o anglo resolve a prova de Matemática do ITA

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1 o anglo resolve a prova de Matemática do ITA Código: É trabalho pioneiro. Prestação de serviços com tradição de confiabilidade. Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras em sua tarefa de não cometer injustiças. Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante no processo de aprendizagem, graças a seu formato: reprodução de cada questão, seguida da resolução elaborada pelos professores do Anglo. No final, um comentário sobre as disciplinas. O Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA é uma escola de engenharia mundialmente conhecida. Com o mesmo zelo com que trata seus excelentes cursos (Engenharia Aeronáutica, Engenharia Mecânica Aeronáutica, Engenharia de Infra-Estrutura Aeronáutica, Engenharia Elétrica e Engenharia de Computação), trata seu vestibular, que é realizado em dias: º dia: FÍSICA, com 0 questões de múltipla escolha e 0 questões dissertativas. º dia: PORTUGUÊS, com 0 questões de múltipla escolha, 5 questões dissertativas e uma redação, e INGLÊS, com 0 questões de múltipla escolha. º dia: MATEMÁTICA, com 0 questões de múltipla escolha e 0 questões dissertativas. º dia: QUÍMICA, com 0 questões de múltipla escolha e 0 questões dissertativas. A prova de Inglês é eliminatória e não entra na classificação final. Em Matemática, Física e Química, as questões de múltipla escolha equivalem a 50% do valor da prova, e a parte dissertativa, aos outros 50%. Na prova de Português, as questões de múltipla escolha equivalem a 0% do valor da prova; as dissertativas, a 0% e a Redação, a 0%. Só é corrigida a parte dissertativa dos 650 melhores classificados nas questões de múltipla escolha. Serão considerados habilitados os candidatos que obtiverem nota igual ou superior a 0 (na escala de 0 a 00) e média igual ou superior a 50 (na escala de 0 a 00). A nota final é a média aritmética das provas de Matemática, Física, Química e Português, com peso.

2 T T MA E M Á I CA NOTAÇÕES C: conjunto dos números complexos. [a, b] {x R; a x b}. Q: conjunto dos números racionais. ]a, b[ {x R; a x b}. R: conjunto dos números reais. i: unidade imaginária; i. Z: conjunto dos números inteiros. z x + iy, x, y R. IN: {0,,, }. z : conjugado do número complexo z C. IN*: {,, }. z : módulo do número complexo z C. : conjunto vazio. AB : segmento de reta unindo os pontos A e B. A\B {x A; x B}. m(ab ): medida (comprimento) de AB. Questão Considere os conjuntos S {0,,, 6}, T {,, 5} e U {0, } e as afirmações: I. {0} S e S U II. {} S \ U e S T U {0, }. III. Existe uma função f : S T injetiva. IV. Nenhuma função g : T S é sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) A) apenas I. B) apenas IV. C) apenas I e IV. D) apenas II e III. E) apenas III e IV. A afirmação I é falsa, pois {0} S. A afirmação II é falsa, pois S T U. A afirmação III é falsa, pois, sendo S e T conjuntos finitos e sendo o número de elementos de S maior que o número de elementos de T, não existe uma função f : S T injetiva. A afirmação IV é verdadeira, pois, sendo S e T conjuntos finitos e sendo o número de elementos de S maior que o número de elementos de T, nenhuma função g : T S é sobrejetiva. Resposta: B Questão Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de sanduíches, 7 xícaras de café e pedaço de torta totalizou R$,50. Em outra mesa, o consumo de sanduíches, 0 xícaras de café e pedaço de torta totalizou R$,00. Então, o consumo de sanduíche, xícara de café e pedaço de torta totaliza o valor de A) R$7,50 B) R$6,50 C) R$,50 D) R$0,50 E) R$9,50 ITA/005

