Teoria de Eletricidade Aplicada

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1 1/34 Teoria de Eletricidade Aplicada Considerações sobre a Corrente Alternada (CA) Prof. Jorge Cormane Engenharia de Energia

2 2/34 SUMÁRIO 1. Introdução 2. Formas de Onda 3. Funções Senoidais 4. Valor Médio 5. Valor Eficaz 6. Tensão e Corrente Eficaz 7. Potência Instantânea 8. Potência Média

3 3/34 INTRODUÇÃO Até agora nossa análise foi limitada a circuitos em corrente contínua (CC). Agora começaremos a análise de circuitos em corrente alternada (CA).

4 4/34 INTRODUÇÃO Corrente Alternada: é a corrente que reverte em intervalos regulares de tempo e possui valores positivos e negativos alternados. Contínua Amplitude + - tempo Alternada

5 FORMAS DE ONDA A forma de onda é o gráfico do valor da ordenada em função do tempo x(t) Valor Máximo Valor Instantâneo t 0 t Valor Instantâneo Valor da ordenada em um dado instante de tempo Valor Máximo Valor máximo da ordenada em um dado instante de tempo 5/34

6 6/34 FUNÇÕES SENOIDAIS Uma senoide é uma forma de onda representada na forma de uma função seno ou cosseno: { ( ) A sin ωt + φ x (t) = A cos ( ωt + φ ) ω = 2πf = 2π T f - frequência [Hz] T - Período [s] A - amplitude ω - frequência angular [rad/s] φ - ângulo de fase [rad ou º] A senoide é uma função periódica pois apresenta a seguinte propriedade x(t +T ) = x(t), ou seja, x possui o mesmo valor em t +T como em t

7 7/34 FUNÇÕES SENOIDAIS Se a onda senoidal não é zero em t = 0, ela possui um deslocamento de fase (φ), também chamado de ângulo de fase Deslocamento para a esquerda x (t) = sin ( ωt + φ ) Deslocamento para a direita x (t) = sin ( ωt φ ) x(t) x(t) ϕ/ω t ϕ/ω t

8 8/34 FUNÇÕES SENOIDAIS Quando uma ou mais senoides operam à mesma frequência podemos comparar x 1 e x 2 x 2 está adiantado de x 1 por φ x 1 está atrasado de x 2 por φ Se φ 0, x 1 e x 2 são considerado fora de fase Se φ = 0, c 1 e x 2 são considerados em fase x(t) ϕ/ω x 1 (t) x 2 (t) t

9 FUNÇÕES SENOIDAIS Identidades trigonométricas e relações úteis para manipular as expressões senoidais sin(ωt ±180) = sin(ωt) cos(ωt ±180) = cos(ωt) sin(ωt ±90) = ±cos(ωt) cos(ωt ±90) = sin(ωt) Radianos = Graus = 180 π π 180 Graus Radianos sin(a ±B) = sin(a)cos(b) ±sin(b)cos(a) cos(a ±B) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b) 2sin(x)sin(y) = cos(x y) cos(x +y) 2sin(x)cos(y) = sin(x +y) +sin(x y) 2cos(x)cos(y) = cos(x +y) +cos(x y) 9/34

10 10/34 FUNÇÕES SENOIDAIS Identidades trigonométricas úteis para manipular as expressões senoidais A cos(ωt)+b sin(ωt) = C cos ( ωt φ ) A = C cosθ B = C sinθ C = A 2 +B 2 ϕ C A B { tan 1 ( ) B φ = A A > tan 1 ( ) B A A < 0 B C ϕ θ A

11 Exercícios Aula Dado x 1 (t) = 2cos(6t +120 ) e x 2 (t) = 4sin(6t 60 ), calcular x(t) = x 1 (t) +x 2 (t) Resposta: x(t) = 2,48cos(6t 6,21 ) Exercícios Aula Dado x 1 (t) = 45sin(ωt +30 ) e x 2 (t) = 50cos(ωt 30 ), determine o ângulo de fase entre as duas senoides e indique qual de las está atrasada ou adiantada em relação à outra. Resposta: 30 11/34

12 12/34 VALOR MÉDIO O Valor Médio para qualquer função periódica x(t) com período T, é definido como: T X med = 1 x (t)dt T 0 }{{} área sob a curva x(t) área sob a curva área sob a curva t 0 π/2 π 3π/2 2π 0 T/4 T/2 3T/4 T O valor médio calculado para qualquer forma de onda simétrica, sobre um período é sempre ZERO

