Circuitos de Primeira Ordem

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1 Circuitos de Primeira Ordem Magno T. M. Silva e Flávio R. M. Pavan, 5 Introdução Em geral, um circuito de primeira ordem tem um único elemento armazenador de energia (um capacitor ou um indutor) e é descrito por uma equação diferencial de primeira ordem, ordinária, linear e a coeficientes constantes. Considere, por exemplo, o circuito R, L série alimentado por um gerador ideal de tensão e com condição inicial i(t ) = i, como mostrado na Figura. v R (t) i(t) e s (t) R L v L (t) Figura : Circuito R, L série alimentado por um gerador ideal de tensão. Escrevendo a segunda lei de Kirchhoff para esse circuito, obtemos v L (t) + v R (t) = e s (t). Usando as relações constitutivas do indutor e do resistor (lei de Ohm), chega-se a L di(t) + Ri(t) = e s (t). () dt Dividindo essa equação por L, obtemos di(t) + R dt L i(t) = L e s(t). () Dessa forma, o circuito da Figura é descrito pela equação diferencial acima e a corrente i(t) é a função incógnita. Essa equação diferencial é: Pode haver circuitos de primeira ordem com mais de um elemento armazenador de energia. Por exemplo, um circuito que contém dois capacitores em paralelo é equivalente a um circuito com um único capacitor. Há outros casos que são chamados de circuitos redutíveis, como veremos no curso de Circuitos II. Nem todos os circuitos de primeira ordem são descritos por uma equação diferencial desse tipo. No entanto, vamos considerar aqui apenas circuitos elétricos lineares com parâmetros (R, L, C) constantes e sendo t é a única variável independente.

2 Resolvendo uma equação diferencial de a ordem. de primeira ordem, pois aparece no máximo a primeira derivada da função incógnita;. ordinária, pois não há derivadas parciais (derivamos apenas com relação ao tempo, que é a única variável independente); 3. linear, pois não há funções não lineares da incógnita e/ou de suas derivadas; e. a coeficientes constantes, pois consideramos que o resistor e o indutor não variam no tempo. A seguir, vamos resolver uma equação diferencial desse tipo para então voltarmos a esse circuito. Porém, antes disso, faça o exercício abaixo. Exercício Circuito R, C paralelo Considere o circuito R, C paralelo alimentado por um gerador ideal de corrente e com condição inicial v(t ) = v, como mostrado na Figura. Verifique que esse circuito pode ser escrito pela equação diferencial dv(t) dt + RC v(t) = C i s(t). (3) i s (t) R C v(t) Figura : Circuito R, C paralelo alimentado por um gerador ideal de corrente. Resolvendo uma equação diferencial de a ordem Considere a equação diferencial do tipo ẋ(t) + x(t) = f(t) () τ com condição inicial x(t ) = x, em que ẋ(t) = dx(t) dt, x(t) é a função incógnita, τ é uma constante real diferente de zero e f(t) é uma função dada 3. Como será visto nos cursos de Cálculo, a solução geral dessa equação para t t é dada por em que x h (t) é a solução geral da equação homogênea x(t) = x h (t) + x p (t), (5) ẋ(t) + τ x(t) = e x p (t) é uma solução particular da equação completa (). A seguir, vamos obter x h (t) e x p (t). 3 Em Circuitos Elétricos, f(t) é uma função da excitação ou entrada da rede.