3 Sendo x, y e z, nessa ordem, os preços, em R$, de sanduíche, xícara de café e pedaço de torta, temos o sistema possível e indeterminado. x + 7y + z 50, x + 0y + z, 00 Multiplicando os membros da ª- equação por e os da ª- equação por ( ), temos: 9x + y + z 9, 50 8x 0y z 8, 00 Somando membro a membro, temos x + y + z 0,50. Com, por exemplo, (x; y; z) (6;,5; ), podemos garantir a existência de, pelo menos, uma solução compatível com as condições do enunciado. Resposta: D Questão Uma circunferência passa pelos pontos A (0, ), B (0, 8) e C (8, 8). Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio, respectivamente, são A) (0, 5) e 6. D) (, 5) e 5. B) (5, ) e 5. E) (, 6) e 5. C) (, 8) e 5,5. Do enunciado, temos a figura: y 8 B (0, 8) C (8, 8) Centro A (0, ) 0 8 x Como o ângulo ABˆC é reto, podemos concluir que o centro da circunferência é o ponto médio do segmento AC, ou seja, o centro é o ponto (, 5). Além disso, AC é um diâmetro, logo, a medida r do raio é dada por: r AC r ( 8 0) + ( 8 ) r 5 Resposta: D Questão Sobre o número x A) x ]0, [. B) x é racional. C) x é irracional. D) x é irracional. E) x ], [. 7 + é correto afirmar que ITA/005

4 x 7 + x + ( ) + x ( ) + x + x Logo, x é racional Resposta: B Questão 5 Considere o triângulo de vértices A, B e C, sendo D um ponto do lado AB e E um ponto do lado AC. Se m(ab ) 8cm, m(ac ) 0cm, m(ad ) cm e m(ae ) 6cm, a razão das áreas dos triângulos ADE e ABC é A) D). 0. B) E) 5. C) 8. Do enunciado, temos a figura, na qual α é a medida do ângulo BÂC. A. 8 D α 6 0 cotada em cm E B C A razão das áreas dos triângulos ADE e ABC, nesta ordem, é igual a Resposta: D 6 senα, ou seja, 8 0 senα 0. Questão 6 Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a A) D) 5. + B). E) 5 C) ITA/005

5 Sendo b e c as medidas dos catetos, do enunciado temos a figura: A C b H α bc α O c α B O... centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. bc bc No triângulo retângulo ABC, temos: AH BC AC AB AH bc bc AH No triângulo retângulo AHO, temos: AH AH sen( α) sen( α) ( II) AO bc bc () I De (I) e (II), temos que sen( α ). Logo, α 0º e α 5º. Temos: cos 5º cos0º cos 5º cos 5º + Portanto, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a +. Resposta: C Questão 7 A circunferência inscrita num triângulo equilátero com lados de 6 cm de comprimento é a interseção de uma esfera de raio igual a cm com o plano do triângulo. Então, a distância do centro da esfera aos vértices do triângulo é (em cm) A). B) 6. C) 5. D). E) 5. ITA/005 5

6 Do enunciado, temos a figura, cotada em cm. O A O centro da esfera de raio OM ; G centro da circunferência inscrita no triângulo equilátero ABC, de lado 6; M ponto médio do lado AC. M C G B 6 Temos que GM, ou seja, GM 6. Como GB GM, então GB. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OGM, temos: (OG) + (GM) (OM) (OG) + ( ) () OG Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OGB, temos: (OB) (OG) + (GB) ( OB) ( ) + ( ) OB 5 Portanto, sendo OA OB OC 5, a distância pedida é igual a 5cm. Resposta: C Questão 8 Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em uma semi-esfera formam uma progressão aritmética de razão. Se o volume da menor cunha for πr 5 igual a A). B). C) 6. D) 5. E) 7. πr 8, então n é igual a ITA/005 6

