Método dos Mínimos Quadrados

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1 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Análise Numérica 2004/2005 Método dos Mínimos Quadrados PROBLEMAS 1 Determine a aproximação dos mínimos quadrados aos pontos por: x y (a) Uma recta. (b) Uma parábola. (c) Uma cúbica. (d) Uma recta x = g(y) que minimize o erro em x. 2 Para medir a capacidade (C) de um condensador, usou-se um circuito RC com um interruptor. No instante t = 0 abriu-se o interruptor, tendo-se registado os seguinte valores da tensão (V) no condensador: t(s) V (volt) t=0 U R (1M Ω) C V Como se sabe, é aplicável a relação v(t) =v 0 e t RC,t 0. Usando o critério dos mínimos quadrados, estime um valor para C. Considere v(0) também sujeito a erro, de maneira que v 0 é desconhecido a priori. RESOLUÇÕES 1

2 Método dos Mínimos Quadrados: Dado um conjunto de pontos ( x i,y i ) i =1, 2,...,n e uma função F (x, c 1,c 2,...,c k ) do tipo F (x, c 1,c 2,...,c k )=c 1 Φ 1 (x)+c 2 Φ 2 (x) c k Φ 1 (x) determinar c 1,c 2,...,c k tal que se minimize N (y i F (x, c 1,c 2,...,c k )) 2. i=1 Calculando as k derivadas desta função em ordem a c 1,c 2,...,c k e igualando-as a zero obtemos um sistema de k equações a k incógnitas do tipo: c N 1 i=1 Φ2 1 (x)+c N 2 i=1 Φ 1(x)Φ 2 (x)+...+ c N k i=1 Φ 1(x)Φ k (x) = N i=1 Φ 1(x) y i c N 1 i=1 Φ 1(x)Φ 2 (x)+c N 2 i=1 Φ2 2 (x)+...+ c N k i=1 Φ 2(x)Φ k (x) = N i=1 Φ 2(x) y i. c N 1 i=1 Φ 1(x)Φ k (x)+c N 2 i=1 Φ 2(x)Φ k (x)+...+ c N k i=1 Φ2 k (x) = N i=1 Φ k(x) y i A resolução do sistema permite-nos obter os valores de c 1,c 2,...,c k. 1 (a) Aproximação por uma recta: F (x) =c 1 + c 2 x,com Φ 1 (x) =1 Φ 2 (x) =x Φ i (x) =0, i =3, 4,...,k O que nos permite escrever o seguinte sistema ( N =8 ): 1 i=1 1+c 8 2 i=1 x i = 8 i=1 y i 1 i=1 x i + 2 i=1 x2 i = 8 i=1 x i y i Os vários somatórios podem ser facilmente calculados pela seguinte tabela, x i y i x 2 i x i y i

3 Substituindo no sistema os somatórios pelos respectivos valores, 8 c 1 +56c 2 =40 56 c c 2 = 364 Donde se retira que, c 1 = c 2 = = = O que nos permite escrever a equação da recta que aproxima os pontos dados pelo método dos mínimos quadrados: y = c 1 + c 2 x = x (b) Aproximação por uma parábola: F (x) =c 1 + c 2 x + c 3 x 2,com Φ 1 (x) =1 Φ 2 (x) =x Φ 3 (x) =x 2 Φ i (x) =0, i =4, 5,...,k O que nos permite escrever o seguinte sistema ( N =8 ): 1 i=1 1+c 8 2 i=1 x i + 3 i=1 x2 i = 8 i=1 y i 1 i=1 x i + 2 i=1 x2 i + c 8 3 i=1 x3 i = 8 i=1 x i y i 1 i=1 x2 i + c 8 2 i=1 x3 i + c 8 3 i=1 x4 i = 8 i=1 x2 i y i Os vários somatórios podem ser facilmente calculados pela seguinte tabela, x i y i x 2 i x 3 i x 4 i x i y i x 2 i y i

4 Substituindo no sistema os somatórios pelos respectivos valores, Donde se retira que, c 1 = c 2 = c 3 = 8 c 1 +56c c 3 =40 56 c c c 3 = c c c 3 = = = = O que nos permite escrever a equação da parábola que aproxima os pontos dados pelo método dos mínimos quadrados: y = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 = x x 2 (c) Aproximação por uma cúbica: F (x) =c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x 3,com Φ 1 (x) =1 Φ 2 (x) =x Φ 3 (x) =x 2 Φ 4 (x) =x 3 Φ i (x) =0, i =5, 6,...,k O que nos permite escrever o seguinte sistema ( N =8 ): 4

