Experimento 9 Circuitos RL em corrente alternada

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1 1. OBJETIVO Experimento 9 Circuitos RL em corrente alternada O objetivo desta aula é estudar o comportamento de circuitos RL em presença de uma fonte de alimentação de corrente alternada. 2. MATERIAL UTILIZADO osciloscópio; multímetro; gerador de sinais; resistor: R = 100Ω; indutor: 5mH < L < 50mH. 3. INTRODUÇAO A maneira de apresentar o modelo elétrico que vamos nos basear para estudar indutores e circuitos RL é essencialmente igual à que foi apresentada na Aula 8, para circuitos RC, visto que a solução formal das equações do circuito RC e do circuito RL são as mesmas. A equação característica do indutor ideal é dada por: V L (t) = L di(t). dt (1) Se aplicarmos uma voltagem alternada, de modo análogo ao caso do capacitor, é de se esperar que a corrente varie na forma: i(t) = i 0 sin ("t + #), (2) onde ϕ corresponde à diferença de fase entre a corrente e a voltagem. Considerando que a voltagem aplicada pelo gerador seja da forma V g (t) = sin(ωt), e usando a equação característica do indutor obtemos: sin("t) = "Li 0 cos ("t + #). Expandindo a função cosseno e igualando os coeficientes de sin(ωt) e cos(ωt) encontramos: (3) 81

2 ("Li 0 ) cos(# ) = 0, (4) e: = "(#Li 0 )sin($). (5) A Equação 4 nos diz que ϕ = ± π/2 e a Equação 5, que a única possibilidade é termos ϕ = - π/2, porque, L, i 0 e ω possuem valores positivos. Portanto, a corrente em um indutor ideal é dada por: % i(t) = i 0 sin "t # $ ( ' * = & 2 ) "L sin % "t # $ ( ' *. & 2 ) (6) Neste caso a corrente está atrasada de π/2 radianos em relação à voltagem. A Equação 6 nos diz também que: = ("L)i 0 = X L i 0, (7) onde X L = "L. (8) A Equação 7 é o equivalente da lei de Ohm para indutores em corrente alternada. O termo X L, que tem dimensão de ohm (Ω), é chamado de reatância indutiva, e é proporcional à freqüência. Como pode ser representada a reatância indutiva no formalismo de números complexos? Consideremos novamente um circuito envolvendo apenas um gerador e um indutor. A voltagem na fonte pode ser escrita como: V g (t) = sin("t). (9) Usando números complexos, e a fórmula de Euler e j" = cos(") + j sin("), podemos escrever para a voltagem no gerador: V g (t) = Im[ V g (t)], (10) com: V g (t) = e j"t. (11) Para um circuito contendo apenas o gerador e o indutor, vimos que nesse caso, a corrente é dada por: 82

3 % i(t) = i 0 sin "t # $ ( ' *, & 2 ) (12) com i 0 = /(ω L). Podemos representar também a corrente em termos de uma função complexa: i(t) = Im[ i (t)], (13) com: i (t) =i 0 e j ' & "t# % $ ( * 2 ). (14) A equação análoga à lei de Ohm pode então ser escrita para correntes alternadas em termos de números complexos: V i (t) = g (t), Z (15) onde, Z é a impedância complexa do circuito e para este caso é dada por: Z V = g (t) i (t) = e j"t % "L e j '"t# & $ ( * 2 ) = "L e # j $ 2 = "L # j = jx L. (16) Assim, usando o formalismo de números complexos, para um indutor, a impedância complexa é um número complexo imaginário puro positivo. 3.1 Circuitos RL Em circuitos RL como o que é mostrado na Figura 1 abaixo, a lei das malhas nos diz que: Figura 1: Circuito RL. 83

4 V g = V L + V R " sin(#t) = L di dt + Ri. (17) Como se trata de um circuito com elementos lineares esperamos que a corrente tenha a forma geral i(t) = i 0 sin ("t + #), (18) onde ϕ representa a diferença de fase entre a voltagem e a corrente no circuito. Substituindo a Equação 17 na Equação 18 encontramos: sin("t) = Li 0 " cos ("t +# ) + Ri 0 sin ("t +# ). (19) A Equação 19 pode ser reescrita após abrirmos as funções cosseno e seno para obtermos: sin("t) Ri 0 [( ) cos# $ ("Li 0 ) sin# $ ] + cos("t) ("Li 0 ) cos# + ( Ri 0 ) sin# [ ] = 0. (20) Os coeficientes de sin(ωt) e cos(ωt) devem ser individualmente nulos para que a igualdade descrita na Equação 20 seja satisfeita. Assim devemos ter: ( Ri 0 ) cos" # ( $Li 0 ) sin" =, (21) e ("Li 0 ) cos# + ( Ri 0 ) sin# = 0. (22) A Equação 22 mostra que o ângulo de fase ϕ entre a voltagem e a corrente é dado por: tan" = # $L R = # X L R, (23) ϕ pode assumir valores variando entre -π/2 e 0 (valor negativo para a tangente), mostrando que a corrente está atrasada em relação à voltagem no circuito RL. A Equação 21 pode ser simplificada escrevendo-se sinϕ e cosϕ em função de tgϕ na forma: sin" = tan" 1+ tan 2 ", (24) e: 84

