EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS - Lista I

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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS - Lista I 1. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Determine o comportamento de y quando t +. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em t = 0, descreva essa dependência. a) y = y R.: y quando t + b) y = y R.: y se afasta de quando t + c) y = + y R.: y se afasta de quando t + d) y = 1 y R.: y 1 quando t + e) y = 1 + y R.: y se afasta de 1 quando t + f) y = y + R.: y se afasta de quando t + g) y = + t y R.: y é assintótico a (t ) quando t + h) y = te t y R.: y 0 quando t + i) y = e t + y R.: y +, 0 ou, dependendo do valor inicial de y j) y = t + y R.: y + ou, dependendo do valor inicial de y k) y = sent y R.: y + ou ou y oscila, dependendo do valor inicial de y l) y = t 1 y R.: y ou é assintótico a t 1, dependendo do valor inicial de y.. Resolva cada um dos problemas de valor inicial e desenhe os grácos das soluções para diversos valores de y 0. a) y = y + 5, y(0) = y 0 R.: y = 5 + (y 0 5)e t b) y = y + 5, y(0) = y 0 R.: y = 5 + (y 0 5 )e t c) y = y + 10, y(0) = y 0 R.: y = 5 + (y 0 5)e t d) y = y 5, y(0) = y 0 R.: y = 5 + (y 0 5)e t e) y = y 5, y(0) = y 0 R.: y = 5 + (y 0 5 )et f) y = y 10, y(0) = y 0 R.: y = 5 + (y 0 5)e t. Considere a equação diferencial y = ay + b onde a e b são números positivos. a) Resolva a equação diferencial b) Esboce a solução para diversas condições iniciais diferentes c) Descreva como a solução muda sob cada uma das condições: (i) a aumenta; (ii) b aumenta; (iii) a e b aumentam, mas a razão b permanece constante. a R.: a) y = ce at + b ; c) (i) o equilíbrio é mais baixo e é aproximado mais rapidamente, (ii) o a equilíbrio é mais alto, (iii) o equilíbrio permanece o mesmo e é aproximado mais rapidamente. 1

2 4. Determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não-linear (derivadas parciais são denotadas por índices). a) t d y dt + t dy dt b) (1 + y ) d y dt c) d4 y dt 4 + d y dt + y = sent + t dy dt + y = et + d y dt d) dy dt + ty = 0 + dy dt + y = 1 R.: Segunda ordem, linear R.: Segunda ordem, não linear R.: Quarta ordem, linear R.: Primeira ordem, não linear e) d y + sen(t + y) = sent R.: Segunda ordem, não linear dt f) d y + t dy + dt dt (cos t)y = t R.: Terceira ordem, linear g) u xx + u yy + u zz = 0 R.: Segunda ordem, linear h) u xx + u yy + uu x + uu y + u = 0 R.:Segunda ordem, não linear i) u xxxx + u xxyy + u yyyy = 0 R.: Quarta ordem, linear j) u t + uu x = 1 + u xx R.: Segunda ordem, não linear 5. Verique que a função (ou funções) dada(s) é (são) solução (soluções) da equação diferencial. a) y y = 0; y(t) = e t b) y + y y = 0; y 1 (t) = e t, y (t) = e t c) ty y = t ; y(t) = t + t d) y + 4y + y = t; y 1 (t) = t, y (t) = e t + t e) t y + ty y = 0, t > 0; y 1 (t) = t 1, y (t) = t 1 f) t y + 5ty + 4y = 0, t > 0; y 1 (t) = t, y (t) = t ln t g) y + y = sect, 0 < t < π ; y(t) = (cos t) ln cos t + tsent h) u xx + u yy = 0; u(x, y) = ln(x + y ) i) α u xx = u t ; u(x, t) = e α t senx j) a u xx = u tt ; u(x, t) = sen(x at) 6. Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e use-as para determinar o comportamento das soluções quando t +. a) y + y = t + e t R.: y = ce t + t e t ; y é assintótico a t 1 9 b) y y = t e t R.: y = ce t + t e t ; y + c) y + y = te t + 1 R.: y = ce t t e t ; y 1 d) y + 1y = cos t, t > 0 R.: y = c cos t + + sent ; y é assintótico a sent t t 4t e) y y = e t R.: y = ce t e t ; y + ou f) ty c t cos t+sent + y = sent, t > 0 R.: y = ; y 0 t g) y + ty = te t R.: y = t e t + ce t ; y 0 h) (1 + t )y + 4ty = (1 + t ) R.: y = arctgt+c (1+t ), y 0

