Separe em grupos de folhas diferentes as resoluções dos grupos I e II das resoluções dos grupos III, IV e V GRUPO I (60 PONTOS)

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1 Faculdade de Ciências Económicas e Empresariais UCP MATEMÁTICA I Exame - versão A Duração: 8 minutos Durante a prova não serão prestados quaisquer tipo de esclarecimentos Qualquer dúvida ou questão relativa ao enunciado deverá ser escrita na folha de prova para que possa ser tomada em consideração na correcção Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar Justifique as respostas Simplifique o resultado final o máximo possível Não é possível desistir após o início desta prova Considere A = Separe em grupos de folhas diferentes as resoluções dos grupos I e II das resoluções dos grupos III, IV e V α 4 β 5β 4 3 GRUPO I (6 PONTOS), b = β e I a matriz identidade de ordem 3 [ pontos] Para α = β =, determine os valores e vectores próprios da matriz A Quais são os valores e vectores próprios da matriz A? [ pontos] Para α = e β =, resolva a equação matricial (A + I) T X = bb T + I b, usando a matriz adjunta 3 [ pontos] Discuta o sistema AX = b em função dos parâmetros α e β GRUPO II (3 PONTOS) [5 pontos] Determine a expressão simplificada do determinante da matriz quadrada C 3 3 n n n n n 3n n 4n C n n = n 5n n 6n n n + n n + 3n 3 3n + 3 n + n n n n n 3n 3n n e indique o sinal deste determinante para qualquer n [5 pontos] Seja a matriz A n n tal que (I A) existe e A = na Prove que: a) A e I A são permutáveis b) A e (I A) são permutáveis c) (I A) = I n A Determine: [ pontos] P x3 + xarctg(x ) + x 4 [ pontos] f () se f(x) = (x x + ) 3 [ pontos] lim x e x sen(x) x x x + x ln( x) GRUPO III (3 PONTOS) x +4x (x) + e t dt

2 GRUPO IV (4 PONTOS) Considere as funções reais de variável real f(x) = x +, g(x) = ln(x + ) e h(x) = e x [ pontos] Determine o domínio da função n = (g h)/f [ pontos] Prove, pela definição, que lim x ( f(x)) = 5 3 [ pontos] Determine as primeiras três derivadas da função m = h + f g Escreva a equação da recta tangente da função segunda derivada de m no ponto de abcissa 4 [ pontos] Represente e determine a área definida pelas seguintes condições: y h(x) y f(x) x x + Essa área é maior que 6/9 ( 3 dx? Justifique x) GRUPO V (4 PONTOS) Escolha uma das opções (A,B,C,D) Cada resposta correcta vale 8 pontos, cada resposta incorrecta desconta 3 pontos, sem resposta não desconta Este grupo pode ter cotação negativa Não é necessária qualquer justificação Só se terá em consideração a opção apresentada Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA? (A) Sendo A e B matrizes de ordem n, tem-se que A + B = A B = (B) Se A é uma matriz invertível, então adj ( A ) T = (adj(a)) T (C) Se A é uma matriz invertível, então ( A ) T ( ( )) = adj A T T A (D) A inversa da soma de matrizes é a soma das matrizes inversas, quando as operações estão definidas Sejam A e B duas matrizes quaisquer e O uma matriz nula Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA? (A) Se o produto AA existe, então A é uma matriz quadrada (B) Se AB = O, então BA = O (C) Se A e B têm a mesma dimensão, então AB tem inversa (D) A A T é simétrica 3 Considere as seguintes afirmações: I Se uma função f é diferenciável em R, então e f é contínua em R II Uma função par nunca é injectiva III Uma função ímpar tem contradomínio R A lista completa das afirmações correctas é: (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) Nenhuma das afirmações 4 Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA: ( x ) ( ) x (A) x =, x R (B) =, x R (C) =, x R (D) x x 5 Seja f(x) = ln(x x ) Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA: (A) f (e) = (B) f (e) = (C) f (e) = (D) f (e) = e ( ) x + =, x > x +