7 πr πr Como a P.A. de razão é crescente, seu primeiro termo é. Assim, do enunciado, temos: 5 8 ( a + an ) n πr πr πr πr + + ( n ) n πr ( + n) n 90 n + n 60 0 Logo, n 6. Resposta: C n 6 ou n 0 (não convém) Questão 9 Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 700. O número de vértices deste prisma é igual a A). D) 0. B). E). C) 0. Sendo V o número de vértices do prisma, do enunciado temos: (V ) V Resposta: E Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular são dados por A (0, 0), B (, ) e C O volume do tetraedro é 8 5 A) D).. B). E) 8. C) Questão 0. (, + ). Como o tetraedro é regular, a medida l de uma de suas arestas pode ser calculada como a distância entre os pontos A(0, 0) e B(, ), ou seja: l ( 0) + ( 0) l Assim, o volume V será: Resposta: A ( ) V V 8 ITA/005 7

8 Questão No desenvolvimento de (ax bx + c + ) 5 obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam. Se 0 e são raízes de p(x), então a soma a + b + c é igual a A). B). C). D). E). Do enunciado, temos: (c + ) 5 0 c (a + b + c + ) 5 0 (a b + c + ) 5 Substituindo-se: a + b 0 b a (a b) 5 Assim: (a) 5 a 5 h a cos π isen h π +, h {0,,,, } 5 5 Como b a, temos: a + b + c h a + b + c cos π isen h π +, h {0,,,, } 5 5 Somente para h 0 (coeficientes reais), teríamos: a + b + c a [ ] cos 0+ isen0 Como temos cinco resultados para a + b + c, a questão não apresenta alternativa correta. Questão O menor inteiro positivo n para o qual a diferença A) 99. B) 50. C) 500. D) 600. E) 900. n n fica menor que 0,0 é ITA/005 8

9 De n n 0, 0 e n, temos: n n + 0 ( n) ( n + 0 ) n n + 0 n n 0 ( 0 n ) ( 0 ) 0 (n ) Multiplicando ambos os membros por 0, temos (n ) (n ) ,000 n 500 0,5 + 0,00005 n 500,50005 O menor inteiro positivo n é 50 Resposta: B Questão Seja D IR \ {} e f: D D uma função dada por x f( x) + x. Considere as afirmações: I. f é injetiva e sobrejetiva. II. f é injetiva, mas não sobrejetiva. III. f( x) + f, para todo x D, x 0. x 0 IV. f(x) f( x), para todo x D. Então, são verdadeiras A) apenas I e III. B) apenas I e IV. C) apenas II e III. D) apenas I, III e IV. E) apenas II, III e IV. Com x D, temos: f(x) x + x f(x) + x ITA/005 9

10 Segue um esboço do gráfico de f. f (x) 0 x Podemos concluir que f é injetiva e, como seu conjunto-imagem é D, podemos afirmar que f é sobrejetiva. Logo, a afirmação I é verdadeira, e a II é falsa. Com x D, x 0 e + f x x x x f x + x +, temos: x fx ( )+ f f x 0 x + x A afirmação III é verdadeira. Com x D e x, temos: x + f( x) x ( x ) f( x) ( x + ) fx ( ) x x x f( x) fx ( ) f( x), x Dex x + Logo, a afirmação IV é falsa. Resposta: A Questão O número complexo + i é raiz do polinômio f(x) x + x + px + x + q, com p, q IR. Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de f é A). B). C) 6. D) 5. E) 5. ITA/005 0

11 Como f possui coeficientes reais e + i é uma de suas raízes, temos que i também é raiz. Sendo r e s as demais raízes de f, das relações de Girard, vem: r + s + ( + i) + ( i) r( + i)( i) + s( + i)( i) + rs( + i) + rs( i) r + s 5 rs 6 Logo, r e s ou r e s. Portanto, a soma das raízes reais de f é 5. Resposta: E Questão 5 Considere a equação em x a x + b /x, onde a e b são números reais positivos, tais que lnb lna 0. A soma das soluções da equação é A) 0. B). C). D) ln. E). De lnb lna, temos b a. De lna 0, temos lna 0 e, portanto, a. Nessas condições, temos: x + a ( a ) x x + x x + x x + x 0 As soluções dessa equação são reais e a soma delas é igual a. Resposta: B Questão 6 O intervalo I IR que contém todas as soluções da inequação é: A) [, ]. B) [, ]. C) [, ]. D) [0, 5]. E) [, 6]. + x arctan x π + arctan 6 ITA/005

