Fun c ao Logaritmo Fun c ao Logaritmo ( ) F. Logaritmo Matem atica II 2008/2009

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1 Função Logaritmo ( )

2 Função Logaritmo Acabámos de estudar a função exponencial, cuja forma mais simples é a função f(x) = e x. Resolvemos vários problemas que consistiam em calcular f(x 0 ) para um valor x 0 indicado. Suponhamos agora que pretendemos calcular um número y tal que e y = 9 Podemos ir por tentativas até chegarmos a um número razoável. Tentemos y = 2 Obtemos e 2 = 7,389 Tentemos y = 3 Obtemos e 3 = 20,0855 Tentemos y = 2,5 Obtemos e 2,5 = 12,18 Tentemos y = 2,3 Obtemos e 2,3 = 9,97 Tentemos y = 2,2 Obtemos e 2,2 = 9,025 Tentemos y = 2,199 Obtemos e 2,199 = 9,01599 Tentemos y = 2,198 Obtemos e 2,198 = 9, Verificamos que este processo é muito moroso...

3 O que foi feito para o número 9 podia ser feito para qualquer número x positivo. Dado um número x > 0, podemos encontrar um número y tal que e y = x Definimos uma nova função, chamada logaritmo, da forma seguinte: y é logaritmo de x se x = e y isto é y = ln(x) se x = e y Este logaritmo designa-se por logaritmo neperiano e e é a base deste logaritmo.

4 Podemos generalizar este raciocínio para qualquer base a positivo e diferente de 1. Logaritmo de um número positivo na base a, positivo e diferente de 1 é o número a que se deve elevar a base para obter x, i.e, log a x = y x = a y

5 Gráfico das funções g(x) = log 10 x,f(x) = lnx e h(x) = log 2 x

6 Propriedades Para a,b > 0 e diferente de 1 tem-se 1 para x > 0, x = a log a x 2 log a a = 1 3 log a 1 = 0 4 para p,q > 0, log a (p.q) = log a p + log a q 5 para p,q > 0, log a ( p q ) = log a p log a q 6 para p > 0 e q um número qualquer, log a (p q ) = q.log a p 7 log a a x = x 8 para x > 0, log a x = log b x log b a

7 Exemplo 1 log 2 32 = log = 5 2 log 0,1 100 = log 0, = log 0,1 (10 1 ) 2 = log 0,1 ( 1 10 ) 2 = log 0,1 (0,1) 2 = 2 Exercício 1- Determine (a) log 7 49 (b) log 2 32 (c) ln1 (d) lne 2- Resolva as seguintes equações (a) log 10 x = 0 (b) log b 64 = 3

8 Juros Compostos Já vimos que, num processo de juros compostos, com capital inicial C e uma taxa de juros j, o valor do capital acumulado A ao fim de x anos é dado por A = C.(1 + j) x Com esta expressão podemos resolver vários problemas.

9 A = C.(1 + j) x 1- Dados o capital inicial e a taxa de juro, determinar o capital acumulado (A) passado um determinado número de anos. 2- Dados o capital inicial e a taxa de juro, determinar o número de anos (x) necessários para se atingir um certo capital (acumulado). 3- Dado o capital inicial e o número de anos em que se pretende atingir um determinado capital (acumulado), calcular a taxa de juro (j) adequada. 4- Dados uma taxa de juro e o capital acumulado que se pretende atingir após um determinado número de anos, calcular o capital inicial (C) necessário.

10 Exemplo Suponha que a taxa de juro que um determinado banco oferece, aos seus clientes, é de 3% ao ano, em regime de juros compostos. 1- Suponha que um cliente faz um depósito de euros. (a) Determine o capital acumulado ao fim de 2 anos. (b) Calcule o número de anos que demora para obter um capital acumulado de euros. (c) Determine a taxa de juro necessária para que o cliente obtivesse euros de capital acumulado ao fim de 15 anos. 2- Determine o capital inicial a aplicar, por um cliente, para obter euros ao fim de 10 anos.

11 Resolução 1- A = C.(1 + j) x (a) A = (1 + 0,03) 2 = (1,03) 2 = ,5 O capital acumulado ao fim de 2 anos é de ,5 euros.

12 Resolução (cont.) (b) Temos = (1,03) x = (1,03)x (1,03) x = 1,3333 Aplicando log 1,03 (i.e, fazendo a composição com a função log 1,03 x) em ambos os membros vem

13 Resolução (cont.) log 1,03 (1,03) x = log 1,03 1,3333 x = log 1,03 1,3333 x = ln1,3333 ln1,03 x 9,73 O número de anos que demora para obter um capital acumulado de euros é de 9,73 anos. Assim, só passado 10 anos é que se obtém um capital acumulado superior a euros.

14 Resolução (cont.) (c) Temos = (1 + j) = (1 + j) = (1 + j) = 1 + j 1,047 = 1 + j j = 0,047 logo a taxa de juro necessária é de 4,7%.

15 Resolução (cont.) 2- Temos = C(1,03) 10 C = (1,03) 10 C = ,69 O capital inicial a aplicar deveria ser ,69 euros.

16 Valor Marginal Consideremos a função logaritmo y = ln x (f(x) = ln x) e calculemos o seu valor marginal y. Temos y = f(x + 1) f(x) = ln(x + 1) lnx = ln( x + 1 x ) O valor marginal do logaritmo y = lnx é ainda uma função logaritmo: y = ln( x + 1 x )

17 Derivada Consideremos a função logaritmo y = ln x (f(x) = ln x) e calculemos a sua derivada f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Comecemos por calcular a diferença e depois a razão incremental f(x + h) f(x) = ln(x + h) lnx = ln( x + h x ) f(x + h) f(x) h

18 f(x + h) f(x) h = ln( x + h x ) h Pretendemos determinar = 1 h ln(x + h x ) = ln[( x + h x ) 1 h] f (x) = lim h 0 ln[( x + h x ) 1 h]

19 Prova-se que Assim, f (x) = lim h 0 ln[( x + h x ) 1 h] lim [(x + h h 0 x ) h] 1 = e 1 x f (x) = lne 1 x = 1 x Concluímos que a derivada da função logaritmo lnx é 1 x, isto é, (lnx) = 1 x.