Ajuste de dados pelo Métodos dos Mínimos Quadrados

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1 Ajuste de dados pelo Métodos dos Mínimos Quadrados Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio Famat-Ufu

2 Problema Após serem efetuadas medições num gerador de corrente contínua, foram obtidos os valores indicados por um voltímetro e um amperímetro conforme Tabela 1 a seguir. I(carga(A)) V(v) Tabela: Dados experimentais de um voltímetro e um amperimetro. Estime o valor a ser obtido no voltímetro quando o amperímetro estiver marcando 3.05A.

3 Diagrama de dispersão

4 Problema 2 Considere-se a Tabela de dados a seguir: x i 0,1 0,2 0,5 0,7 0,8 0,9 1,1 1,23 1,35 1,5 1,7 1,8 y i 0,19 0,36 0,75 0,91 0,96 0,99 0,99 0,94 0,87 0,75 0,51 0,35

5 Diagrama de dispersão Fazendo-se o esboço do gráco associado aos dados da tabela (diagrama de dispersão), temos a seguinte gura:

6 A análise do diagrama de dispersão mostra que a função ϕ que procuramos se comporta como: 1. uma parabóla ou; 2. uma função senoidal.

7 No caso de uma parabóla, a expressão para ϕ é da seguinte forma: ϕ(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e as funções base (linearmente independentes) que geram ϕ são: ϕ 1 (x) = 1 ϕ 2 (x) = x ϕ 3 (x) = x 2 Nesse caso, o ajuste procurado é um ajuste linear.

8 No caso de procura de um ajuste senoidal, a função para ϕ pode ser considerada como se mostra a seguir: ϕ(x) = a + bsen( π 2 x) Neste caso, o ajuste também é linear. As funções base (linearmente independentes) são: ϕ 1 (x) = 1 ϕ 2 (x) = sen( π 2 x)

9 Solução do ajuste usando uma ajuste por uma parabóla 1) Procuramos ϕ(x) = a 1 ϕ 1 (x) + a 2 ϕ 2 (x) + a 3 ϕ 3 (x) = a 1 + a 2 x + a 3 x 2. As funções que geram a parábola são: ϕ 1 (x) = 1, ϕ 2 (x) = x, ϕ 3 (x) = x 2 2) Número de funções base usadas: m = 3. 3) Tamanho da matriz A é 3x3. 4) Número de dados: n = 12

10 Determinando os elementos da matriz A A 11 = A 12 = A 13 = ϕ 1 (x k )ϕ 1 (x k ) = 1.1 = 1 = 12 k=1 k=1 k= ϕ 1 (x k )ϕ 2 (x k ) = k=1 k= ϕ 1 (x k )ϕ 3 (x k ) = k=1 k=1 (1)(x k ) = x 2 k =

11 A 31 = A 32 = A 33 = ϕ 3 (x k )ϕ 1 (x k ) = xk 2 = k=1 k= ϕ 3 (x k )ϕ 2 (x k ) = k=1 k= k=1 k=1 x 2 k x k = ϕ 3 (x k )ϕ 3 (x k ) = xk 2 x k 2 =

12 b 1 = b 2 = b 3 = 12 k=1 12 k=1 12 k=1 ϕ 1 (x k )y k = ϕ 2 (x k )y k = ϕ 3 (x k )y k =

13 Sistema linear a ser resolvido: Solução do sistema linear é: a 1 a 2 a 3 = a 1 = ; a 2 = ; a 3 = Então, a função ϕ é: ϕ(x) = x x 2

14 Esboçando o gráco da parábola e dos dados da tabela, tem-se a seguinte gura: Figura: Ajuste dos dados da Tabela 4 por uma parábola.

15 Solução do ajuste usando uma ajuste senoidal Considerando-se uma função senoidal do tipo: ϕ(x) = a 1 + a 2 sen( π 2 x) Aplicando-se o método dos quadrados mínimos para obter-se os valores dos parâmetros a 1 e a 2, temos: a 1 = e a 2 = (Exercício)

16 Esboçando o gráco da função senoidal e dos dados da Tabela 4, tem-se a seguinte gura: Figura: Ajuste dos dados da Tabela 4 por uma função senoidal.