3 Considere A = Faculdade de Ciências Económicas e Empresariais UCP MATEMÁTICA I Exame - versão A - Tópicos de resolução Duração: 8 minutos GRUPO I (6 PONTOS) α 4 β 5β 4 3, b = β e I a matriz identidade de ordem 3 [ pontos] Para α = β =, determine os valores e vectores próprios da matriz A Quais são os valores e vectores próprios da matriz A? [ pontos] Para α = e β =, resolva a equação matricial (A + I) T X = bb T + I b, usando a matriz adjunta 3 [ pontos] Discuta o sistema AX = b em função dos parâmetros α e β A = A λi = ( λ)(λ + λ 8) = λ = λ = 4 Valores próprios de A: -4 e 5x + y + 4z = x = 4z 5 [A + 4I]X = 6y = y = 5 x + y + z = = 4 Vector próprio associado ao valor próprio 4: ( 4z,, z) = z ( 4,, ), z R 5 5 x + y + 4z = x = 4z [A I]X = = y = 5 x + y 5z = = 4 Vector próprio associado ao valor próprio : (4z,, z) = z (4,, ), z R Valores próprios de A : 4 e Vectores próprios de A : z (4,, ), z R associado ao valor próprio ( 4 5 z,, z) = z ( 4 5,, ), z R associado ao valor próprio 4 A = 4 3 [(A + I) T ] =, b = (A + I) T = = / 9/5 3/ /5 / 6 3 8

4 bb T + I b = 6 = 6 (A + I) T X = bb T + I b X = [(A + I) T ] bb T + I b X = 3 α 4 β β 5β 4 3 L L 3 C C 3 4 α 5β + 3α β β Conclusão: SPD: β α 5 3 β SPI: β =, α R SI: α = 5 3 β β 4 α β β 3L +4L 3 L 3 5β α C C 3 5β + 3α β β 3 36/5 8/5 4 α β β 5β + 3α GRUPO II (3 PONTOS) [5 pontos] Determine a expressão simplificada do determinante da matriz C 3 3 n n n n n 3n n 4n C n n = n 5n n 6n n n + n n + 3n 3 3n + 3 n + n n n n n 3n 3n n e indique o sinal deste determinante para qualquer n C n n = 3 3 n n n n n 3n n 4n n 5n n 6n n n + n n + 3n 3 3n + 3 n + n n n n n 3n 3n n =

5 = 3 3 n n n + n n O determinante é positivo quando n =,, 5, 6, 9,, O determinante é negativo quando n = 3, 4, 7, 8,,, = ( 6) 8 ( 5) 8 ( n +n) n [5 pontos] Seja a matriz A n n tal que (I A) existe e A = na Prove que: a) A e I A são permutáveis b) A e (I A) são permutáveis c) (I A) = I n A a) A(I A) = AI AA = IA AA = (I A)A b) A(I A) = (I A) (I A)A(I A) = (I A) A(I A)(I A) = (I A) A c) Vamos mostrar que a inversa de I A é dada por I n A Para isso temos de mostrar que (I A)(I A) = I = (I A) (I A) (I A)(I A) = (I A)(I n A) = I n A A + n A = I n A A + n na = I A outra igualdade é agora óbvia

6 Determine: [ pontos] P x3 + xarctg(x ) + x 4 [ pontos] f () se f(x) = (x x + ) 3 [ pontos] lim x e x sen(x) x x x + x ln( x) GRUPO III (3 PONTOS) x +4x (x) + e t dt P x3 + xarctg(x ) + x 4 = P x3 + x 4 + P xarctg(x ) + x 4 = 4 P 4x3 + x 4 + P x + (x ) arctg(x ) = = 4 ln( + x4 ) + 4 arctg (x ) + C, C R f (x) = (x ) f () = 3 lim x 5 5 x +4x (x) + e t dt + (x x + ) [(x + 4)e (x +4x) 8xe ((x) +) ] e t dt + [6 e 5 8 e 5 ] = e 5 = e 5 e x sen(x) x x x + x ln( x) = lim RC x = lim e x cos(x) e x sen(x) RC x = 3 ( x) ( x) 3 e x sen(x) + e x cos(x) x x + ln( x) x x = lim RC x e x cos(x) = RC x ( x)

