o anglo resolve a prova de Matemática do ITA dezembro de 2005

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1 o anglo resolve a prova de Matemática do ITA dezembro de 005 Código: É trabalho pioneiro. Prestação de serviços com tradição de confiabilidade. Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras em sua tarefa de não cometer injustiças. Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante no processo de aprendizagem, graças a seu formato: reprodução de cada questão, seguida da resolução elaborada pelos professores do Anglo. No final, um comentário sobre as disciplinas. O Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA é uma escola de engenharia mundialmente conhecida. Com o mesmo zelo com que trata seus excelentes cursos (Engenharia Aeronáutica, Engenharia Mecânica Aeronáutica, Engenharia de Infra-Estrutura Aeronáutica, Engenharia Elétrica e Engenharia de Computação), trata seu vestibular, que é realizado em 4 dias: º dia: FÍSICA, com 0 questões de múltipla escolha e 0 questões dissertativas. º dia: PORTUGUÊS, com 0 questões de múltipla escolha, 5 questões dissertativas e uma redação, e INGLÊS, com 0 questões de múltipla escolha. º dia: MATEMÁTICA, com 0 questões de múltipla escolha e 0 questões dissertativas. 4º dia: QUÍMICA, com 0 questões de múltipla escolha e 0 questões dissertativas. A prova de Inglês é eliminatória e não entra na classificação final. Em Matemática, Física e Química, as questões de múltipla escolha equivalem a 50% do valor da prova, e a parte dissertativa, aos outros 50%. Na prova de Português, as questões de múltipla escolha equivalem a 40% do valor da prova; as dissertativas, a 0% e a Redação, a 40%. Só é corrigida a parte dissertativa dos melhores classificados nas questões de múltipla escolha. Serão considerados aprovados nos exames de escolaridade os candidatos que obtiverem nota igual ou superior a 40 (na escala de 0 a 00) e média igual ou superior a 50 (na escala de 0 a 00). A nota final é a média aritmética das provas de Matemática, Física, Química e Português.

2 T T MA E M Á I CA NOTAÇÕES C: conjunto dos números complexos i: unidade imaginária; i = Q: conjunto dos números racionais z = x + iy, x, y R R: conjunto dos números reais z : conjugado do número z C : conjunto dos números inteiros z : módulo do número z C IN: {0,,,, } Rez: parte real de z C IN* = {,,, } Imz: parte imaginária de z C : conjunto vazio [a, b] = {x R: a x b} A\B = {x A: x B} (a, b) = {x R: a x b} deta: determinante da matriz A [a, b) = {x R: a x b} A : inversa da matriz A (a, b] = {x R: a x b} ( b a ) : combinação de a elementos, b a b, onde a e b são inteiros maiores ou iguais a zero AB : segmento de reta unindo os pontos A e B P(X): conjunto de todos os subconjuntos de X n(x): número de elementos do conjunto X (X finito) Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas considerados Questão Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = e AG = 6, então GF vale A) D) 4 B) E) 5 C) Do enunciado, temos a figura: A E 5 4 C B 7 6 Da potência do ponto E em relação à circunferência, temos: EC ED = EB EA 4 ED = 5 ED = 5 Sendo EC + CG + GD = ED, temos que 4 + CG + = 5, ou seja, CG = 8. Da potência do ponto G em relação à circunferência, temos: AG GF = CG GD 6 GF = 8 GF = 4 G D Resposta: D F ITA/006

3 Questão Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: Se A, B S, então A B ou B A. Então, o número máximo de elementos que S pode ter é A) n n ( n + ) B), se n for par, e se n for ímpar C) n + D) n E) n + Sejam A e B, com A e B, elementos distintos de S. Como S P(U), podemos concluir que A P(U) e B P(U). Suponhamos que n(a) = n(b). Como A B, existe a, a A e existe b, b A, tais que a B e b A e, portanto, A B e B A. Logo, o conjunto S não pode ter, como elementos, dois conjuntos A e B, com A e B, com n(a) = n(b). () Seja U = {u, u, u,, u n }, com n IN*. Se A S, então A P(U) e, portanto, A U. Logo, 0 n(a) n. () De () e (), podemos concluir que n(s) n +. () Consideremos o conjunto S = {, {a }, {a, a },, {a, a,, a n }}. Temos que n(s ) = n +. (4) De () e (4), podemos concluir que o número máximo de elementos que S pode ter é n +. Resposta: C Questão Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(b\a), n(a\b) e n(a B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r 0. Sabendo que n(b\a) e n(a B) + r = 64, então, n(a\b) é igual a A) B) 7 C) 0 D) E) 4 Como n(b\a), n(a\b) e n(a B) formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão r e n(b\a) = 4, temos n(a\b) = 4 + r e n(a B) = 4 + r. ITA/006