3 i) y + y = t R.: y = ce t + t 6; y é assintótico a t 6 j) ty y = t e t R.: y = te t + ct; y + ou k) y + y = 5sent R.: y = ce t +sent cos t; y é assintótico a sent cos t l) y + y = t R.: y = ce t + t 1t + 4; y é assintótico a t 1t Nos Encontre a solução do problema de valor inicial dado. a) y y = te t, y(0) = 1 R.: y = e t + (t 1)e t b) y + y = te t, y(1) = 0 R.: y = (t 1)e t c) ty + y = t t + 1, y(1) = 1, t > 0 R.: y = t4 4t +6t +1 1t d) y + ( (cos t) )y =, y(π) = 0, t > 0 R.: y = sent t t t e) y y = e t, y(0) = R.: y = (t + )e t f) ty + y = sent, y( π) = 1 R.: y = t [( π ) 1 t cos t + sent] 4 g) t y + 4t y = e t, y( 1) = 0 R.: y = (1+t)e t t 4, t 0 h) ty + (t + 1)y = t, y(ln ) = 1 R.: y = (t 1+e t ) t, t 0 8. Nos problemas: Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Como as soluções parecem se comportar quando t ca grande? O comportamento depende da escolha do valor inicial a? Seja a 0 o valor de a para o qual ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro (valor crítico) Resolva o problema de valor inicial e encontre o valor crítico a 0 Descreva o comportamento da solução correspondente ao valor inicial a 0. a) y 1 y = cos t, y(0) = a R.: y = 4 5 cos t sent + (a )e t ; a 0 = 4 5 ; a 0 = 4 5 ; y oscila para a = a 0 b) y y = e t, y(0) = a R.: y = t t + (a + )e t ; a 0 = ; y para a = a 0 c) ty + (t + 1y = te t ), y(0) = a R.: y = te t + (ea 1)e t t ; a 0 = 1 e ; y 0 quando t 0 para a = a 0 d) ty + y = sent, y( π) = a t R.: y = cos t t + π a 4t ; a 0 = 4 π ; y 1 quando t 0 para a = a 0

4 9. Considere o problema de valor inicial y + 1 y = cos t, y(0) = 1 Encontre as coordenadas do primeiro ponto de máximo local da solução para t > 0. R.: (t, y) = (1, 641; 0, 8008) 10. Considere o problema de valor inicial y + y = 1 1 t, y(0) = y 0 Encontre o valor de y 0 para o qual a solução encosta no eixo dos t, mas não atravessa. R.: y 0 = 1, Considere o problema de valor inicial y + 1 y = + cos t, y(0) = 0 4 Encontre a solução desse problema de valor inicial e descreva seu comportamento para valores grandes de t. R.: a) y = cos t + sent e t 4 ; y oscila em torno de 1 quando t + 1. Encontre o valor de y 0 para o qual a solução do problema de valor inicial y y = 1 + sent, y(0) = y 0 permanece nita quando t +. R.: y 0 = 5 1. Considere o problema de valor inicial y y = t + et, y(0) = y 0 Encontre o valor de y 0 que separa as soluções que crescem positivamente quando t + das que crescem em módulo com sinal negativo. Como a solução correspondente a esse valor crítico de y 0 se comporta quando t +? R.: y 0 = 16 ; y quando t + para y 0 = Mostre que, se a e λ são constantes positivas e se b é qualquer número real, então toda solução da equação y + ay = be λt tem a propriedade que y 0 quando t +. 4

5 15. Resolva a equação diferencial dada. a) y = x y R.: y x = c, y 0 b) y = x y(1+x ) R.: y ln 1 + x = c; x 1, y 0 c) y + y senx = 0 R.: y 1 + cos x = c se y 0; também y = 0 em toda parte d) y = x 1 +y R.: y + y x + x = c; y e) xy = (1 + y ) 1 R.: y = sen[ln x + c] se x 0 e y < 1; também y = ±1 f) dy dx = x e x y+e y R.: y x + (e y e x ) = c; y + e y 0 g) dy dx = 16. Nos problemas: x R.: y + y x = c 1+y Determine o problema de valor inicial em forma explícita. Desenhe o gráco da solução. Determine, pelo menos aproximadamente, o intervalo no qual a solução está denida. a) y = (1 x)y, y(0) = 1 6 R.: y = 1 x x 6, < x < b) y = 1 x y, y(1) = R.: y = x x + 4, 1 < x < c) xdx + ye x dy = 0, y(0) = 1 R.: y = [(1 x)e x 1] 1, 1, 68 < x < 0, 77 aprox. d) dr = r dθ θ, r(1) = R.: r = 1 ln θ, 0 < θ < e e) y = x y+x y, y(0) = R.: y = [ ln(1 + x ) + 4] 1, < x < + f) y = xy (1 + x ) 1, y(0) = 1 R.: y = [ 1 + x ] 1, x < 1 5 g) y = x, y() = 0 R.: y = y 4x 15, x > 1 15 h) y = x(x +1), y(0) = 1 4y x R.: y = +1, < x < + i) y = x e x, y(0) = 1 R.: x y = 5 y 5 e x + 1, 1, 4445 < x < 4, 697 aprox. 4 j) y = e x e x +4y, y(0) = 1 R.: y = ex 8e x, x <, 0794 aprox. k) senx dx + cos y dy = 0, y( π) = π R.: y = π arcsen( cos x), x π < 0, 6155 l) y (1 x ) 1 dy = arcsenx dx, y(0) = 0 R.: y = [ (arcsenx) ] 1, 1 < x < Resolva o problema de valor inicial y = 1 + x y 6y, y(0) = 1 e determine o intervalo de validade da solução. Sugestão: Para encontrar o intervalo de denição, procure por pontos onde a curva integral tem uma tangente vertical. R.: y y x x + = 0, x < 1 5