7 GRUPO IV (4 PONTOS) Considere as funções reais de variável real f(x) = x +, g(x) = ln(x + ) e h(x) = e x [ pontos] Determine o domínio da função n = (g h)/f [ pontos] Prove, pela definição, que lim x ( f(x)) = 5 3 [ pontos] Determine as primeiras três derivadas da função m = h + f g Escreva a equação da recta tangente da função segunda derivada de m no ponto de abcissa 4 [ pontos] Represente e determine a área definida pelas seguintes condições: Essa área é maior que n(x) = ln(ex + ) x + + 6/9 y h(x) y f(x) x x ( 3 dx? Justifique x) D n = {x R : e x + > x + } = {x R : x } = R\ { Seja δ > dado Temos de descobrir ɛ tal que se x < ɛ, então f(x) ( 5) < δ, ie, x + 5 < δ, ie, x + 4 < δ, ie, x < δ, ie, x < δ/ Escolha-se, então ɛ = δ/ 3 m(x) = h(x) + f(x) g(x) = e x + (x + ) ln(x + ) m (x) = e x + ln(x + ) + x + x + m (x) = e x + x + + m (x) = e x (x + ) (x + ) (x + ) 3 x =, y = m () = 4, Declive = m () = 3 Equação da recta tangente: y = 3x + 4 } 4 ½ A = + 6/9 ( e x ) x + 3 dx = lim ( x) b + [ dx = e x ] ln x + = e ln 3 b 6/9 [ ( = lim x 3)dx ] b = 3 b + x 6/9 e ln 3 < e ln e = e 3 < 3 < 3 Logo não é maior

8 GRUPO V (4 PONTOS) Escolha uma das opções (A,B,C,D) Cada resposta correcta vale 8 pontos, cada resposta incorrecta desconta 3 pontos, sem resposta não desconta Este grupo pode ter cotação negativa Não é necessária qualquer justificação Só se terá em consideração a opção apresentada Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA? (A) Sendo A e B matrizes de ordem n, tem-se que A + B = A B = (B) Se A é uma matriz invertível, então adj(a T ) = (adj(a)) T (C) Se A é uma matriz invertível, então (A T ) = A (adj(at )) T (D A inversa da soma de matrizes é a soma das matrizes inversas, quando as operações estão definidas Solução: B Sejam A e B duas matrizes quaisquer e O uma matriz nula Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA? (A) Se o produto AA existe, então A é uma matriz quadrada (B) Se AB = O, então BA = O (C) Se A e B têm a mesma dimensão, então AB tem inversa (D A A T é simétrica Solução: A 3 Considere as seguintes afirmações: I Se uma função f é diferenciável em R, então e f é contínua em R II Uma função par nunca é injectiva III Uma função ímpar tem contradomínio R A lista completa das afirmações correctas é: (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) Todas as afirmações Solução: A 4 Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA: ( x ) ( ) x (A) x =, x R (B) =, x R (C) =, x R (D) x x Solução: D ( ) x + =, x > x + 5 Seja f(x) = ln(x x ) Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA: (A) f (e) = (B) f (e) = (C) f (e) = (D) f (e) = e Solução: C

9 Católica Lisbon School of Business and Economics UCP MATEMÁTICA I Exame - versão A Duração: 8 minutos Durante a prova não serão prestados quaisquer tipo de esclarecimentos Qualquer dúvida ou questão relativa ao enunciado deverá ser escrita na folha de prova para que possa ser tomada em consideração na correcção Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar Justifique as respostas Simplifique o resultado final o máximo possível Não é possível desistir após o início desta prova Escreva a versão em cada folha de respostas Separe em grupos de folhas diferentes as resoluções do grupo I das resoluções dos grupos II e III das resoluções dos grupos IV e V GRUPO I (5 PONTOS) Considere o sistema de equações a três incógnitas x, y e z ax + by + az = x by + z = b em que a, b R x + by + az = [ pontos] Para a = b =, determine os valores e vectores próprios da matriz dos coeficientes do sistema, A Quais são os valores e vectores próprios da matriz A 5 A 3? [ pontos] Discuta o sistema em função de a e b 3 [ pontos] Para a = e b =, resolva o sistema usando a regra de Cramer GRUPO II (5 PONTOS) [5 pontos] Sendo a, b R, determine a expressão simplificada do determinante da matriz quadrada a + b a a a a + b a C n n = a a a + b e indique, se possível, o sinal deste determinante para qualquer n [ pontos] Seja X m n uma matriz que verifica X T X e Q = I m X(X T X) X T Mostre que a matriz Q é simétrica e idempotente Determine: [ pontos] P x 5 ln 3x [ pontos] (f g) () se f(x) = 3 [ pontos] lim x xsen(x) sen(πx ) GRUPO III (3 PONTOS) (x+) x +x+ arctg(x) (t + t + )dt e g(x) = x ln(t + e)dt