4 Como n(b\a) + n(a\b) + n(a B) = n(a B) e n(a B) = 64 r, temos: (4) + (4 + r) + (4 + r) = 64 r 4r = 64 r = Comon(A\B) = 4 + r, temos n(a\b) = 7. Resposta: B Questão 4 Seja f: IR IR definida por f( x) = sen π 77 5 x + e seja B o conjunto dado por B = {x IR: f(x) = 0}. Se m 6 éo maior elemento de B (, 0) e n é o menor elemento de B (0, + ), então m + n é igual a A) B) C) D) E) π 5 π 5 π 0 π 5 π 5 f(x) = 0 77 π sen 5 x + 6 = 0 sen 5 π x + 6 = 0 5 π x + = k π 6 (k ) k x = π (k ) π kπ Logo, B= x = + : k 6 5 k = 0 x = π 6 k = x = π 0 Portanto, π π π m=, n= em+ n= Resposta: E ITA/006 4

5 Questão 5 Considere a equação (a x a x )/(a x + a x ) = m, na variável real x, como 0 a. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é A) (, 0) (0, ) B) (, ) (, + ) C) (, ) D) (0, ) E) (, + ) x x a a x x = m a + a Com a x = t, temos: t t = m t + t t = mt + m ( m)t = m + (*) Com m =, temos 0 t =, equação que não admite solução. m Com m, temos de (*): t + =. m m + Essa equação admite solução positiva se, e somente se, 0. m O conjunto de todos os valores de m que satisfazem essa condição é o intervalo aberto (, ). Resposta: C t = mt + t m t 0 + m E sinal de m + m Questão 6 Considere uma prova com 0 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 0 questões é A) B) 4 60 C) D) 4 E) 0 7 ITA/006 5

6 O candidato tem uma única opção para assinalar a alternativa correta (acertar a questão) e 4 opções para assinalar uma incorreta (errar a questão). Assim: acertar quaisquer 7 questões 0 7 errar as e outras 4 = 0 4 = Resposta: A Questão 7 0 Considere as seguintes afirmações sobre a expressão S = k = 0 k log8 ( 4 ): I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita. II.S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão / III.S = 45 IV.S 44 + log 8 Então, pode-se afirmar que é(são) verdadeira(s) apenas A) I e III B) II e III C) II e IV D) II E) III Note que: k + k log 8 ( 4 ) = log ( ) = k + log log 8 ( 4 k ) = + k 6 Assim: 0 k S = k = 0 log8 ( 4 ) é a soma dos 0 primeiros elementos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é e cuja razão é. 6 Desse modo, a afirmação (I) é falsa e a (II) é verdadeira. Como o 0º termo dessa P.A. é S é dada por: 6 + = 6, + 6 S = S = 45. ITA/006 6

7 A afirmação (III) é verdadeira. Temos ainda que S = S S 44 + log S 44 + log S 44 + log 8 Assim, a afirmação (IV) é falsa. Logo, apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras. Resposta: B Questão 8 Se para todo z C, f(z) = z e f(z) f() = z, então, para todo z C, f() f(z) + f()f(z) é igual a A) B) z C) Rez D) Imz E) z De f(z) = z, temos f() = e, portanto, f() =. De f(z) f() = z, temos: f(z) f() = z [( fz) f()] [( fz) f()] = ( z )( z ) [( fz) f()] [( fz) f()] = ( z ) (z ) [( fz) f()][( fz) f()] = ( z ) (z ) fz ( ) fz ( ) fz ( ) f( ) f( ) fz ( ) + f( ) f( ) = z z z z + fz ( ) [ f( ) fz ( ) + f( ) fz ( )] + f( ) = z z z + z [ f( ) f( z) + f() f( z)] + = z z z + f() f( z) + f() f( z) = z + z Sendo z = a + bi, com a e b reais, temos que z + z = a, isto é, z + z = Rez. Portanto, f() f( z) + f() f( z) = Re z. Resposta: C ITA/006 7