5 cos" = 1 1+ tan 2 ". (25) Após substituirmos as relações descritas nas Equações 24 e 25 na Equação 21 e usarmos a Equação 23 obtemos a seguinte relação: = R 2 + X 2 L = Z, i 0 (26) onde, da mesma forma que no caso de circuitos RC (Aula 8), Z é denominada a impedância do circuito e tem a dimensão de ohm (Ω). As Equações 23 e 26 mostram que a impedância pode ser obtida a partir de um plano onde o eixo horizontal representa a resistência e o eixo vertical a reatância indutiva. Como no caso da reatância capacitiva, a composição entre a resistência e a reatância segue as mesmas regras de composição de um número complexo. A reatância indutiva corresponde à parte imaginária positiva da impedância complexa, como mostrado na Figura 2 abaixo. Figura 2: Reatância indutiva e impedância como números complexos. As Equações 23 e 26, da mesma forma que para o circuito RC, levam às seguintes relações entre amplitudes: V 2 L 0 = ( ) 2 R + ( ) 2, (27) enquanto que teremos, alternativamente, para o ângulo de fase a expressão: tan" = # L R. (28) 85

6 A Equação 8 mostra que quanto maior for a freqüência maior será a reatância indutiva e a Equação 23 que maior será a defasagem entre a voltagem e a corrente. Da Equação 23 temos que a dependência da diferença de fase ϕ entre a corrente e a voltagem do gerador para um circuito RL pode ser escrita como: tan" = # $L R. (29) Na Figura 3 mostramos um gráfico de ϕ em radianos, como função da freqüência angular ω para R=10Ω e L=10mH. Observe que para uma melhor visualização da dependência de ϕ com ω o gráfico foi apresentado em escala semi-logarítmica. Para valores de ω tendendo a zero a diferença de fase é nula e para ω tendendo a infinito ela tende a -π/2. Figura 3: Dependência, em um circuito RL, da diferença de fase entre a corrente e a voltagem do gerador de sinais. Neste caso R=10Ω e L=10mH. 4. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS Procedimento I Vamos novamente verificar a Lei de Ohm, desta vez para indutores. Queremos verificar como se comporta a reatância indutiva com a freqüência. Para isso vamos montar o circuito da Figura 4 abaixo, usando um indutor na faixa 5mH < L < 50mH e R = 100Ω. Como fizemos nas Aula 7 e 8, vamos medir a voltagem no resistor de 100Ω e determinar a corrente através deste resultado, fazendo i 0 = R R. 1) Monte o circuito da Figura 4, ligue os equipamentos e ajuste o gerador (CH1) para um sinal senoidal, com freqüência f 1 =1kHz. Com o osciloscópio, meça o período T 1 com sua respectiva incerteza e determine a freqüência f 1, também com sua respectiva incerteza. 86

7 Figura 4: Circuito a ser utilizado para a verificação da lei de Ohm em indutores sujeitos a correntes alternadas. 2) Ajuste a amplitude no gerador para que o valor pico ( B ) da diferença de potencial entre o ponto B e a TERRA no circuito (CH2) seja de 0.3V. Lembre-se de utilizar uma escala apropriada no osciloscópio. Anote esse valor na Tabela 1. Usando um multímetro meça o valor de R e determine a corrente que passa pelo circuito, i 0 = R R. Observação: Para obter melhor resolução e facilitar a tomada de dados, é conveniente que a referência de ambos os canais (GND) seja colocada na linha mais inferior da tela do osciloscópio. Com isso, os valores das amplitudes B e A podem ser medidos simultaneamente. 3) Meça o valor de pico ( A ) da diferença de potencial entre o ponto A e a TERRA (CH1) com sua respectiva incerteza, e anote também o valor na Tabela 1. A partir desses resultados, determine a voltagem de pico no indutor, L, pela relação L = A ( ) 2 B " ( ) 2. 4) Observe que existe uma diferença de fase ϕ entre os sinais dos dois canais. Diferentemente do circuito RC, no circuito RL a corrente está atrasada em relação à voltagem no gerador. Meça essa diferença de fase medindo a diferença temporal entre os dois sinais (diferença de tempo entre duas passagens pelo zero nas mesmas condições, por exemplo) e determine o ângulo de fase e sua respectiva incerteza, sabendo que o módulo da diferença de fase ϕ é dado por ϕ = ω Δt = 2πfΔt = 2πΔt/T. Na Figura 5 mostramos um esquema de como a medida da diferença de fase é feita para o circuito RL. 87

8 Figura 5: Formas da voltagem no circuito RL da nossa montagem experimental. A linha contínua representa a voltagem da fonte (V g ), e a linha tracejada a voltagem no resistor (V R ). Como já foi visto, em um resistor a corrente e a voltagem estão em fase. A diferença de fase que está ocorrendo se deve à presença do indutor. Para este caso ϕ < 0 e tem módulo igual a 0,45π. R= 10Ω, L=10mH, =5V, T=1ms. 5) Repita os itens anteriores ajustando amplitude do gerador para que a voltagem no ponto B vá aumentando em intervalos de 0.1V até completar a Tabela 1. V B 0 ± " B V0 (V) i 0 ± " i0 (A) V A 0 ± " A V0 (V) V L 0 (V ) " L V0 (V ) 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Tabela 1: Resultados experimentais obtidos com a freqüência f 1 = 1kHz. L = A ( ) 2 B " ( ) 2. 6) Repita todos os itens anteriores para a freqüência de f 2 =8kHz, e complete a Tabela 2. 88

9 V B 0 ± " B V0 (V) i 0 ± " i0 (A) V A 0 ± " A V0 (V) V L 0 (V ) " L V0 (V ) 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Tabela 1: Resultados experimentais obtidos com a freqüência f 2 = 8kHz. L = A ( ) 2 B " ( ) 2. 89