10 GRUPO IV (55 PONTOS) Considere a função real de variável real definida por: [ sen(αx ) ] e x se x > w(x) = β x γx se 3 < x x 3 + x + 9x 8 se x 3 x ln( x ) + 9 ln( x) [5 pontos] Determine o domínio e os zeros da função w com α >, β, γ R [5 pontos] Determine em que pontos é que w(x) é uma função contínua 3 Considere α =, β = 3, γ = a) [ pontos] Determine o limite da função h(x) = w(x) x no ponto de abcissa e prove, usando a definição, que de facto este é o limite b) [5 pontos] Determine, pela definição, a derivada da função w no ponto de abcissa Determine a equação da recta normal de w no ponto de abcissa GRUPO V (4 PONTOS) Escolha uma das opções (A,B,C,D) Cada resposta correcta vale 8 pontos, cada resposta incorrecta desconta 3 pontos, sem resposta não desconta Este grupo pode ter cotação negativa Não é necessária qualquer justificação Só se terá em consideração a opção apresentada Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA? (A) Se A e B são duas matrizes de ordem n permutáveis, então (AB) = A B (B) Se A = B T, então A e B são permutáveis (C) Se A e B são duas matrizes singulares de ordem n, então AB tem valor próprio zero (D) Se A + B é uma matriz de ordem n com valor próprio zero, então A ou B é singular Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA? (A) Uma matriz idempotente tem sempre inversa (B) Uma matriz pode ser igual à sua inversa (C) Uma matriz simétrica nunca pode ser anti-simétrica (D) Uma matriz inversa nunca pode ser igual à matriz adjunta 3 Qual das seguintes funções é simultaneamente ímpar e injectiva? (A) f(x) = x arctg(x) (B) f(x) = + ln(x ) (C) f(x) = cos(x) (D) f(x) = x + x 4 Qual das seguintes afirmações é FALSA: ( ) x (A) (x x ) x = x, x R (B) = + x ( + x ), x R ( ) x ( ) (C) =, x R (D) x =, x > x 5 Seja g(x) = f( x) Qual das seguintes afirmações é sempre VERDADEIRA: (A) g é crescente se f é crescente (B) g é decrescente se f é crescente (C) g é convexa se f é côncava (D) g é crescente se f é convexa

11 Católica Lisbon School of Business and Economics UCP MATEMÁTICA I Exame - versão A - Tópicos de resolução Duração: 8 minutos GRUPO I (5 PONTOS) Considere o sistema de equações a três incógnitas x, y e z ax + by + az = x by + z = b em que a, b R x + by + az = [ pontos] Para a = b =, determine os valores e vectores próprios da matriz dos coeficientes do sistema, A Quais são os valores e vectores próprios da matriz A 5 A 3? [ pontos] Discuta o sistema em função de a e b 3 [ pontos] Para a = e b =, resolva o sistema usando a regra de Cramer Resolução: A = A λi = λ(λ )(λ + ) = λ = λ = λ = Valores próprios de A: -, e x + y + z = [A + I]X = x + z = x + y + z = = z = x y = 3x Vector próprio associado ao valor próprio : (x, 3x, x) = x (, 3, ), x R\{} x + y + z = x = y [A]X = x y + z = z = x + y + z = = Vector próprio associado ao valor próprio : ( y, y, ) = y (,, ), y R\{} x + y + z = y = [A I]X = x 3y + z = z = x x + y z = = Vector próprio associado ao valor próprio : (x,, x) = x (,, ), x R\{} Valores próprios de A 5 A 3 :, e 5 4 Vectores próprios de A 5 A 3 : x (, 3, ), x R\{} associado ao valor próprio y (,, ), y R\{} associado ao valor próprio x (,, ), x R\{} associado ao valor próprio 5 4

