CÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x;

Transcrição

1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural Objetivos da Aula Denir a função f(x) = ln x; Calcular limites, derivadas e integral envolvendo a função logarítmica f(x) = ln x. Nessa aula e nas seguintes pretendemos apresentar as funções logarítmica e exponencial utilizando as ferramentas do cálculo diferencial e integral. Nos cursos de matemática do ensino médio é ensinado que existe a função exponencial denida em R a valores em R + e depois se dene que a função inversa dessa última é a função logarítmica. Um problema que aparece nessa abordagem é o de dar signicado à valores como e π ou 2 2 o que promove certa diculdade em parte considerável dos alunos. Tendo isso em vista, abordaremos esse tema apresentando primeiramente a função logarítmica e posteriormente a função exponencial como sua inversa, e essa abordagem será inicialmente dada com a base e e posteriormente para uma base mais geral. A Função Logarítmica Natural Seja x > 0. Denimos a função logarítmica natural como sendo a função dada pela medida da área abaixo da hipérbole y = t, entre t = e t = x. Gracamente, essa área é dada como abaixo: Figura : O Logaritmo Natural de x

2 Como podemos entender a integral como a área abaixo de uma curva plana, então, podemos escrever a denição de logaritmo natural como sendo: x f(x) = ln x = dt () t Observação. Essa função está bem denida, pois a hipérbole existe em todos os pontos t = x, com x > 0. Observação 2. Note que se x > 0 então, a função f(x) > 0 e se 0 < x < então f(x) < 0. Denição. Denimos o número e como sendo o número tal que f(e) = ln e =. 2 Derivadas e Integral Segue do Teorema Fundamental do Cálculo que para x > 0 f (x) = d d (ln x) = dx dx x t dt = x (2) Considere agora a função g(x) = ln x. Note que g está denida para rodo x 0. Mostraremos que g (x) = x. Se considerarmos u = x, obtemos que g(u) = ln u e segue da regra da cadeia que E observe que dg dx = dg du du dx = du x dx x = { x se x > 0 x se x < 0 (3) Logo, Assim, podemos escrever Substituindo (4) em (3), temos que { d x dx = se x > 0 se x < 0 d x dx = x x, x 0 (4) dg dx = x x x = x O mesmo raciocínio obtido nesse último resultado pode ser aplicado para demonstrar a seguinte proposição Proposição. Seja f uma função positiva. Então (5) d dx (ln f(x)) = f (x) f(x) (6) Se f 0, não necessariamente positiva, temos que d dx (ln f(x) ) = f (x) f(x) (7) Devido a essa proposição, podemos concluir a seguinte armação: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Observação 3. Uma primitiva para f(x) = x é F (x) = ln x + C Vejamos alguns exemplos: Exemplo. Determine f (x) sabendo que f(x) = ln sen 2 x. Note que a função f está denida para todo x R tal que x nπ, n = 0, ±, ±2,... De acordo com (6), temos que df dx = (sen 2 x) 2sen x cos x sen 2 = x sen 2 = 2cotg x x Exemplo 2. Considere as seguintes funções f(x) = ln ( ) x + x g(x) = ln x + x Determine suas derivadas de primeira ordem e seus respectivos domínios. Note que a função f está denida para x < e x >, enquanto que a função g está denida para x R {, }. De acordo com (7), temos que dg dx = ( x + x x + x ) = x x + [ (x + ) (x ) (x + )(x ) (x ) 2 ] = 2 (x ) (x + )(x ) 2 = 2 x 2 E note que dg está denida para todo x R {, }. Pela proposição (), (8) é a derivada de f dx para x < e x >. Propriedades dos Logaritmos Suponha a, b > 0. Considere as funções f(x) = ln x e g(x) = ln (ax). Observe que g (x) = a ax = x Então, f (x) = g (x). Logo, pelo corolário do Teorema do Valor Médio, temos que f(x) = g(x) + C em que C é uma constante. Fazendo x = na equação acima, obtemos que ln a = ln + C C = ln a (8) Assim, podemos reescrever como ln ax = ln x + ln a Agora, substituindo x = b, obtemos que ln ab = ln a + ln b (9) Fazendo b =, temos que a ( 0 = ln = ln a. ) = ln a + ln a a