17 Para os dados do exemplo 1, qual é a melhor função de ajuste: parabólica ou senoidal? Para responder essa pergunta calculamos a soma dos quadrados dos desvios para cada caso: D = n dk 2 = k=1 n (y k ϕ(x k )) 2 k=1

18 Calculando D, temos: 1. Parábola: ϕ(x) = x x 2, então n n dk 2 = (y k ϕ(x k )) 2 = k=1 k=1 2. Senóide: ϕ(x) = sen( π x), então 2 n dk 2 = k=1 n (y k ϕ(x k )) 2 = k=1 Portanto, o melhor ajuste é obtido usando uma parábola.

19 Lembrando Ajustar dados de uma tabela por uma função ϕ do tipo: ϕ(x) = aϕ 1 (x) + bϕ 2 (x) na teoria do método dos mínimos quadrados, implica resolver o seguinte sistema linear: ( n k=1 ϕ 1(x k )ϕ 1 (x k ) n k=1 ϕ 2(x k )ϕ 1 (x k ) n k=1 ϕ 1(x k )ϕ 2 (x k ) n k=1 ϕ 2(x k )ϕ 2 (x k ) ) ( a b ) ( n = k=1 ϕ ) n 1(x k )y k k=1 ϕ 2(x k )y k para determinar os valores de a e b. (1)

20 Ajuste não linear-caso discreto Lembrando O objetivo do método dos mínimos quadrados é ajustar os dados de uma tabela por uma função g, que é expressada como combinação linear de funções bases, isto é, procura-se uma função g da forma: ϕ(x) = a 1 ϕ 1 (x) + a 2 ϕ 2 (x) + + a m ϕ m (x) Existem casos onde a função de ajuste ϕ deve ser não linear nos parâmetros. Alguns exemplos desse tipo de ajuste são: Ajuste do tipo exponencial: ϕ(x) = a 1 a x 2 Ajuste do tipo hiperbólica: ϕ(x) = 1 a 1 +a 2 x Ajuste do tipo geométrico: ϕ(x) = a 1 x a 2 Ajuste do tipo raiz quadrada: ϕ(x) = a 1 + a 2 x, etc. Em cada um desses casos, deve-se determinar os parâmetros: a 1 e a 2

21 Como usar a teoria do método dos mínimos quadrados desenvolvida para ajuste linear, em problemas de ajuste não linear? Por exemplo, para o caso de ϕ(x) = a + bx, a função a ser minimizada no contexto do MMQ é: ou F (a, b) = F (a, b) = n (y k a + bx k ) 2 (2) k=1 n (y k (a + bx k ) 1/2 ) 2 (3) k=1 Cujo mínimo pode ser calculado, caso exista por: F a F b = 0 = 0

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23 Método de Linearização Para aplicar-se o método dos mínimos quadrados em problemas de ajuste linear deve-se seguir os seguintes passos: 1. Linearizar o problema de ajuste não linear: através algum processo de transformação no problema de ajuste não linear, determina-se um novo problema linear. 2. Aplicar a teoria do método dos mínimos quadrados para o novo problema; 3. Aplicar um processo de inversão para determinar os parâmetros do ajuste não linear.

24 Como linearizar o problema de ajuste não linear? Exemplo 1. Aproximar os dados de uma tabela por meio de uma função exponencial dada por: y k ab x k Aplica-se a função logaritmo neperiano (ln): ln y k ln(ab x k ) = ln a + x k ln(b) = (ln a) + (ln b)x k = a 1 + a 2 x k Y k a 1 + a 2 x k, onde: Y k = ln y k, a 1 = ln a, a 2 = ln b

25 Os passos para determinar a e b são: 1. Determinar Y k ; 2. Determinar os valores de a 1 e a 2 resolvendo-se o sistema linear (1) com as funções base: g 1 (x) = 1 e g 2 (x) = x; e os valores Y k s calculados; 3. Determine os valores de a e b de a 1 = ln a e a 2 = ln b, respectivamente.