12 Do enunciado, temos: π π tan α + x e α x π π tanβ e β π α + β 6 Assim: tanα + tanβ tan( α + β) tanα tanβ tg( α + β) + x x + x tan( α + β) + x Como tan(α + β) é positiva: π tan( α + β) tan + x 6 + x Fazendo 7,, temos: x,96 x x O intevalo I que contém todas as soluções é [, ]. Resposta: C Questão 7 Seja z CI com z. Então, a expressão zw z w assume valor A) maior que, para todo w com w. B) menor que, para todo w com w. C) maior que, para todo w com w z. D) igual a, independente de w com w z. E) crescente para w crescente, com w z. Sendo z e z w, temos: z w z w z w z w z (pois z ) ( z w) z, ou seja: z w z w z w z z z w z w () Além disso z z z, logo z z () ITA/005

13 Assim, substituindo () em (), vem: z w z w z w z w z w z w z w Portanto: independente de w, com w z. z w Resposta: D Questão 8 O sistema linear bx + y by + z x + bz não admite solução se e somente se o número real b for igual a A). D). B) 0. E). C). b 0 0 b 0 b 0 b + 0 b Escalonando para b igual a : x + y + 0z ( ) x + y + 0z y + z y + z ( ) + + x + 0y z y z x + y + 0z y + z 0 (falso) O sistema é impossível, isto é, não admite solução. Assim: b Resposta: A Questão 9 Retiram-se bolas de uma urna que contém bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas brancas. Se P é a probabilidade de não sair bola azul e P é a probabilidade de todas as bolas saírem com a mesma cor, então a alternativa que mais se aproxima de P + P é A) 0,. D) 0,5. B) 0,5. E) 0,0. C) 0,8. ITA/005

14 A e A e A P V e V e V ou A e A e A ou B e B e B P P + P 8 P + P 08, 60 A alternativa que mais se aproxima é a E, isto é, 0,0. Resposta: E Questão 0 A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos (, 0) e (0, ) são, respectivamente, A) e. D) B) e. E) C) e. e. e. As elipses com centro na origem podem ser representadas por equações da forma x + Ay + Bxy + C 0 () com A, B e C constantes reais. Os pontos (; 0) e (0; ) pertencem às elipses; assim, de () temos: (; 0) : + C 0 C (0; ) : A + C 0 A Logo, as elipses têm equações da forma: x + y + Bxy 0 Nessas condições, existem infinitas elipses (vide nota). Por exemplo: Para B 0, teríamos: y x +, que representa a elipse cujo centro é (0; 0), passa pelos pontos (; 0) e (0; ), possui distância focal Para B e excentricidade 7, teríamos: 7 x + y xy 0. ITA/005

15 Fazendo a transformação: 7 x x, que representa uma rotação do sistema de coordenadas XOY para o sistema X OY. y 8 8 ' 7 y' 8 8 Nesse novo sistema de coordenadas teremos: x' y' +, que representa a elipse cujo centro é (0; 0), passa pelos pontos (; 0) e (0; ) do sistema XOY, possui distância focal e excentricidade. Portanto, com os dados do problema, a elipse não está determinada. Nota: É possível provar que equações da forma x + y + Bxy 0 representam elipses se e somente se B, B IR. Resposta: Sem alternativa As questões dissertativas, numeradas de a 0, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de soluções. Questão Seja a, a,... uma progressão aritmética infinita tal que n ak n + π n, para n IN * k Determine o primeiro termo e a razão da progressão. Com n, temos: ak + π a + π () k Com n, temos: ak + π a + a6 + π ( ) k Sendo r a razão da progressão aritmética, temos de () e () o sistema: a + r + π ( ) a + 7r + π + a + r + π r π π π Desse sistema, temos r e a. Resposta: O primeiro termo é, e a razão é π π. ITA/005 5