8 Questão 9 O conjunto solução de (tg x ) ( cotg x) = 4, x kπ/, k, é A) {π/ + kπ/4, k } D){π/8 + kπ/4, k } B) {π/4 + kπ/4, k } E) {π/ + kπ/4, k } C) {π/6 + kπ/4, k } (tg x ) ( cotg x) = 4 (tg x ) 4 = tg x (tg x ) = 4tg x tgx = tg x tg x = tg x = ± Assim: π π x = + k, k 4 π π x = + k, k 8 4 O conjunto solução é Resposta: D Questão 0 Se α [0, π) é o argumento de um número complexo z 0 e n é um número natural tal que (z/ z ) n = isen(nα), então, é verdade que A) nα é múltiplo de π D) nα π é múltiplo não nulo de B) nα π é múltiplo de π E) nα π é múltiplo de π C) nα π/4 é múltiplo de π/ π kπ +, k. 8 4 Sendo α [0; π) o argumento de z 0, temos: z n = isen(nα) z n z (cos α + isenα) = isen(nα) z cos(nα) + isen(nα) = isen(nα) cos(nα) = 0. Logo: nα = π + kπ, k nα = π + kπ, k nα π = kπ, k, ou seja, nα π é múltiplo de π. Resposta: B ITA/006 8

9 Questão A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear x + y + z = x + y + 5z = x + y + az = b é A) a b D)a/b = / B) a + b = 0 E) a b = 4 C) 4a 6b = 0 Para que o sistema linear dado seja incompatível é necessário que: Substituindo a = 6 no sistema linear dado e escalonando: x + y + z = ( ) ( ) x + y + 5z = + x + y + 6z = b + Para que o sistema seja incompatível: b 4 0 b 4 Com a = 6 e b 4, temos: b 4 b 4 a b 6 4 a b Resposta: A x + y + z = y + z = 0 = b 4 5 a = 0 a 6= 0 a= 6 Questão a b c a b c Se det p q r, então o valor do det p + x q + y r + z é igual a = x y z x y z A) 0 D) B) 4 E) 6 C) 8 a b c a b c a b c p + x q+ y r + z = p q r + x y z x y z x y z x y z Resposta: D a b c = ( ) ( ) ( ) p q r + 0 x y z = ( ) () () ( ) = ITA/006 9

10 Questão Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite i como raiz de multiplicidade. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 0 e 40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são 9 A) 9,, B) 4,, + 4 C) 4,, 8 D),, 8 E),, 5 Podemos representar as três raízes reais por a r, r e a + r, em que a e r são números reais. () Como os coeficientes do polinômio são reais e i é raiz dupla, podemos afirmar que + i também é raiz dupla. Como a soma dessas raízes é 0, temos: (a r) + (a) + (a + r) + ( i) + ( + i) + ( i) + ( + i) = 0 a + 4 = 0 a =. () Como o produto dessas raízes é 40, temos: ( r)()( + r)( i)( + i)( i)( + i) = 40 Como ( i)( + i) =, temos: ( r)()( + r) = 40 4 r = 5 r = 9 r = ± () De (), () e (), podemos concluir que as raízes reais são os números, e 5. Resposta: E Questão 4 Sobre o polinômio p(x) = x 5 5x + 4x x podemos afirmar que A) x = não é raiz de p B) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais C) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira D) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras E) p admite somente raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais p(x) = (x )(x 4 + x x + x + ) Temos p() = 0 e, portanto, é raiz de p. () De x 4 + x x + x + = 0, temos: x + x + + x x = 0 x + + x + 0 x x = ITA/006 0

11 x x + x 0 x = x + x x + + x = 0 x + = ou x + = x x De x + =, temos x x + = 0. x Essa equação não admite raízes reais, pois seu discriminante é negativo ( = ). De temos x ± 5 x + =, + x + = 0 e, portanto, x =. x Logo, p admite somente raízes reais, sendo uma inteira e duas irracionais. Resposta: E Questão 5 Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por (a b)x (a + b)y = (a + b)x + (a b)y = Considere as seguintes afirmações: I. O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0 II. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos III. x + y = (a + b ), se a + b 0 Então, pode-se afirmar que é(são) verdadeira(s) apenas A) I B) II C) III D) I e II E) II e III O determinante do sistema (a b)x (a + b)y = (a + b)x + (a b)y = é: D = ( a b) ( a+ b) ( a+ b) ( a b) = ( a + b ) Se D = 0, ou seja, (a + b ) = 0, então a = 0 e b = 0, pois a e b são reais. Nessas condições o sistema será dado por: 0x + 0y = 0x + 0y = (O sistema não admite solução.) Logo, a afirmação (I) é falsa. ITA/006