13 13/34 VALOR E CAZ OU VALOR RMS A raiz do valor quadrático médio ou RMS (do inglês root mean square) para qualquer função periódica x(t) com período T, é definido como: X RMS = 1 T x T 2 (t)dt 0 Passos para calcular o Valor Eficaz (RMS): i Quadrado da curva ii Área sob a curva ao quadrado iii Dividir a área pelo período iv Raiz quadrada do resultado

14 14/34 VALOR E CAZ OU VALOR RMS Exemplo: Calcular o valor Eficaz da função x(t) = A sin(ωt) i x 2 (t) = A [1 cos(2ωt)] {}}{ sin 2 (ωt) 1 2ω { sin(2ωt) }}{ = A2 T T0 2 dt A2 2 0 ii T0 x 2 (t)dt [ ] = A2 1 T 2 [t]t 0 2 sin(2ωt) 0 }{{} 0 = A2 2 T iii 1 T0 T x 2 (t)dt = T 1 [ ] A 2 2 T = A2 2 iv 1T T0 x 2 (t)dt = A 2 2 = A 2

15 15/34 VALOR E CAZ OU VALOR RMS Exemplo: Calcular o valor Eficaz da função x(t) = A sin(ωt) A Xrms 0 π/2 π 3π/2 2π 0 T/4 T/2 3T/4 T t O fator 2 0,707 é válido somente para senoides. Para outras funções periódicas, precisamos usar a equação geral.

16 16/34 Exercícios Aula Calcular o valor Eficaz Exercícios Aula Calcular o valor Eficaz A A t t -A -A 0 π/2 π 3π/2 2π 0 T/4 T/2 3T/4 T 0 π/2 π 3π/2 2π 0 T/4 T/2 3T/4 T Resposta: A Resposta: A 3 No caso de ondas simétricas, um 1 4 de ciclo de forma de onda representa fielmente o ciclo da forma de onda completa.

17 17/34 TENSÃO E CORRENTE SENOIDAIS Sejam v (t) = V m cos ( ωt + φ v ) a tensão nos terminais do elemento, e seja i (t) = I m cos ( ωt + φ i ) a corrente que atravessa o elemento. + v(t) - i(t)

18 18/34 TENSÃO E CORRENTE SENOIDAIS Se a carga é do tipo RESISTIVA, a corrente estará EM FASE com relação a tensão v (t) = V m cos(ωt) i (t) = I m cos(ωt) Im Vm v(t) = i(t)r t A corrente atinge o valor máximo ao mesmo tempo que a tensão.

19 19/34 TENSÃO E CORRENTE SENOIDAIS Se a carga é do tipo INDUTIVA, a corrente estará ATRASADA φ i radianos em relação a tensão v (t) = V m cos(ωt) i (t) = I m cos ( ωt + φ i ) Im Vm ϕ =π/2 t v(t) = L d dt i A corrente atinge o valor máximo depois da tensão.

20 20/34 TENSÃO E CORRENTE SENOIDAIS Se a carga é do tipo CAPACITIVO, a corrente estará ADIAN- TADA φ i radianos em relação a tensão v (t) = V m cos(ωt) i (t) = I m cos ( ωt φ i ) Im Vm ϕ =π/2 t i(t) = C d dt v A corrente atinge o valor máximo antes da tensão.

21 21/34 TENSÃO E CORRENTE SENOIDAIS O conceito de Valor Eficaz no contexto dos circuitos elétricos, provém da necessidade de fornecer a um resistor de carga, a mesma potência média que uma fonte em corrente contínua forneceria, usando uma fonte de corrente alternada I rms i(t) V rms R v(t) R P cc = P ca

22 22/34 TENSÃO E CORRENTE SENOIDAIS A tensão eficaz é uma medida da capacidade da tensão de fornecer potência média a um resistor Vrms 2 }{{ R } P cc V rms = = 1 T T v 2 (t) R dt } 0 {{ } P ca 1 T v T 2 (t)dt 0 Substituindo v(t) em V rms tem-se, V rms = 1 T V 2 ( ) T m cos2 ωt + φ i dt 0 = V 2 T m 1 [ ( )] 1 +cos 2ωt +2φi dt T 2 0 = V m 2

