposta correta é a alternativa (e). Como o é um dos fatores do número!, segue que! é um múltiplo de. Usando o critério de divisibilidade por, segue que a soma dos algarismos que ocupam as posições ímpares é Já a soma dos algarismos que ocupam as posições pares é 7. Assim, tem que ser um múltiplo de. Assim se = 0, segue que = 6.. Para cada número real x, definimos x como sendo o maior número inteiro que não supera x. Se α = e β = , } {{ } } {{ } 09 radicais 09 radicais podemos afirmar que α + β é igual a: (a) (b) (c) 4

2 (d) (e) 6 A resposta correta é a alternativa (c). Inialmente note que: α = > 6,4 e β = > 6,8. Assim, α+β >,4+,8 α+β > 4,. Por outro lado, pode-se mostrar por indução que α < e β <, o que revela que α+β < + α+β <. Diante do exposto, segue que α + β = 4.. Considere os polinômios p(x) = (x + )(x x + ) q(x) = (x )(x + x + ) r(x) = (x + )(x 8 + 6) O coeficiente de x 4 no polinômio f(x) = p(x) q(x) r(x) é: (a) 0 (b) (c) (d) (e) 4 A resposta correta é a alternativa (a). Note que f(x) = p(x) q(x) r(x) = (x )(x + )(x + )[(x + ) x][(x + ) + x](x 8 + 6) = (x )(x + )[(x + ) 4x ](x 8 + 6) = (x 4 4)(x 4 + 4)(x 8 + 6) = (x 8 6)(x 8 + 6) = x 6 6. O que revela que o coeficiente de x 4 em f é O resto da divisão do número por 00 é: (a) (b) (c) (d) 7 (e) 9 Page

3 A resposta correta é a alternativa (e). O resto da divisão do número por 00 é um inteiro 0 k < 00 tal que Note que k(mod00).... (mod00) (mod00) Como mdc(,00) =, pelo Teorema de Euler segue que ϕ(00) (mod 00). Como 00 =. segue que ϕ(00) = 00( )( ) = = 40. Assim, Por outro lado, 99 = Portanto, ϕ(00) (mod 00) 40 (mod 00). 40 (mod 00) ( 40 ) (mod 00) 60 (mod 00). Multiplicando membro a membro por 9, segue que (mod 00), ou seja, 99 9 (mod 00). Por fim, 9 = ( ) 7 97(mod 00). Ora, como (mod00), segue que (mod00), o que revela que o resto da divisão do número... por 00 é 9.. A quantidade de números primos na lista, 4, 44, 464, 46764, é igual a: (a) 0 (b) (c) (d) (e) , A resposta correta é a alternativa (a). Note que é divisível por (pois a soma dos seus algarismos é divisível por ); 4 é divisível por 7; 464 e são divisíveis por (pois a diferença entre soma alternada dos seus algarismos é divisível por ); e são divisíveis por (pois a soma dos seus algarismos é divisível por ). Assim resta apenas analisar os números 44 e cujas decomposições em fatores primos são 44 = 4 7 e = Portanto nenhum dos números apresentados é primo. Page

4 6. A quantidade de soluções reais da equação 4 x + 9 x + 49 x = 6 x + 4 x + x é: (a) 0 (b) (c) (d) (e) 4 A resposta correta é a alternativa (b). Fazendo a as mudanças de variáveis x = a, x = b e 7 x = c, podemos reescrever a equação 4 x + 9 x + 49 x = 6 x + 4 x + x da segunte forma: Assim, é a única solução da equação. ( x ) + ( x ) + (7 x ) = x. x + x.7 x + x.7 x a + b + c = ab + ac + bc a + b + c = ab + ac + bc (a b) + (a c) + (b c) = 0 a = b = c a = b = c x = x = 7 x x = 0, 7. Se α (0, π ) é tal que secα + senα + tanα = m, podemos afirmar que é igual a: (a) m (b) m + (c) m + (d) (m ) (e) (m + ) A = secα + senα tanα + cosα Tem-se que A resposta correta é a alternativa (e). A = secα + senα tanα + cosα = cosα + senα senα cosα + cosα = + senα + cosα cosα Por outro lado, secα + senα + tanα = m senα + senα + cosα cosα + = m + ( ) ( + senα) + ( + senα) = m + ( + senα) cosα cosα + = m + Page 4