26 Como linearizar o problema de ajuste não linear? Exemplo 2. Aproximar os dados de uma tabela por meio de uma função geométrica dada por: y k ax b Aplica-se a função logaritmo neperiano: ln y k ln a + ln x b = (ln a) + (b) ln x = a 1 + a 2 ln x e obtém-se o novo problema: Y k a 1 + a 2 ln x onde: Y k = ln y k a 1 = ln a a 2 = b

27 Passos para determinar osvalores de a e de b: 1. Determinar os valores de Y k = ln y k ; 2. Determinar os valores de a 1 e de a 2, resolvendo-se o sistema linear (1) com as funções base:

28 Passos para determinar osvalores de a e de b: 1. Determinar os valores de Y k = ln y k ; 2. Determinar os valores de a 1 e de a 2, resolvendo-se o sistema linear (1) com as funções base:

29 Como linearizar o problema de ajuste não linear? Exemplo 3. Aproximar os dados de uma tabela por meio de uma função do tipo hiperbólica dada por: y k 1 a + bx Em seguida inverte-se a relação anterior (elevando a -1), e tem-se: 1 y k a + bx. Isto gera um novo problema a ser ajustado que é: Y k = a 1 + a 2 x onde: Y k = 1 y k ; a 1 = a; a 2 = b; g 1 (x) = 1; g 2 (x) = x.

30 Passos para determinar a e b: 1. Determinar Y k = 1 y k ; k = 1, 2,..., n; 2. Determinar os valores de a 1 e a 2 resolvendo-se o sistema linear (1) com as funções base g 1 (x) = 1 e g 2 (x) = x e os Y k s calculados no item anterior; 3. Calcular os valores de a e b resolvendo-se a 1 = a e a 2 = b, respectivamente.

31 Como linearizar o problema de ajuste não linear? Exemplo 4. Aproximar os dados de uma tabela por meio de uma função do tipo a + bx, isto é: y k a + bx Em seguida, eleva-se a relação anterior ao quadrado e obtem-se: Y k a + bx, onde: e Y k = y 2 k, a 1 = a, a 2 = b g 1 (x) = 1 g 2 (x) = x.

32 Passos para determinar a e b do exemplo Determinar os valores de Y k = yk 2 k = 1, 2, 3,... n; 2. Resolver o sistema linear (1) com g 1 (x) = 1 e g 2 (x) = x e os valores de Y k s calculados no item Calcular os valores de a e b, resolvendo-se a 1 = a e a 2 = b

33 Observação Os parâmetros obtidos no processo de linearização não são ótimos dentro do contexto dos quadrados mínimos, isto porque estamos ajustando o problema linearizado e não o problema original.

34 Exemplo 5: Suponha-se que num laboratório se obteve experimentalmente os valores para f (x) sobre os pontos x k, k = 1, 2, 3,..., 8 conforme tabela a seguir: x k y k

35 Esboçando o gráco dos dados da tabela acima (diagrama de dispersão):

36 O esboço anterior nos sugere um ajuste do tipo exponencial, isto é: y k ae bx Transforma-se a expressão não linear acima, num problema linear, aplicando-se a função ln: ln y k ln a + bx ln e = ln a bx = a 1 + a 2 x Deste modo, o novo problema a ser tratado é: Y k a 1 + a 2 x, onde: a 1 = ln a; Y k = ln y k ; a 2 = b.