12 a b a b b b a L L b b a b a b a Conclusão: SPD: a a b SPI: (a = b = ) (a = b R) SI: (a = b ) (a b = ) al +L L L +L 3 L 3 b b b( a) a + ab a + + b 3 Com estes valores de parâmetros, o sistema é SPD x y + z = x + y + z = x y + z = A = x = 3 =, y = = (4 + ) ( + ) = 3 3 =, z = 3 = SPD: (x, y, z) = (,, ) GRUPO II (5 PONTOS) [5 pontos] Sendo a, b R, determine a expressão simplificada do determinante da matriz quadrada a + b a a a a + b a C n n = a a a + b e indique, se possível, o sinal deste determinante para qualquer n Resolução: a + b a a a a + b a C n n = a a a + b a a a + b a = (na + b) a a + b na + b a a na + b a + b a = = na + b a a + b a a b = (na + b) = (na + b)b n b Como b <, b n vai ser positivo se n é ímpar e negativo se n é par Sabe-se que a <, b <, n >, logo, na + b < Assim, o determinante vai ser negativo se n é ímpar e positivo se n par

13 [ pontos] Seja X m n uma matriz que verifica X T X e Q = I m X(X T X) X T Mostre que a matriz Q é simétrica e idempotente Resolução: Q T = (I m X(X T X) X T ) T = I T m (X T ) T ((X T X) ) T X T = I m X(X T X) X T = Q Logo Q é simétrica Q = (I m X(X T X) X T )(I m X(X T X) X T ) = = I m X(X T X) X T X(X T X) X T + X(X T X) X T X(X T X) X T = = I m X(X T X) X T X(X T X) X T + X(X T X) X T = = I m X(X T X) X T = Q Logo Q é idempotente Determine: [ pontos] P Resolução: x 5 ln 3x GRUPO III (3 PONTOS) P x 5 ln 3x = 5ln(3x) + C, C R 5 [ pontos] (f g) () se f(x) = Resolução: (f g) (x) = f (g(x))g (x) g(x) = x ln(t + e)dt, logo g() = (x+) x +x+ arctg(x) (t + t + )dt e g(x) = x ln(t + e)dt g (x) = ln(x + e), logo g () = ln(e) = [ ] [ f (x) = (x + ) x +4x+ + (x + ) x +x+ + (x + ) +x+] x [arctg (x) + arctg(x) + ] +x em que [ (x + ) x +x+] = (x + )(x + ) x +x+ ln x + + (x + x + )(x + ) x +x (f g) () = (f) (g())g () = f () = 3 =

14 3 [ pontos] lim x xsen(x) sen(πx ) Resolução: xsen(x) lim x sen(πx ) = lim x xsen(x) sen(πx ) = π lim x sen(x) x πx sen(πx ) = π = π GRUPO IV (55 PONTOS) Considere a função real de variável real definida por: [ sen(αx ) ] e x se x > w(x) = β x γx se 3 < x x 3 + x + 9x 8 se x 3 x ln( x ) + 9 ln( x) [5 pontos] Determine o domínio e os zeros da função w Resolução: com α >, β, γ R D = R\{ 3} kπ Zeros: x = α, k Z+ Note que o segundo e o terceiro ramos produzem outros zeros que não pertencem ao domínio do ramo [5 pontos] Determine em que pontos que w(x) é uma função contínua Resolução: Dentro de cada um dos ramos, a função é continua (justifique!) Vamos avaliar a continuidade no ponto de abcissa (-3 não pertence ao domínio!) Para isso e neste caso, basta que os limites laterais sejam iguais [ lim w(x) = lim x + sen(αx ) ] ex = (usando truque usual de e ln ) x + lim w(x) = lim β x γx = x x Como os limites laterais são diferentes, então a função não é contínua em x = A função é contínua em R\{ 3, } para quaisquer α >, β, γ R