12 Se D 0, então a + b 0, ou seja, a e b não são simultaneamente nulos. Nessas condições o sistema é possível e determinado, e x e y serão dados por: x = ( a+ b) ( a b) a x = ( a + b ) a + b ( a b) ( a+ b) b y = y = ( a + b ) a + b Assim: a b x + y = + a + b a + b x + y = (a + b ). Logo, as afirmações (II) e (III) são verdadeiras. Resposta: E Questão 6 Considere o polinômio p(x) = x (a + )x + a, onde a. O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polinômio p(x) só admite raízes inteiras, é A) {n, n IN} B) {4n, n IN} C) {6n 4n, n IN} D) {n(n + ), n IN} E) IN 0 a a a 0 p(x) = (x )(x + x a) Para todo a, a, é raiz. Consideremos a expressão x + x a. Seu discriminante é = + 4a. Para que a equação x + x a = 0 admita raízes inteiras, devemos ter 0, ou seja, a Como a, devemos ter a 0 e, portanto, a IN. Ainda, sendo r uma raiz inteira da equação x + x a = 0, temos: r + r a = 0 a= r + r a = r(r + ) Como a é um número natural, podemos afirmar que ele é da forma n(n + ), com n IN. Resposta: D. 4 ITA/006

13 Questão 7 Numa circunferência C de raio r = cm está inscrito um hexágono regular H ; em H está inscrita uma circunferência C ; em C está inscrito um hexágono regular H e, assim, sucessivamente. Se A n (em cm ) é a área do hexágono H n, então Σn= A n (em cm ) é igual a A) 54 B) C) D) E) 54 6 ( + ) 7 ( ) 0 ( + ) Do enunciado, temos a figura, em que r n é a medida, em cm, do raio da circunferência C n : H n C n C n + O: centro da circunferência C n OT: raio da circunferência C n + O r n r n A T r n B r rn + OT é a altura do triângulo eqüilátero OAB, de lado rn. Logo, OT r n = n + =, ou seja, =. rn Como os hexágonos regulares H n + e H n são semelhantes, temos: = r n + rn An + = An Logo, a seqüência (A,..., A n,...) é uma progressão geométrica de razão. Como A 6 =, ou seja, A = Resposta: B, temos: An + An 7 An = An = cm = 54 n = 4 n An+ = An 4 ITA/006

14 Questão 8 Sejam a reta s: x 5y + 7 = 0 e a circunferência C: x + y + 4x + y =. A reta p, que é perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Oy num ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo A), D), 8 74 B), E) C) 74, , x + y + 4x + y = x + 4x y + y + = (x + ) + (y + ) = 6 Assim, a circunferência C tem centro O(, ) e raio 4. Temos que: 7 (s) x 5y + 7 = 0 y = x O coeficiente angular da reta s é. Como p s, então o coeficiente angular da reta p é. 5 Sendo q a ordenada do ponto onde a reta p corta o eixo Oy, uma equação de p é y = 5 x + q, ou seja, 5x + y q = 0. Como p é secante a C, a distância do centro O(, ) até a reta p é menor do que o raio. Assim, 5 ( ) + ( ) q q 5 74 q 0 Portanto, não é correto afirmar que a ordenada do ponto onde a reta p corta o eixo Oy pertence a qualquer um dos intervalos apresentados. Sem resposta Questão 9 Os focos de uma elipse são F (0, 6) e F (0, 6). Os pontos A(0, 9) e B(x, ), x 0, estão na elipse. A área do triângulo com vértices em B, F e F é igual a A) B) C) D) 0 E) 6 0 ITA/006 4

15 Do enunciado, temos a figura: y a A(0, 9) 6 F x B(x, ) semi-eixo maior: a = 9 semi-eixo menor: b semidistância focal: c = 6 0 x c 6 F b Temos que: b + c = a b + 6 = 9 b = 45 y x Assim, uma equação da elipse é = Como B(x, ) pertence à elipse, temos: x + = 8 45 x = 0 Logo, a área do triângulo BF F é igual a Resposta: D 0, ou seja, 0. Questão 0 Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede cm. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60 com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm, é A) B) C) D) E) 7 ITA/006 5