37 Calculando os valores de Y k = ln y k : x k Y k = ln y k As funções base são: ϕ 1 (x) = 1 e ϕ 2 (x) = x. Os parâmetros a 1 e a 2 são a solução do seguinte sistema linear: ( n k=1 ϕ 1(x k )ϕ 1 (x k ) n k=1 ϕ 2(x k )ϕ 1 (x k ) n k=1 ϕ ) ( 1(x k )ϕ 2 (x k ) a n k=1 ϕ 2(x k )ϕ 2 (x k ) b ) ( n = k=1 ϕ ) n 1(x k )y k k=1 ϕ 2(x k )y k (4)

38 Tal sistema linear ca: ( ) ( a1 a 2 ) = ( ) Resolvendo-se o sistema 2x2 temos a 1 = a 2 = 2.5 Os valores dos parâmetros a e b são a 1 = ln a a 2 = b. Então, a = e a 1 = e = e b = a 2 = 2.5 A função exponencial que ajusta os dados iniciais é: ϕ(x) = ae bx = 3.001e 2.5x

39 Figura: Esboço do gráco da função de ajuste ϕ(x) = 3.001e 2.5x e dos dados da tabela do exemplo 5.

40 Figura: Esboço do desvio d k = y k ϕ(x k ) em cada ponto dos dados da tabela do exemplo 5. O máximo desvio é aproximadamente e acontece em x 1 = 1.0.

41 Uma das perguntas mais frequentes é qual função se ajusta melhor aos dados. A seleção de funções para esse ajuste pode ser feita percorrendo-se as seguintes etapas: 1. Selecionar a priori um número pequeno de funções candidatas a se ajustarem aos dados. 2. Utilizar todas as informações disponíveis sobre os dados para eliminar as funções que obviamente não são adequadas. 3. Aplicar às funções que restarem do item 2. o chamado teste de alinhamento (descrito a seguir). 4. Determinar os parâmetros para as funções que passaram pelo teste de alinhamento e escolher o melhor resultado em termo de menor desvio quadrado.

42 Teste de alinhamento O teste de alinhamento consiste em: 1. Linearizar as possíveis expressões das funções a serem ajustadas para os dados y k. Neste caso, por exemplo, poderiamos obter as seguintes expressões lineares para duas possíveis funções de ajuste: Y k g(x k ) = a 1 g 1 (x k ) + a 2 g 2 (x k ) g 1 (x) = 1 Z k h(x k ) = b 1 h 1 (x k ) + b 2 h 2 (x k ) h 1 (x) = 1 2. Fazer os grácos: (I) g 2 (x) versus Y k, e (II) h 2 (x) versus Z k.

43 3. Escolher a função g(x) se o gráco (I) estiver mais linear que o gráco (II), e h(x) se o gráco (II) for mais linear. 4. Determinar os parâmetros da função escolhida na etapa anterior; caso se tenha de escolher mais de uma função, então determine os parâmetros de ambas as funções, em seguida calcule o desvio quadrado e escolha a função que tive menor desvio.

44 Exemplo 6. (Aplicação do teste de alinhamento) Considere a função dada conforme tabela abaixo: t y Qual das funções a seguir se ajustaria melhor aos dados da tabela? a) f 1 (t) = 1 a + bt b) f 2 (t) = ab t

45 Vamos esboçar os dados da tabela para demonstrar que ambas as funções são passíveis de se ajustarem aos dados Figura: Esboço dos dados do Exemplo 6. Pode-se ver que os dados

46 Aplicando o teste de alinhamento no exemplo 6 Passo 1: Linearizando a primeira função de ajuste; y k 1 a + bt k 1 y k a + bt k Y k = 1 y k, g 1 (t) = 1 e g 2 (t) = t Linearizando a segunda função de ajuste: y k ab t k ln y k (ln a) + (ln b)t k Z k = ln y k, h 1 (t) = 1 e h 2 (t) = t

47 Passso 2. Esboçando o gráco de Y k versus g 2 (t) = t Figura: Esboço do gráco g 2 (t k ) = t k versus Y k = 1 y k.

48 Esboçando o gráco de Z k versus h 2 (t) = t Figura: Esboço do gráco de h 2 (t) = t versus Z k = ln y k.

49 Das guras 7 e 8, vemos que o gráco de t versus 1 y é mais linear do que o gráco de t versus ln y. Portanto, devemos escolher g(t) = 1 a + bt para aproximar os dados da tabela. Exercício: Determinar os parâmetros a e b da função g(t) acima.