15 3 Considere α =, β = 3, γ = a) [ pontos] Determine o limite da função h(x) = w(x) x no ponto de abcissa e prove, usando a definição, que de facto este é o limite Resolução: h(x) = w(x) x = 3 x lim h(x) = 3 x Seja δ > dado Temos de descobrir ɛ tal que se x + < ɛ, então h(x) 3 < δ, ie, 3 x 3 < δ, ie, 3 x < δ Preciso de arranjar o termo x + o qual nada tenho parecido Assim vou multiplicar e dividir pelo conjugado de x 3 x < δ e logo 3 ( x ) ( x+) ( x x+) < δ, ie, 3 ( x+) < δ, ie, 3 x + < δ x+ Agora vamos substituir o termo x + com uma constante apropriada e vamos manter o termo x+, que este é o termo que inicialmente temos no ɛ Vamos assumir que ɛ Esta é uma hipótese válida, visto que assim que encontramos um ɛ que funcione, todos os valores abaixo de ɛ irão funcionar Assim x + < ɛ implica que < x + <, ie, < x <, ie, < x + < + e logo + < < x+ Assim, 3 x + x+ < δ, ie, 3 x + < δ, ie, x + < δ 3 Escolha-se, então ɛ = min (, δ 3) b) [5 pontos] Determine, pela definição, a derivada da função w no ponto de abcissa Determine a equação da recta normal de w no ponto de abcissa Resolução: w(x) = 3 x + x w( ) = w w( + h) w( ) 3 h + ( + h) ( ) = lim = lim h h h h [ ] [ ] h = lim 3 + = lim 3 + = h h h h + A recta normal é dada por y = (x + ) y = x 3 h 3 + h = lim h h

16 GRUPO V (4 PONTOS) Escolha uma das opções (A,B,C,D) Cada resposta correcta vale 8 pontos, cada resposta incorrecta desconta 3 pontos, sem resposta não desconta Este grupo pode ter cotação negativa Não é necessária qualquer justificação Só se terá em consideração a opção apresentada Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA? (A) Se A e B são duas matrizes de ordem n permutáveis, então (AB) = A B (B) Se A = B T, então A e B são permutáveis (C) Se A e B são duas matrizes singulares de ordem n, então AB tem valor próprio zero (D) Se A + B é uma matriz de ordem n com valor próprio zero, então A ou B é singular Solução: C Qual das seguintes afirmações é VERDADEIRA? (A) Uma matriz idempotente tem sempre inversa (B) Uma matriz pode ser igual à sua inversa (C) Uma matriz simétrica nunca pode ser anti-simétrica (D) Uma matriz inversa nunca pode ser igual à matriz adjunta Solução: B 3 Qual das seguintes funções é simultaneamente ímpar e injectiva? (A) f(x) = x arctg(x) (B) f(x) = + ln(x ) (C) f(x) = cos(x) (D) f(x) = x + x Solução: A 4 Qual das seguintes afirmações é FALSA: ( ) x (A) (x x ) = x, x R (B) = + x ( ) x =, x > x, x R (C) ( + x ) ( x x ) =, x R (D) Solução: C 5 Seja g(x) = f( x) Qual das seguintes afirmações é sempre VERDADEIRA: (A) g é crescente se f é crescente (B) g é decrescente se f é crescente (C) g é convexa se f é côncava (D) g é crescente se f é convexa Solução: B

17 Matemática I Exame de Junho de O teste tem a duração de h3m Deve resolver os grupos em folhas separadas Grupo I Calcule o determinante e escreva o resultado simplificado sob a forma de um produto de fatores: a b a b ab b ab b a b a b ab a ab b () Sem calcular os determinantes, prove que: a a a a b b b 3 4 ba ba ba 8a a a a 4 4 a a a a a a () 3 Calcule o determinante: Dn x x x x x x y y y y x y y y y x y y y y x y y y y x y y y y () T T T 4 Considere a equação matricial: AXC C A C CA e que T C I B e B Calcule X, em que A e C são matrizes regulares (5) 5 Duas matrizes A e B dizem-se equivalentes, se existe uma matriz P tal que B P AP Mostre que duas matrizes equivalentes têm os mesmos valores próprios (,5)