5 ( + senα)( + cosα) = m +. cosα + senα + cosα Por fim, como A =, segue que: cosα a = ( + senα + cosα) cosα = ( + senα)( + cosα) cosα = (m + ) A = (m + ). 8. Quantas raízes negativas possui a equação x 4 x 4x 7x + 4 = 0? (a) 0 (b) (c) (d) (e) 4 A resposta correta é a alternativa (a). Podemos escrever x 4 x 4x 7x + 4 = 0 da seguinte forma x 4 4x + 4 = x + 7x. Para qualquer número real α < 0 o segundo membro da expressão anterior é negativo, i.e., α +7α < 0. Por outro lado, o primeiro membro quando x = α fica α 4 4α + 4 = (α ) 0. Diante do exposto, para α < 0 não pode ocorrer a igualdade α 4 4α + 4 = α + 7α (pois o primeiro membro é não negativo enquanto que o segundo membro é estritamente negativo), o que revela que a equação polinomial x 4 x 4x 7x + 4 = 0 não possui raízes reais negativas. 9. Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo ABC. Se a, b, c (nessa ordem) são termos consecutivos de uma progressão aritmética, podemos afirmar que cos ^A é igual a: (a) b 4c c (b) 4c b c (c) b 4c a (d) a 4c c (e) c 4a b A resposta correta é a alternativa (b). Ora, como a, b e c são nessa ordem termos consecutivos de uma progressão aritmétrica, segue que b = a + c. Assim, cos ^A = b + c a bc = b +c (b c) bc = b +c 4b +4bc c bc = 4bc b bc = 4c b c Page

6 0. Seja A uma matriz n n cujos elementos são números reais tal que A k+ = O n, para algum k Z (onde O n representa a matriz nula n n). Podemos afirmar que det (I +! A +! A +! + + k! ) Ak é igual a (a) (b) 0 (c) (d) k (e) k A resposta correta é a alternativa (c). A expocencial de uma matriz A M(n,R) é dada por e A = j=0 j!.aj = I + A +!.A +!.A n! An + (n + )!.An Ora, no caso da questão temos que A k+ = 0 n para algum k Z (quando isso ocorre dizemos que a matriz a é nilpotente), segue que A s = 0 n para todo s k +. Nesse caso, e A = I +! A +! A +! + + k! Ak. Portanto, det (I +! A +! A +! + + k! ) Ak = det(e A ). Por outro lado, det(e A ) = e tr(a). Por outro lado, o traço de uma matriz é igual a soma dos seus autovalores. Como A é nilpotente, segue que todos os seus autovalores são iguais a 0. Assim tr(a) = 0, o que revela que det (I +! A +! A +! + + k! ) Ak = det(e A ) = e tr(a) = e 0 =.. Seja h(x) = x.g(x), onde g(x) = f (x). A tabela a seguir fornece alguns valores assumidos por f(x) e por sua derivada f (x). O valor de h () é: (a) (b) 7 (c) x f(x) f (x) 4 Page 6

7 (d) (e) 7 A resposta correta é a alternativa (c). Derivando h(x) = xg(x), segue que h (x) =.g(x) + x.g (x). Assim, h () = g() +.g (). Portanto, h () = +. f (g()) = +. f () = +. =.. Dada uma função contínua f : R R que satisfaz às seguintes condições: f(000) = 999; f(x).f(f(x)) =, para todo x R. O valor de f(00) é: (a) (b) 00 (c) 999 (d) (e) 00 A resposta correta é a alternativa (b). Se y = f(x) para algum x R, tem-se que y Im(f). Nesse caso, f(x).f(f(x)) = y.f(y) = f(y) =, i Im(f). y Isso significa que para cada y Im(f) a função f associa o valor y. Ora, como 999 Im(f), pois 999 = f(000), segue que f(999) = 999. Assim 999 Im(f). Ora, como 999 e 999 são elementos do conjunto imagem de f, e < 00 < 999, segue pelo Teorema do valor intermediário que 999 existe α R tal que f(α) = 00, ou seja, 00 Im(f). Como f associa para cada valor y Im(f) o valor y, segue que f(00) = 00. ] R, definida por f(x) = x senx.. Seja F : R R uma primitiva da função f : [ π, π Podemos afirmar que F ( ) ( π F π ) é igual a: (a) π (b) π ln (c) π (d) π (e) π 6 A resposta correta é a alternativa (b). Page 7