16 Questão Seja C a circunferência de centro na origem, passando pelo ponto P (, ). Se t é a reta tangente a C por P, determine a circunferência C de menor raio, com centro sobre o eixo x e tangente simultaneamente à reta t e à circunferência C. Do enunciado, temos a figura, onde O é o centro da circunferência C, e r o seu raio. y P 5 r O 5 O t x O coeficiente angular da reta suporte do segmento OP 0 é, ou seja,. 0 Daí, o coeficiente angular da reta t é, e uma de suas equações é dada por y ( x ), ou seja, (t) x + y 5 0. Da figura, temos que O (a, 0) e r a 5, com a 5. Por outro lado, a distância do ponto O à reta t é igual ao raio r; logo: a 0 (não convém) a a 5 + ou a 5 5 Então, O 0 5, er. 5 Resposta: A circunferência C tem centro O e raio r 5, e sua equação reduzida é:, 0 x 5 5 y + 6 Questão Sejam A e B matrizes tais que AB BA e que satisfazem à equação matricial A + AB B 0. Se B é inversível, mostre que (a) AB B A e que (b) A é inversível. ITA/005 6

17 a) Sendo B inversível e B sua inversa, do enunciado temos: A B BA (AB) B (BA) B A B (AB ) B A (B B) (AB ) B A AB, isto é, AB B A b) Do enunciado: A + AB B 0 (A + AB B) B 0 B A (AB ) + A I 0 A [AB + I] I Assim, det(a [AB + I]) deti deta det(ab + I) Logo, deta 0, portanto A é inversível. Questão Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de n ângulos (internos) do polígono é 00, determine o número n de lados do polígono. Seja α a medida do ângulo interno não somado desse polígono convexo de n lados, com n IN e n. Do enunciado, temos: α + 00 (n ) 80 α 80 n 6 Como 0 α 80, devemos ter: 0 80 n n 5, n, Logo, o número de lados do polígono é. Resposta: Questão 5 a) Mostre que o número real α é raíz da equação x + x 0. b) Conclua de (a) que α é um número racional. a) Com α a + b, temos: α (a + b) α a + a b + ab + b α ab(a + b) + a + b α ab α+ a + b ITA/005 7

18 Sendo a + 5 e b 5, temos: α ( + 5)( 5) α α ( ) α+ α + α 0 Logo, o número α é raiz da equação x + x 0. b) Note-se que é raiz da equação x + x 0 e, portanto, x + x é divisível por x. 0 0 x + x (x )(x + x + ) O discriminante de x + x + é 5 e, portanto, o número é a única raiz real da equação x + x 0. Como α é real e é raiz dessa equação, podemos concluir que α. Logo, α é um número racional. Questão 6 Considere a equação em x IR + mx x + mx, sendo m um parâmetro real. a) Resolva a equação em função do parâmetro m. b) Determine todos os valores de m para os quais a equação admite solução não nula. a) De + mx x + mx, com m 0, temos a equação x +, cujo conjunto-solução é {0}. Vejamos, agora, os casos em que m 0. De + mx IR + e mx R +, temos mx e, portanto, existe α, 0 α π, tal que mx cosα, ou seja, x cos α. m De + mx x + mx, temos cosα + cosα + cosα m ( ) m + cos α cos α cos α m + cosα cosα α cos α α α α m cos sen cos sen α α α α α α m cos sen cos sen cos sen + ITA/005 8

19 cos α sen α ou m cos α + sen α α π º- caso De cos α sen α e 0 α π isto é, 0, temos: α cosα 0 mx 0 Como consideramos m 0, temos x 0. º- caso De cos α + sen α m e 0 α π, temos: Temos: α π α π 0 α α cos + sen 0 m 0 () α α cos + ( ) sen m α α + sen cos m senα m De 0 α π, temos: 0 senα 0 m m π m () De () e (), temos m. De cosα ± sen α e senα m, temos cos α ±m m. mx ± m m Como consideramos m 0, temos x ± m Resposta: Sendo S o conjunto-solução, temos: m S 0, m, m m ou m S {0} ITA/005 9