16 Do enunciado temos a figura, cotada em cm, em que está representada a pirâmide regular hexagonal VABCDEF, de vértice V: V O... centro do hexágono regular ABCDEF; l... medida de cada lado do hexágono regular ABCDEF; DF =. D C E 0º F O l 60º A M l B l Aplicando o teorema dos co-senos ao triângulo DEF, temos: (DF) = (DE) + (EF) DE EF cos0º ( ) = l + l l l l = Sendo OM uma altura do triângulo eqüilátero OAB, temos que No triângulo retângulo VOM, temos: OM =. cos 60º OM = = VM VM VM = Logo, a área S pedida é tal que: S = S = 8 Resposta: A Questão Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F = {A,..., A m } P(A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas: I. A i, i =,..., m II. A i A j =, se i j, para i,j =,..., m III. A = A A... A m Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(a i ) = k, i =,, m. Supondo que n(a) = 8, determine: a) As ordens possíveis para uma partição de A b) O número de partições de A que têm ordem ITA/006 6

17 Seja A = {a, a, a, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8 }, com a i a j, se i j, i 8 e j 8. a) Consideremos os seguintes exemplos de partições de A: de ordem : F = {A, A, A, A 4, A 5, A 6, A 7, A 8 }, com A = {a }, A = {a },..., A 8 = {a 8 }. de ordem : F = {A, A, A, A 4 }, com A = {a, a }, A = {a, a 4 }, A = {a 5, a 6 } e A 4 = {a 7, a 8 }. de ordem 4: F = {A, A }, com A = {a, a, a, a 4 } e A = {a 5, a 6, a 7, a 8 }. de ordem 8: F = {A}. Sedo F = {A, A,..., A m } uma partição de ordem k, temos que k m = 8. Logo, k deve ser um divisor natural de 8 e, portanto, k =, ou k =, ou k = 4, ou k = 8. Resposta:,, 4 ou 8 b) Uma partição de A de ordem é da forma F = {A, A, A, A 4 }, em que cada um dos conjuntos A, A, A e A 4 possui exatamente dois dos oito elementos de A. Nessas condições, o número de maneiras de definir a partição F é dado por: = 05 4! Resposta: 05 Questão Seja f: [0,) IR definida por f(x) = 44 x, 0 x /. x, / x 44 f(x + /), / x 0 Seja g:, IR dada por g(x) =, com f definida acima. Justificando a res- f(x + /), 0 x / posta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. Para x 0, temos 0 x + e g(x) = x + g x x ( ) = +. Para 0 x, temos x + e g(x) = x + ( ). g x = x + Com 0 t, temos t 0, g( t) = ( t) + e, portanto, g( t) = g(t). Logo, g(x) é par. Resposta: par ITA/006 7

18 Questão Determine o coeficiente de x 4 no desenvolvimento de ( + x + x ) 9. Considere o binômio [( + x) + x ] 9, cujo termo geral T é dado por: p p I) T = x x, com p IN e p p ( + ) ( ) Considere o binômio ( + x) 9 p cujo termo geral T é dado por: 9 p 9 p q q 9 p q II) T = x = x, com q IN e q 9 p q q Substituindo (II) em (I), temos: p q p T = x x 9 9 p q p III) T = x p q p q Assim, devemos ter: x p + q = x 4, ou seja, p + q = 4 Portanto, q = 0 e p = ou q = e p = ou q = 4 e p = 0. Substituindo os valores de q e p em III: T = x x x T = 6x 4 + 5x 4 + 6x 4 T = 44x 4 Logo, o coeficiente pedido é 44. Resposta: 44 Questão 4 π π Determine para quais valores de x, vale a desigualdade log cosx (4sen x ) log cosx (4 sec x). Considerando as condições: cosx 0 e cosx (I) 4sen x 0 senx ou senx (II) 4 sec x cos x 4cos x 0 cosx ou cosx (III) cos x ITA/006 8