18 k 6 Mostre que se é valor próprio de A, então é valor próprio de k A, k (5) Grupo II 7 Discuta o sistema face aos valores de a, br x y z b x ( a ) y (3 b) z x ( a ) y 4z b ax (a 3b 3) z 3b (5) 8 Calcule e simplifique: a P sen x 3senx cos x () b P 3 x 3 x () c Pe 3 ln x3x (5) 9 Determine a área do domínio plano indicado a tracejado na figura seguinte: (,5) y y=arcsen(x) x,5

19 Tópicos de Resolução Grupo I Calcule o determinante: a b a b ab b a b a b a b a b a b b ab b a b a b a b b a b a b a b a b ab a ab b b a a a b b a b b a b b a b a b a b b a b a b a b a a b a a b L L L b a a b C C C 3 a b b a b a b a b a a a b a b a a b a b b a a b ab a b C C ac b a b a a b a b b a Sem calcular os determinantes, prove que: a a a3 a4 a a3 a4 a a4 a3 a4 ba ba ba 8a b ba ba 8a b ba ba b ba a a4 a a4 a4 a a 4 a a4 a4 a 4 a3 a4 a3 a4 a3 a4 a3 a4 8a b ba 8a b ba 8a b ba 8ab a a4 a 4 a4 a4 a4 a4 a4 a4 b a a b b b b b b b b b 3 4 8a b a 8a a a 8a a a a 8a a a a b a a T a a a L L a a C C a a

20 3 Calcule o determinante: Dn x x x x x x x x x x x y y y y x y y y y x y y y y L L y y 3 x y y y y L L y y 4 x y y y y L L y y n x y y y y Ln L y y x x x x x nx x x x x y y y y y y x x x nx ( y ) n y y y y y y C C C C C n( ) x y n n 3 n T T T 4 Considere a equação matricial: AXC C A C CA regulares e que T C I B e B Calcule X, sabendo que A e C são matrizes T T T T T AXC C A C CA AXC C AC AC AXC C I AC AXC C BAC C A AX A BA X A BA Então : A X A BA X B A X B 5 Duas matrizes A e B dizem-se equivalentes, se existe uma matriz P tal que B P AP Mostre que duas matrizes equivalentes têm os mesmos valores próprios B I P AP I P AP P P P A I P A I P A I P Como a equação caraterística é igual, pois B I A I, então os valores próprios também são iguais

21 k 6 Mostre que se é valor próprio de A, então é valor próprio de k A, k Se é valor próprio de A, então: n A I X AX X AX X, X, X Multiplicando ambos os membros por A, fica: AAX A X A X AX A X X A X X Generalizando: A X A X A X A X A X X A X X cqd k k k k k k k k Grupo II 7 Discuta o sistema face aos valores de a, br x y z b x y z b x ( a ) y (3 b) z x ( a ) y (3 b) z x ( a ) y 4z b x ( a ) y 4z b ax (a 3b 3) z 3b ax (a 3b 3) z 3b b b 3 L L a b a b b a 4 b L L a L L a a 3b 3 3b L al a 3b 3 3b a ab L L b b a b b a b b b b b b b b a ab L L ab a L 3L b a b b SI : a b a b b b ab ( ) Se a : b b b b b b SPI : b b b SI : b

22 Se b : a SI : a Se a b : SI Conclusão Se: b S I b a S I b a S P I 8 Calcule e simplifique: a sen x 3 senx cos x 3 senx cos x senx P P P P 3P cos x cos x cos x cos x cos x 3 P(sec x) P() 3P senx cos x tgx x C 3sec x tgx x C cos x b 3 3 x 3 3 P P3x x 5 x 3 C x 3 c 3 3x ln x3x ln x 3x ln x 3x 3x e Pe Pe Pe e P 9 x e C 9 9

23 9 Determine a área do domínio plano indicado a tracejado na figura seguinte: y=arcsen(x) seny y arcsen( x) seny x x Para : x y arcsen() cos cos cos 4 A seny dy y y