23 23/34 TENSÃO E CORRENTE SENOIDAIS A corrente eficaz é a corrente contínua que transfere para uma carga resistiva a mesma potência média que a corrente dada I 2 rmsr }{{} P cc = I rms = T 1 i 2 (t)rdt T 0 }{{} P ca 1 T i T 2 (t)dt 0 Substituindo i(t) em I rms tem-se, I rms = 1 T I 2 ( ) T m cos2 ωt + φ i dt 0 = I 2 T m 1 [ ( )] 1 +cos 2ωt +2φi dt T 2 0 = I m 2

24 24/34 TENSÃO E CORRENTE SENOIDAIS Algumas considerações sobre o valor eficaz As concessionárias de energia especificam a tensão e a corrente em termos dos seus valores eficazes Os medidores analógicos são projetados para mostrar diretamente o valor eficaz O medidor TRUE RMS pode ler valores RMS de qualquer forma de onda, não é limitado à forma de onda senoidal

25 25/34 POTÊNCIA INSTANTÂNEA é o produto da tensão instantânea no elemento e a corrente instantânea que passa através dele v (t) = V m cos ( ωt + φ v ) i (t) = I m cos ( ωt + φ i ) p (t) = v (t)i (t) [Watt] O valor da potência instantânea depende do instante de tempo no qual ele é medido.

26 26/34 POTÊNCIA INSTANTÂNEA A potência instantânea em qualquer instante é p (t) = v (t)i (t) = V m I m cos ( ωt + φ v ) cos ( ωt + φi ) usando identidades trigonométricas cos (A)cos (B) = 1 [cos (A B) +cos (A +B)] 2 obtém-se p (t) = V mi m cos ( ) φ v φ 2 i + V mi m cos ( ) 2ωt + φ v + φ }{{} 2 i }{{} não depende do tempo depende do tempo

27 27/34 POTÊNCIA INSTANTÂNEA p(t) VI m 2 m t v i cos 2 VI m mcos v i 2 0 T/2 T t A potência instantânea varia com o tempo, sendo, portanto, difícil de ser medida.

28 POTÊNCIA INSTANTÂNEA p(t) A energia é transferida da fonte para o circuito + + Energia absorvida - 0 T/2 T A energia é transferida do circuito para a fonte - t Uma carga de resistiva absorve energia em todos os instantes, enquanto que, uma carga indutiva ou capacitiva somente armazena energia. 28/34

29 29/34 POTÊNCIA INSTANTÂNEA A potência instantânea em termos dos valores eficazes p (t) = V mi m 2 cos ( ) V m I m φ v φ i + cos ( ) 2ωt + φ v + φ 2 i = V m 2 I m 2 cos ( φ v φ i ) + V m 2 I m 2 cos ( 2ωt + φ v + φ i ) = V rms I rms cos ( φ v φ i ) +Vrms I rms cos ( 2ωt + φ v + φ i ) p (t) = V rms I rms cos ( φ v φ i ) +Vrms I rms cos ( 2ωt + φ v + φ i )

30 30/34 POTÊNCIA MÉDIA A Potência Média é a média aritmética da potência instantânea em determinado intervalo de tempo P = 1 t 2 p (t)dt t 2 t 1 t 1 Sinais Periódicos P = 1 T p (t)dt T 0 A potência média é um valor constante, portanto é mais conveniente de ser medida.

31 31/34 POTÊNCIA MÉDIA Calculando a integral, tem-se P = 1 T V m I m cos ( ) φ v φ T 2 i dt + 1 T 0 }{{} T 0 constante = V mi m cos ( ) T φ v φ i dt + V T mi m 2T 2T 0 0 P = V mi m cos ( ) φ v φ 2 i V m I m cos ( ) 2ωt + φ v + φ 2 i dt cos ( 2ωt + φ v + φ i ) dt } {{ } 0 A potência média é um valor constante, portanto é mais conveniente de ser medida.

32 32/34 POTÊNCIA MÉDIA A potência média em termos dos valores eficazes P = V mi m cos ( ) θ v θ 2 i = V m I m 2 2 cos ( ) θ v θ i = V rms I rms cos ( θ v θ i ) P = V rms I rms cos ( θ v θ i )

33 Exercícios Aula Se v(t) = 311cos(377t) V e i(t) = 5cos(377t +30 ) A. Calcular a potência média e a potência instantânea. Resposta: p(t) = 673, ,5cos(754t +30 ) W e P = 673,33 W 33/34

34 34/34 DÚVIDAS?