Cálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2016/17 - LEAN, MEMat, MEQ FICHA 11 - SOLUÇÕES

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem 06/7 - LEAN, MEMat, MEQ FICHA - SOLUÇÕES Teorema Fundamental do Cálculo Regra de Barrow Integração por partes e substituição a 5 = f5/; b = f; c / = f/ Começe por aplicar o Teorema de Weierstrass a f em [a, b] para garantir a existência de m = min f[a, b] e M = máx f[a, b] Obtenha as desigualdades m b a fxgxdx b a gxdx M, e aplique o Teorema do Valor Intermédio Teorema de Bolzano para obter o resultado pedido a, b c e 4x e x d xe x4 e x e 4x senx x sen x, f x cos t dt + x cos x 4 Verifique que está nas condições de aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo, aplique-o para obter ψ e verifique que pode voltar a usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter ψ 5 Como f é diferenciável, e portanto contínua, podemos derivar ambos os membros usando o Teorema Fundamental do Cálculo para concluir que f x = 0, para x 0, ou seja, que f é constante em ]0, + [ e em ], 0[ Da continuidade de f em R conclui-se então o resultado 6 Use o Teorema Fundamental do Cálculo em conjunto com a regra de derivação da função composta para obter ψ x = 0, para x ]0, π/[ 7 Use a regra de Cauchy e o Teorema Fundamental do Cálculo: a, b sen, c 4 π 4 8 Em R\{0}: F é o produto de duas funções diferenciáveis justifique! e, logo, contínuas Em 0, usando a regra de Cauchy e o Teorema Fundamental do Cálculo, prove que F é contínua Mostre, igualmente recorrendo à regra de Cauchy e ao Teorema Fundamental do Cálculo, que F é diferenciável em 0 se e só se f é diferenciável em 0, caso em que, F 0 = f 0 9 Da continuidade de u e v, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar os integrais indefinidos e provar que u = v

2 0 a D f = R ; f é estritamente crescente em [0, + [ e estritamente decrescente em ], 0] note que f é par ; tendo um mínimo em 0 b D g =], + [ ; g é estritamente crescente em ], + [, pelo que não tem extremos c D h = R ; h é estritamente crescente em ], + [ e estritamente decrescente em ], [, tendo um mínimo em a Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de derivação da função composta para obter g e g e com base no estudo do sinal destas funções obtenha que: g é crescente em ], [, decrescente em ], + [, tendo máximo em, e a concavidade do gráfico de g está virada para baixo b É majorada: x R, gx g Obtenha lim x + gx lim x + f0x 4x + =, o que lhe permite concluir que g não é minorada a ln ; b ln; c 0; d 0; e ; f /; g / e; h π /4 = π / Todos com integração ou primitivação por partes: a ln + π sh/ c ; d ln + π 4 ; b ; e 4 Uma vez que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, F x = e x, aplicando o método de integração por partes a F xdx obtem o resultado desejado 0 5 a [arctgt] = π [ ] ; b ln t t + = ln + ln = + ln ; c [ t + arcsen t ] = + π [ ] 0 6 ; d ln t t + = ln ln ; e / [ ln t + ln + t + arctg t ] 0 = π + log 4; 8 f [8 ln t 4 ln + t ] / = 8 ln / 8 ln/ 4 ln7/4+4 ln5/4 = 4 ln5/7 6 a Fazendo a substituição x = t x = t, com x > 0 e t > 0, temos verifique 5 x + 5t = x++arctg x ln x+ x + t + t + b x = arctg x x

3 c Fazendo a substituição + x = t x = t, com x > e t > 0, temos verifique x = + x + x t + x + d Fazendo a substituição x = t 6 t = 6 x, para x > 0, t > 0, temos 6t 5 6t = = = x + x t + t t + t t + t + Logo, = x + x x x + 6 x ln 6 x + e Fazendo a substituição 4 + x = t x = t 4, com x > e t > 0, temos 4t 4t x 4 = + x t 4 t 4t = = t 4 t t + t + f e assim verifique, x 4 + x 4 + x 4 + x + + arctg 4 + x e x/ e x, = arcsen e x pode fazer também t = e x/ - mais simples e x g = e x + e x 4 ln e x e x + + e x h Fazendo a substituição t = + e x x t, para x R, t >, temos t = = + e x t t t t + e assim verifique + ex + e x + ex + i Fazendo a substituição ln x = t x = e t, para x R + \ {e, e }, t ±, temos x4 ln = x e t 4 t et = t + t e assim verifique x4 ln = x 4 ln + ln x ln x

4 j Fazendo a substituição ln x = t x = e t, para x R + \ {, e}, t R \ {0, }, temos = ln x x ln x ln x t t ln x k Fazendo a substituição = t x = arcsen t, para x ] π, π [, x 0, obtém-se verifique = = sen x sen x sen x t t Logo verifique = sen x + ln + l Fazendo como na alínea anterior verifique sec x = = = sen x t ln + sec x + tg x m sec x = 4 ln = ln + + cos x = ln sec x + tg x + sec x tg x n = + cos x + sen x + o Temos = = sen x + cos x + cos x + Fazendo a substituição t = x = arccos t, com x ]0, π[, temos = cos x + t t + e assim verifique sen x + 4

5 senx p + cos x = senx = arctg + cos x q Fazendo a substituição t = x = arcsen t, com x ] π, π [, temos = = + e assim = 4 ln t t r Como na alínea anterior, fazendo a substituição t = x = arccos t, com x ]0, π[, temos = = + + t + t e obtém-se verifique = + 4 ln ch x s = ch x + sh = arctgsh x usando ch x sh = x t = = + tg x + t + t 5 + t + t + = ln + tg x + t 5 0 ln + tg x + 5 x u Fazendo a substituição x = sen t t = arc, com t ] π, π [, temos x = cos t = cos t + = 4 sent + t = sent cost + t ou por partes Logo, notando que cosarc = x, temos x = x x + arc v Fazendo a substituição x = cos t t = arc, com t ]0, π[, t π/, temos x = sen t = tg t = x 4 cos 4 t cos t tg t Logo, notando que se t = arc então de + tg t = vem tg t = = cos t cos t temos x x = / x 4 x 5

6 w x = cos t = com x = sec t x x x = arcsen x x x y Fazendo x = tg t, temos = sec t x + x + da alínea l x + xx z Fazendo x = sec t, temos = sec x t = x + x ln x + x da alínea m 7 b tg x ln + tg x, + + = tgx/ x 6