Assim, Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 ln a = ln a (0) Dessa forma, temos que ln a ( b = ln a. ) = ln a + ln b b = ln a ln b Logo, ( a ) ln = ln a ln b () b E também que para ln a n = ln (a.a.a.a...a) = ln a + ln a ln a = n ln a E, portanto, ln a n = n ln a (2) Utilizando a propriedade do quociente, podemos vericar que a propriedade acima é válida para todo n Z. Observação 4. Devemos tomar cuidado na aplicação da propriedade (2). Assim, é uma igualdade verdadeira apenas para x >. fazer ln(x ) 2 = 2 ln(x ) No entanto, como (x ) 2 = x 2, então podemos ln(x ) 2 = 2 ln x que é válida para todo x. Portanto, é de extrema importância especicar o domínio quando utilizar as propriedades para vericar a veracidade das igualdades obtidas. Vejamos agora, alguns exemplos de como as propriedades podem nos ajudar no cálculo da derivada de algumas funções. Exemplo 3. Calcule a derivada da função f(x) = ln( x 2 cos 2 x). Pela propriedade do logaritmo do produto, temos que ln( x 2 cos 2 x) = ln( x 2 ) + ln(cos 2 x) Pela proposição () e pela regra da cadeia, temos que f (x) = x 2 cos ( sen x) cos 2 = x x x 2 2tg x em que o domínio de e f e f é D f = {x R; x >, x kπ + π } 2, n Z ( ) Exemplo 4. Seja g(x) = ln x 2. Calcule g (x). Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Utilizando a propriedade do logaritmo do quociente temos que ( x 2 ) + ln x 2 = ln() ln(x 2 ) E, utilizando a proposição () a regra da cadeia, temos que g (x) = 2x 2x x 2 = 2x 3 2x 2x 3 2x x 4 Exemplo 5. Utilize a derivada logarítmica para derivar a função f(x) = x 2 (x 3 )() Utilizando a regra do logaritmo do produto, temos que = 4x x 4 ln f(x) = ln( x 2 x 3 ) = ln x 2 + ln x 3 + ln, E utilizando a proposição (), temos que Logo, f (x) f(x) = 2x ( 2x f (x) = f(x) = x 2 (x 3 )() 3x2 x 3 + 2x 3x2 x 3 + 2x ) ( 2x 3x2 x 3 + 2x ) = 2x(x 3 )() + 3x 4 () + 2x 3 (x 3 ) = 7x 6 + 5x 4 4x 3 2x Exemplo 6. Utilize a derivada logarítmica para determinar a derivada da função f(x) = (x2 ) 2 (x + ) 3 () 2 Utilizando a as propriedades de logaritmo temos que ln f(x) = ln (x 2 ) 2 (x + ) 3 () 2 ( x 2 2 x + 3 ) = ln 2 E segue da proposição () que o que implica que = ln ( x 2 2 x + 3) ln 2 = ln x ln x + 3 ln 2 = 2 ln x ln x + 2 ln f (x) f(x) = ( 4x f (x) = f(x) x x + = ( (x 2 ) 2 (x + ) 3 () 2 4x x x + 4x 4x ) ) ( 4x x x + 4x ) = 4x(x2 )(x + ) 3 () 2 + 3(x2 ) 2 (x + ) 2 () 2 4x(x2 ) 2 (x + ) 3 () 3 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 3 Gráco Utilizando nossos conhecimentos sobre construção de grácos, vamos construir o gráco da função f(x) = ln x. Para isso, note que D f = R +. Observe também que se tomarmos x D f cada vez maior, temos que f(x) assume valores positivos cada vez maiores. Sendo assim, podemos concluir que se x + então f(x) +. Se x D f assume valores cada vez mais próximos de zero, a função f(x) assume valores negativos cada vez menores, então concluímos que se x 0 + então f(x). E assim, lim ln x = + lim x + ln x = x 0 + Notamos também que para x D f, temos que f (x) = > 0, logo, f é estritamente crescente. Note x também que f (x) = < x 2 0, portanto, f possui concavidade para baixo. Então como ln = 0, então o gráco de f é dado por Figura 2: Gráco da função f(x) = ln x Para traçar o gráco de g(x) = ln x, basta notar que a função é par, pois g( x) = ln x = ln x = g(x) Agora, para x > 0, temos que g(x) = ln x = ln x Logo, o gráco desse subconjunto do domínio é igual ao da função ln x. E como a função é par, podemos concluir que o gráco de g(x) = ln x é dado por: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 Figura 3: Gráco da Função f(x) = ln x Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas e no Apêndice G do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios da página 20 e da página A50 na seção de apêndices do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7