8 Aplicando integração por partes, segue que π/ π/ x π/ dx = ( xln cscx cotgx )π/ senx π/ + ln cscx cotgx dx A integral π/ ln cscx cotgx dx é igual a 0, pois os pontos π/ e π/ são simétricos em π/ relação a π/ (onde a função que está no integrando se anula, e além disso o gráfico dessa função é simétrico em relação ao ponto x = π/, ficando abaixo do eixo x no intervalo [ π, π ] e acima do eixo x no intervalo [ π, π ] π/. Além disso, fazendo as contas em ( xln cscx cotgx ) π/ = π ln. Portanto, ( ) π ( π ) π/ x F F = π/ senx dx = π ln. π/ 4. Um alfabeto possui cinco letras: a, b, c, d e e. Nesse alfabeto, a quantidade de palavras com n letras e com um número par de letras a é igual a: (a) n + n (b) n n (c) n n (d) (e) n n n A resposta correta é a alternativa (a). Inicialmente consideremos a seguinte pergunta (que não é a pergunta da questão): Quantas palavras de n letras contendo apenas as letras A e B podemos formar, de modo que a palavra contenha uma quantidade par de letras A?. Se consirerarmos uma subpalavra com n letras (com uma quantidade par de letras A) para que a palavra final que tem n letras devemos, nesse caso, necessariamente completar com a letra B para que a palavra final ainda permaneça com uma quantidade par de letras A. Por outro lado se considerarmos uma subpalavra com n letras (com uma quantidade ímpar de letras A) para que a palavra final que tem n letras devemos, nesse caso, necessariamente completar com a letra A para que a palavra final ainda permaneça com uma quantidade par de letras A. Portanto a quantidade de palavras com n letras em que a quantidade de letras iguais a A é par é igual a quantidade de subpalavras com n letras, que é igual a n, ou seja é a metade do número total de palavras com n letras que é n. Feita essa observação vamos à solução na questão: Nesse alfabeto, o número total de palavras com n letras é n. O número de palavras de n letras em que não aparecem as letras a e b simultaneamente é n. Seja X o conjunto das n n palavras em que a ou b aparecem. Agora vamos particionar o conjunto X em subconjuntos X i X da seguinte forma: duas palavras p e p pertencem ao mesmo X i se, e somente se, a localização das letas c,d e e são exatamente as mesmas nas duas palavras. Isso significa que existem exatamente tantos conjuntos x i X, quantas fores as sequências de a s e b s. Pela nossa observação inicial, metade das sequências, isto é n n possuem uma quantidade par de latras a. Diante do exposto a a quantidade de palavras com n letras e com um número par de letras a é igual a n + n n = n + n. Page 8

9 . Na figura abaixo as medidas dos lados dos quadrados menores são e 4. A medida x do lado do quadrado maior é: (a) (b) (c) 4 (d) 6 (e) 9 4 A resposta correta é a alternativa (d). Observe a figura a seguir, onde alguns ângulos e algumas medidas estão indicadas No triângulo ABC, tem-se que cosβ = 4 xcosβ 4senβcosβ = 4. x 4senβ No trângulo DEF, cosβ = 4cosβ cosαcosβ =. 4 cosα Temos então { xcosβ 4senβcosβ = 4 4cosβ cosαcosβ =. Multiplicando a primeira equação por e a segunda por 4, segue que { xcosβ senβcosβ = 6cosβ cosαcosβ =. Subtraindo membro a membro essas duas equações, seque que (x 6)cosβ = 0. Ora, como 0 < β < π, segue que cosβ 0. Portanto, (x 6)cosβ = 0 x 6 = 0 x = 6. Page 9