20 b) Pelo item anterior, temos: m S 0, m, m Note-se que, se m, então ± m 0. Resposta: m Questão 7 Um dos catetos de um triângulo retângulo mede cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é π cm. Determine os ângulos deste trângulo. Do enunciado, temos a figura, cotada em cm: B α m A r H n β C Ainda, πr m+ πr n π r (m + n) (I) No triângulo retângulo ABC, temos: (AH) BH CH r m n (II) e ( AB) BH BC ( ) m ( m + n) m ( m+ n) ( III) De (I) e (II), vem mn (m + n). (IV) De (III) e (IV), vem n n. Substituindo em (III), temos m m +, ou seja: m ( não convém) m + m 0 ou m ITA/005 0

21 No triângulo retângulo ABH, temos: BH cosα cosα cosα AB Logo, α 60º e β 0º. Resposta: 0º, 60º e 90º Questão 8 São dados dois cartões, sendo que um deles tem ambos os lados na cor vermelha, enquanto o outro tem um lado na cor vermelha e o outro lado na cor azul. Um dos cartões é escolhido ao acaso e colocado sobre uma mesa. Se a cor exposta é vermelha, calcule a probabilidade de o cartão escolhido ter a outra cor também vermelha. Do enunciado, temos: 0 V V V V A probabilidade pedida é: P + Resposta: Questão 9 Obtenha todos os pares (x, y), com x, y [0, π], tais que sen(x + y) + sen(x y) senx + cosy Do enunciado, temos: senxcos y cos y senx senx + cos y Substituindo-se: senx + sen x senx + 0 senx ITA/005

22 E ainda: x [ 0, π] π 5π ( senx ) 0 senx x ou x 6 6 y [ 0, π] π 5π cos y cos y y ou y Assim, os pares ordenados são: π π π 5π 5π π 5π 5π,,,,,, e 6 Resposta: π π π 5π 5π π 5π 5π,,,,,, e 6 Questão 0 Determine todos os valores reais de a para os quais a equação (x ) x a admita exatamente três soluções distintas. Consideremos o conjunto A {x IR: (x ) x a }. Como (x ) 0, para todo real x, temos: A {x IR: (x ) x a ou (x ) x + a} A {x IR: x x + + a 0 ou x x + a 0} Sendo f o discriminante de f(x) x x + + a, temos f 5 a. Sendo g o discriminante de g(x) x x + a, temos g a. O conjunto A tem exatamente elementos, se e somente se: º-: f 0, g 0 e as equações f(x) 0 e g(x) 0 não têm raiz em comum. º-: f 0, g 0 e as equações f(x) 0 e g(x) 0 não têm raiz em comum. º-: f 0, g 0 e as equações f(x) 0 e g(x) 0 têm uma única raiz em comum. Estudemos os três casos: º- Caso Se f 0, então 5 a 0, ou seja, a 5. Nesse caso, g 5 g 0, as raízes de f(x) 0 são e, e as raizes de g(x) 0 são + e. Assim, A tem exatamente elementos. º- Caso Se g 0, então a 0, ou seja, a. + Nesse caso, f 5 f 0, as raízes de f(x) 0 são e, e as raizes de g(x) 0 são e. Assim, A tem exatamente elementos. ITA/005

23 º- caso Se f 0 e g 0, então 5 a 0 e a 0 5 a. Nesse caso, as raízes de f(x) 0 são As raízes de g(x) 0 são xg Das igualdades x f x g, ou x f x g, ou x f x g, não resulta Da igualdade x f x g, resulta a xf a a exg +. 5 a + 5 a ex f. Resposta: Assim, o conjunto A tem exatamente elementos se, e somente se a 5, ou a, ou a. 5 a. ITA/005

24 CO MENT ÁRI O Uma prova abrangente, constituída de questões com grau de dificuldade variado desde fáceis até muito complexas. ITA/005