19 π π π π π π Como x,, de (I), (II) e (III) tem-se: x ou x (IV) 6 6 Nessas condições, temos: log cosx (4sen x ) log cosx cos x + log cosx 4 cos x log cosx (4sen x ) log cosx (4cos x ) Como 0 cosx, temos: 4sen x 4cos x tg x tgx (V) De IV e V, temos: π π π π x ou x π π π π Resposta: x ou x Questão 5 Considere o polinômio p(x) = x + ax + x +, com raízes reais. O coeficiente a é racional e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a seguinte afirmação é verdadeira: Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais. Sejam x ; x ; x IR as raízes de p(x) = x + ax + x +, com a Q, tais que (x x ) Q, isto é, x x = d, d Q. Considere a afirmação: Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais. Existem três possibilidades: ) Se x Q, então x = d x, ou seja: x Q Das relações de Girard: x + x + x = a x = a x x x Q Nesse caso, a afirmação é verdadeira. ) Se x Q, então x = d + x, ou seja: x Q Das relações de Girard: x + x + x = a x = a x x x Q Nesse caso, a afirmação também é verdadeira. ) Se x Q, então, das relações de Girard: x + x = a x (x + x ) Q Assim: x + x = a x x x = d x = a x + d x Q, e a x x d = x Q, Nessas condições, a afirmação também é verdadeira. De (), () e (), a afirmação sempre é verdadeira. ITA/006 9

20 Questão 6 As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão metros. Calcule a área total deste cone em m. Do enunciado temos a figura, cotada em m, em que O é o centro do círculo de raio medindo r: V h g r = OA; h medida da altura do cone; g medida da geratriz do cone; r 0, h 0 e g 0. O A r Como r, h e g formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão metros, temos que r = h e g = h +. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo VOA, temos: r + h = g (h ) + h = (h + ) h = 8, r = 6 e g = 0. A área S pedida é tal que: S = π 6 + π 6 0 S = 96π Resposta: 96 π Questão 7 Sejam as matrizes 0 5 A = e B = Determine o elemento c 4 da matriz C = (A + B) A + B = det( A + B) = det( A + B) = 99 5 ITA/006 0

21 Como C = (A + B), o elemento c 4 será dado por: c4 = A B Cof 4 ( + A + det( ) B ) c 4 = ( ) c 4 = ( )( + 6) 99 c 4 = Resposta: Questão 8 Seja (a, a, a,..., a n,...) uma progressão geométrica infinita de razão positiva r, em que a = a é um número real não nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de é 6/, determine o valor de a + r. Como as somas dadas são limitadas, podemos afirmar que (a ; a ; a ;...; a n ;...) é uma progressão geométrica convergente. Como a razão r é positiva, temos: 0 r Do enunciado, temos: Com a = a, a IR*: 5 ar + ar + ar +... = 4 ( ) ar + ar + ar +... = ( ), k IN* Note que () representa a soma dos elementos de uma P.G. de primeiro termo ar e razão r, e (), a soma de outra P.G. de primeiro termo ar e razão r. Nessas condições, temos: a + a4 + a ak +... = 4 a + a6 + a ak +... = ar = 4 ( ) r ar 6 = ( 4) r Dividindo-se (4) por (), vem: ar 6 ( r)( + r+ r ) = ar 4 ( r)( + r) 6 ITA/006

22 r ( + r) 4 = + r + r 9r + 9r 4 = 0 4 r = ou r = (não convém) Substituindo em (), temos: a a = 4 = Assim: a+ r = +, ou seja, a + r =. Resposta: Questão 9 Sabendo que 9y 6x 44y + 4x 5 = 0 é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal. 9y 6x 44y + 4x 5 = 0 9y 44y 6x + 4x = 5 9(y 6y + 64 ) 6(x 4x + 49 ) = (y 8) 6(x 7) = 44 9( y 8) 6( x 7) 44 = ( y 8 ) ( x 7 ) = 6 9 Assim, a = 6 e b = 9. Temos que: c = a + b c = c = 5 Portanto, a distância focal é 5, ou seja, 0. Resposta: 0 Questão 0 Considere um losango ABCD cujo perímetro mede 00cm e cuja maior diagonal mede 40cm. Calcule a área, em cm, do círculo inscrito neste losango. Do enunciado, temos a figura ao lado cotada em cm: A 5 T r B 5 0 O 0 O: centro do círculo inscrito no losango ABCD; r: medida do raio desse círculo. C 5 5 D 40 ITA/006

23 No triângulo retângulo ABO, temos: (OB) + (OA) = (AB) (OB) + 0 = 5 OB = 5 Ainda, (AB) (OT) = (OB) (OA) 5 r = 5 0 r = Logo, a área pedida é igual a π, ou seja, 44π. Resposta: 44π ITA/006

24 CO MENT ÁRI O Mantendo a tradição, essa prova foi muito bem elaborada. Apresentou uma boa distribuição de assuntos e os enunciados das questões foram claros e precisos. Lamentamos apenas o fato de a questão 8 não apresentar alternativa correta. ITA/006 4