6 18. Resolva o problema de valor inicial y = y + xy, y(0) = 1 1 e determine onde a solução atinge o seu valor mínimo. R.: y = x = x +x 1, 19. Resolva o problema de valor inicial y = ex + y, y(0) = 0 e determine onde a solução atinge o seu valor máximo. R.: y = + x e x ; x = ln 0. Considere o problema de valor inicial y = ty(4 y), y(0) = y 0 a) Determine como o comportamento da solução quando t aumenta depende do valor inicial y 0. b) Suponha que y 0 = 1. Encontre i instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor, 98. R.: a) y 4 se y 0 > 0; y = 0 se y 0 = 0; y se y 0 < 0. b) T =, Considere o problema de valor inicial y = ty(4 y), y(0) = y 0 > t a) Determine o comportamento da solução quando t +. b) Se y 0 =, encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor, 99 R.: a) y 4 quando t + ; b) T =, Resolva as equações diferenciais: a) dy = x +xy+y dx x R.: arctg( y ) ln x = c x b) dy dx = x +y xy R.: x + y cx = 0 c) dy = 4y x dx x y d) dy = 4x+y dx x+y e) dy = x+y dx x y R.: y x = c y + x 5 ; também y = x R.: y + x y + 4x = c x R.: + ln x + y = c; também y = x x+y f) (x + xy + y )dx x x dy = 0 R.: + ln x = c; também y = x x+y g) dy = x y R.: x x 5y = c dx xy h) dy x dx xy R.: c x = y x i) (x + ) + (y )y = 0 R.: x + x + y y = c 6

7 j) (x xy + ) dx + (6y x + ) dy = 0 R.: x x y + x + y + y = c k) (xy + y) + (x y + x)y = 0 R.: x y + xy = c l) dy dx bx+cy R.: ax + bxy + cy = k m) (e x seny ysenx) dx + (e x cos y + cos x) dy = 0 R.: e x seny + y cos x = c; também y = 0 n) (ye xy cos x e xy senx+x) dx+(xe xy cos x ) dy = 0 R.: e xy cos x+x y = c o) ( y x + 6x) dx + (ln x ) dy = 0, x > 0 R.: y ln x + x y = c p) x dx (x +y ) + y dy (x +y ) = 0 R.: x + y = c q) (x y + xy + y ) dx + (x + y ) dy = 0 R.: (x y + y )e x = c r) y = e x + y 1 R.: y = ce x e x s) dx + ( x seny) dy = 0 R.: xy + y cos y seny = c y t) y dx + (xy e y ) dy = 0 R.: xe y ln y = c, também y = 0 u) (4 x + ) dx + ( x + 4y) dy = 0 y y y R.: x 4 + xy + y 4 = c v) (xy) dx + (y x ) dy = 0 R.: x y y 1 = c e também y = 0 w) (x 4 x + y) dx x dy = 0 R.: y = x4 x ln x + cx e também x = 0 x) (y + xy) dx + (x y y 1 ) dy = 0 R.: x y 1 + x = c e também y = 0 y) t y + ty y = 0, t > 0 R.: y = ± ( ) 1 5t +5ct 5 z) dy dx x x y R.: y = cx x e também y = 0 aa) dy dx = y x x y R.: y = 5x x 5 +c e também y = 0 ab) dx dt + tx + x t = 0 R.: x = t ln t + ct e também x = 0 ac) dr = r +rθ dθ θ ad) dy dθ + y = y R.: y = 1+ce t. Use a substituição y = vx para resolver 4. Resolva o problema de valor inicial R.: r = θ c θ e também r = 0 dy dx = y ( y ) x + cos x R.: y = 19x 4 1 dy dx y x = x 1 y 1, y(1) = 5. Mostre que y + x = 0 é uma solução implícita para dy dx = 1 y no intervalo (, ). 6. Mostre que xy xy senx = 1 é uma solução implícita para dy dx (0, π). = (x cos x+senx 1)y (x xsenx) no intervalo 7

8 7. Mostre que y = c 1 senx + c cos x é uma solução para d y dx + y = 0 para qualquer escolha das constantes c 1 e c. Assim, c 1 senx + c cos x é uma família de soluções em dois parâmetros para a equação diferencial. 8. Mostre que y = ce x + 1 é uma solução para dy y = para qualquer escolha de c. dx 9. Determine para quais valores de m a função φ(x) = x m é uma solução para a equação dada. a) x d y + 11x dy y = 0 R.: 1 e dx dx b) x d y dx x dy dx 5y = 0 R.: 1 ± 6 0. Determine para quais valores de m a função φ = e mx é uma solução para a equação dada. a) d y dx + 6 dy dx + 5y = 0 b) d y dx + d y dx + dy dx = 0 1. Determine se o Teorema 1 implica que dado problema de valor inicial tem uma solução única. a) dy dx y4 x 4, y(0) = 7 R.: Sim b) x dx + 4t = 0, x() = π dt R.: Sim c) y dy = x, y(1) = 0 dx R.: Não 8