5 1 i=1 1+c 8 2 i=1 x i + 3 i=1 x2 i + c 8 4 i=1 x3 i = 8 i=1 y i 1 i=1 x i + 2 i=1 x2 i + c 8 3 i=1 x3 i + c 8 4 i=1 x4 i = 8 i=1 x i y i 1 i=1 x2 i + c 8 2 i=1 x3 i + c 8 3 i=1 x4 i + c 8 4 i=1 x5 i = 8 i=1 x2 i y i 1 i=1 x3 i + c 8 2 i=1 x4 i + c 8 3 i=1 x5 i + c 8 4 i=1 x6 i = 8 i=1 x3 i y i Os novos somatórios podem ser facilmente calculados pela seguinte tabela, x 5 i x 6 i x 3 i y i Substituindo no sistema os somatórios pelos respectivos valores, 8 c 1 +56c c c 4 =40 56 c c c c 4 = c c c c 4 = c c c c 4 = Donde se retira que, c 1 = c 2 = c 3 = c 4 = O que nos permite escrever a equação da cúbica que aproxima os pontos dados pelo método dos mínimos quadrados: y = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x 3 = x x x 3 (d) Aproximação por uma recta x = g(y) : F (y) =c 1 + c 2 y,com Φ 1 (y) =1 Φ 2 (y) =y Φ i (y) =0, i =3, 4,...,k O que nos permite escrever o seguinte sistema ( N =8 ): 5

6 1 i=1 1+c 8 2 i=1 y i = 8 i=1 x i 1 i=1 y i + 2 i=1 y2 i = 8 i=1 y i x i Os vários somatórios podem ser facilmente calculados pela seguinte tabela, y i x i yi 2 y i x i Substituindo no sistema os somatórios pelos respectivos valores, 8 c 1 +40c 2 =56 40 c c 2 = 364 c 1 =7 5 c 2 c 2 = =1.5 c 1 = 0.5 c 2 =1.5 O que nos permite escrever a equação da recta que, aproximando os pontos dados pelo método dos mínimos quadrados, minimiza o erro em x: x = c 1 + c 2 y = y 2 Neste problema, a função que queremos aproximar é do tipo exponencial v(t) =v 0 e t RC,t 0. No entanto se aplicarmos logaritmos aos dois membros da equação que queremos aproximar, ficámos com um função linear: ( v = v 0 e t RC ln v =lnv ) t. RC Então o que vamos fazer é aproximar os pontos ( x i,y i )=(t i, ln v i ) por uma recta; y = c 1 + c 2 x,com y + =lnv c 1 =lnv 0 c 2 = 1 RC x = t Função aproximante: recta 6

7 F (t) =c 1 + c 2 t,com O que nos permite escrever o seguinte sistema ( N =11 ): Φ 1 (t) =1 Φ 2 (t) =t Φ i (t) =0, i =3, 4,...,k c 11 1 i=1 1+c 11 2 i=1 t i = 11 i=1 (ln v i) c 11 1 i=1 t i + c 11 2 i=1 t2 i = 11 i=1 (ln v i) t i Os vários somatórios podem ser facilmente calculados pela seguinte tabela, t i ln v i t 2 i (ln v i ) t i 0 ln 10 0 ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln Nota: ln( ab)=lna +lnb ln a b = b ln a Substituindo no sistema os somatórios pelos respectivos valores, 11 c c 2 = ln c c 2 =ln c 2 = = c 1 = A partir de c 1 e c 2 podemos então calcular v 0 e C : ln v 0 = c 1 v 0 = e c 1 = v 1 RC = c 2 C = 1 Rc 2 = µf 7

8 PROBLEMAS PROPOSTOS 1 Determine a melhor aproximação da forma y = a sin(x) + b cos(x), no sentido dos mínimos quadrados, dos pontos da tabela. π 3π x 0 2 π 2 y Pretende-se determinar uma aproximação da forma y = 1 ax+b x y aos pontos da tabela. Utilizando uma mudança de variável em y determine a aproximação por aplicação do método dos mínimos quadrados. AMG, IMF, JFO, JPF 8