24 Soluções do Exame de Matemática I 6 de janeiro de 3 ( val) Grupo I a 3a + a a Considere as matrizes A = 4 b e B = e discuta o SEL AX = B a + a a b em função dos parâmetros reais a e b Solução: Aplicando o MEG, podemos concluir que o SEL dado é equivalente ao SEL com matriz ampliada: a + a b a b Desta forma, Se a b, o SEL é impossível; Se a = b {, }, o SEL é possível e indeterminado, com grau de indeterminação ; Se a = b R\{, }, o SEL é possível e determinado (,5 val) Determine a expressão geral das matrizes quadradas invertíveis e que são solução da equação: A AA T = [ ] a b Solução: A = será solução da equação A AA T = se, e somente se, as entradas c d de A forem solução do sistema: bc b = ab ac = b = b = c cd bd = c = cb c =

25 [ ] a b e exigindo ainda a invertibilidade a A, concluímos que A tem de ser da forma com b d a, b, d R tais que ad b (,5 val) 3 Determine a expressão simplicada do determinante de ordem n + : (n )a a a a (n )a a a (n )a a a (n )a a a Solução: (n )a a a a (n )a a a (n )a a a C n+ i= Ci (n )a a a a a a a a a a a a a a a a L i L, i=,,n+ a a a a a a = ( a) n+ a 4 Sejam E e S matrizes quadradas de ordem 3 tais que S ES = D, onde D =, 3 e considere F = E + E + 5E I ( val) (i) Mostre que as matrizes E e D admitem a mesma equação caracteristica S ES λi = S (E λi)s = S (E λi) S = E λi = ( val) 3 (ii) Determine F no caso em que S = 5 8 Solução: 6 6 F = S(D +D +5D I)S = S ( val) ( ) x Calcule lim x + cos x x ( ) x Solução: lim x + cos x x ( ) sin x lim x + 3 cos x x sin x = ( = lim x + Grupo II ) x + cos x x( cos x) = RC ( lim x + x sin x cos x+x sin x ) = RC ( lim x + x cos x sin x x cos x ) = RC

26 ( val) Sejam α e β funções diferenciáveis em R tais que α () = e α()β () e considere a função φ denida por φ(x) = α(x)β(x) Mostre que a recta tangente ao gráco de φ no ponto (, φ()) e a recta tangente ao gráco de β no ponto (, β()) se intersectam sobre o eixo dos xx Solução: Como α () =, a recta tangente ao gráco de φ no ponto (, φ()) tem equação y = α()(β ()x + β()) e a recta tangente ao gráco de β no ponto (, β()) tem equação y = β ()x + β() Como α() e β () é fácil e concluir que as duas rectas se intersectam sobre o eixo dos xx, no ponto ( β() β (), ) Grupo III Calcule: ( val) (i) P x 4x 4x ; Solução: ( ) x P = 4x 4x P x + = (x ) (x ) 4 (arcsin(x ) (x ) ) ( val) (ii) P e x ( e 3x +3e x +3e x + + tan (e x ) cos (e x ) ) ; ( val) Solução: ( P e x e 3x + 3e x + 3e x + + tan (e x ) ) e x cos (e x = P ) (e x + ) 3 +P e x cos (e x ) = tan(ex ) (e x + ) (iii) π arccos( 4 ) sin x cos x cos x dx Solução: π arccos( 4 ) sin x cos x cos x dx = lim [ x a 3 ( cos x)3 ] a arccos( 4 ) = 3 Considere a função denida por g(x) = ln( +sin x ( val) h(t)dt, para cada x ] π, π [ Sabendo que h é uma função positiva em R, mostre que g é invertível e calcule (g ) (), a derivada cos x ) da sua função inversa na origem Solução: Pela regra de Leibniz, g (x) = (sec x)h(ln ( ) +sin x cos x ) vindo, por hipótese, que g (x) >, para todo o x ] π, π [, e logo g(x) é estritamente crescente Em particular, g será injectiva e, portanto, invertível, e a sua derivada na origem pode ser calculada através do Teorema da derivada da função inversa: (g ) () = g () = h(), dado que g() = Fim 3