10 6. Seja f : R R uma função dada por f(x) = x + x 8. A equação.f(x) +.f (x) = 0, possui (a) apenas uma solução real. (b) exatamente duas solução real. (c) exatamente três solução real. (d) exatamente quatro solução real. (e) não possui soluções reais. A resposta correta é a alternativa (a). Note que f (x) = x + > 0 para todo x real, seque que f (e sua inversa) são funções estritamente crescentes e portanto bijeções de R em R, o que revela que a função g : R R dada por g(x) =.f(x) +.f (x) é uma bijeção R em R, o que revela que existe um único α R tal que g(α) = Seja (f n ) n 0 a sequência de Fibonacci; f 0 = 0,f = e f n+ = f n+ + f n para todo inteiro n 0. Sabe-se que [( f n = + ) n ( ) n ]. Com relação à série n= (a) converge para. (b) converge para +. (c) converge para. (d) converge para f n.f n+ f n.f, podemos afirmar que: n+. (e) é uma série divergente. A resposta correta é a alternativa (a). Inicialmente note que f n f = f n+ f n n+ f n.f = (f n+ f n )(f n+ f n ) n+ f n.f n+ = f n.f n+ f n.f. n+ Por outro lado, a k-ésima soma parcial da série n= f n.f n+ f n.f n+ é: s k = a + a a k, onde a n = f n.f n+ f n.f, para n =,,...,k. n+ Page 0

11 Portanto, s k = a + a a k Assim, = f 0.f f + f.f 4.f f f k.f k+.f f k.f k+ ( ) ( ) ( f f + f f f k = f f k+ = f k+ n= f n.f n+ f n.f n+ pois lim k f k+ = +, o que revela que lim k = lim k s k = lim k f k+ ( = 0. Assim, ) f k+ ) f =, k+ f n.f n+ f n.f n+ 8. Sorteando aleatoriamente um elemento n do conjunto A = {,,,, }, a probabilidade de que o primeiro dígito de n seja é igual a p. Podemos afirmar que: (a) p < 0 (b) p 0 (c) p < 9 (d) p = 9 (e) p = 0 n= =. ANULADA - Havia um erro no enunciado (Todos os alunos ganham o ponto dessa questão).. 9. Sendo i a unidade imaginária do corpo dos números complexos, qual dos conjuntos abaixo representa valores do número complexo i i? (a) {e ( π k) k Z} (b) {e ( π +kπ) k Z} (c) {e (π+kπ) k Z} (d) {e (kπ) k Z} (e) {e (π+k π ) k Z} A resposta correta é a alternativa (b). Sabemos que i = cos ( π + kπ ) + isen ( π + kπ ) = e i( π +kπ), com k Z. Assim, i i = ( e i( π +kπ)) i = e i.( π +kπ) = e ( π +kπ), com k Z. Page

12 0. Na figura a seguir temos n quadrados desenhados numa faixa reta. A quantidade de maneiras de pintar os n quadrados da faixa utilizando as cores preto e vermelho sem que dois quadrados vizinhos sejam pretos é igual a: [( ) n ( ) n ] (a) + [ ( (b) + (c) [ ( + [ ( (d) + (e) [ ( + ) n+ ( ) n+ ] ) n+ ( ) ] n+ ) n+ ( ) ] n+ ) n+4 ( ) ] n+4 A resposta correta é a alternativa (c). Sejam (P) preto e (V) vermelho e x n o número de maneiras distintas de pintarmos a faixa com n quadrados sem que haja dois quadrados pretos vizinhos. No caso em que n =, há maneiras de fazer a pintura: P ou V. No caso em que n = há maneiras de fazer a pintura: PV, VP ou VV. No caso em que n = há maneiras de fazer a pintura: PVV, VPV, VVP, VVV ou PVP. Os casos anteriores revelam que x =,x = e x =. Note que esses três primeiros valores são valores da famosa sequência de Fibonacci, (f n ) n 0 ; f 0 = 0,f = e f n+ = f n+ + f n para todo inteiro n 0. De acorco com a questão 7, [( f n = + ) n ( ) n ]. Assim, x = = f,x = = f 4,x = = f, o que sugere que x n = f n+. De fato, se considerarmos uma faixa com n quadrados, temos duas opções para pintarmos o primeiro quadrado; preto ou vermelho. Se o primeiro quadrado for pintado de preto, o segundo quadrado deve necessariamente ser pintado de vermelho, restando n quadrados para serem pintados sem que dois quadrados vizinhos fiquem com a mesma cor, o que pode ser feito de x n modos distintos. No caso em que o primeiro quadrado seja pintado de vermelho, restam n quadrados para serem pintados, o que pode ser feito de x n modos distintos. Diante do exposto, x n = x n + x n para todo n, o que revela que a sequência (x n ) é Tipo Fibonacci, como x n = f n+. Assim, ( x n = f n+ = + ) n+ ( ) n+. Page