3 . Solução da equação homogênea 3. Solução da equação homogênea Vamos primeiramente resolver a equação homogênea ẋ h (t) = τ x h(t), () Note que a função incógnita x h (t), solução da Equação (), deve ter derivada proporcional à ela própria. Dada essa observação e descartando a solução trivial x h (t) =, cabe uma pergunta: que função não nula tem derivada proporcional a ela própria? Uma possível candidata é a função exponencial. Portanto, vamos considerar que a solução de () é dada por x h (t) = Ae p(t t ), (7) cuja derivada vale ẋ h (t) = Ape p(t t ), (8) em que A e p são constantes. Substituindo (8) e (7) em (), chega-se a ( Ae p(t t ) }{{} p + ) = p = τ τ. Portanto, a solução não trivial da equação diferencial () é dada por x h (t) = Ae (t t ) τ. (9) Note que a constante τ que aparece dividindo x(t) na equação completa () aparece na solução da equação homogênea dividindo (t t ) no argumento da exponencial. Essa constante desempenha um papel importante na solução. Para τ >, quanto maior o valor de τ, mais lentamente a solução da equação homogênea x h (t) se aproxima de zero. É possível notar por análise dimensional que τ deve ter unidade de tempo e por isso é chamada de constante de tempo. Por exemplo, a constante de tempo do circuito R, L da Figura vale τ = L R, enquanto a constante de tempo do circuito R, C da Figura vale τ = RC. A constante A será determinada posteriormente. Como veremos, essa constante depende da solução particular da equação completa () e também da condição inicial x(t ) = x.. Solução particular da equação completa Substituindo (9) em (5), a solução da equação completa () se reduz a x(t) = Ae (t t ) τ + x p (t). ()

4 . Solução particular da equação completa Ainda precisamos de uma solução particular x p (t) da equação geral. Note que a solução da equação homogênea, parcela Ae (t t ) τ em (), corresponde a uma resposta transitória que desaparece (tende a zero) para τ > e t. Dessa forma, calculando o limite para t em ambos os lados de (), obtemos Em outras palavras, lim t x(t) = lim (t t ) t Ae τ } {{ } = + lim t x p (t). () uma solução particular da equação completa () é dada pela resposta permanente de x(t), ou seja, a expressão de x(t) quando t. Exemplo Resposta do circuito R, L ao degrau No circuito da Figura, considere que a excitação seja dada por e s (t) = EH(t t ) e que a corrente inicial do indutor valha i(t ) = i. Sabemos que para essa excitação, o indutor irá se comportar como um curto-circuito em regime (t ) e portanto i(t) t = E R = i p(t). Neste caso, a solução particular da equação geral é constante e é fácil verificar que ela satisfaz () para t t. Assim, a expressão da corrente do indutor do circuito da Figura é dada por i(t) = i h (t) + i p (t) = Ae (t t ) τ + E R, t t. () Como vimos, a constante de tempo desse circuito vale τ = L/R. Para completar a resposta, ainda precisamos calcular a constante A. Para isso, vamos impor a condição inicial i(t ) = i, ou seja, i(t ) = i = A + E ( R A = i E ). R Cabe observar que a A depende da condição inicial e da excitação. Substituindo A em (), chegamos a ( i(t) = i E ) e (t t ) E L/R + R R, t t. (3) Como discutimos anteriormente, a parcela que corresponde à solução da equação homogênea desaparece com o passar do tempo e por isso é chamada de resposta transitória, enquanto a parcela que corresponde à solução particular da equação completa é a resposta permanente. Note que calculando i(t) em t = t, obtemos a condição inicial i(t ) = i e calculando o limite dessa expressão para t, chega-se a i( ) = E/R, que é a resposta em regime permanente.

5 . Solução particular da equação completa 5 Além disso, se e s (t) =, dizemos que o circuito está livre e a resposta se reduz a i livre (t) = i e (t t ) L/R, t t, que é chamada de resposta livre e ocorre devido apenas às condições iniciais. Em contrapartida, se i = e e s (t) = EH(t t ), a resposta se reduz a i forçada (t) = E ) ( e (t t ) L/R, t t. R que é chamada de resposta forçada e ocorre devido apenas à função de excitação. Os gráficos dessas respostas estão mostrados na Figura 3 para t =, i = A, L = H, R = Ω e e s (t) = H(t) (V, s). a) Resposta completa 5 i(t) (A) b) Resposta transitória c) Resposta permanente 8 ih(t) (A) 3 ip(t) (A) d) Resposta livre e) Resposta forçada ilivre(t) (A) iforçada(t) (A) Figura 3: Respostas do circuito da Figura, considerando t =, i = A, L = H, R = Ω, e s (t) = H(t), (V, s).

6 . Solução particular da equação completa Usando o princípio da superposição, podemos verificar que i(t) = i transitória (t) + i permanente (t) e i(t) = i livre (t) + i forçada (t). Exercício Resposta do circuito R, C ao degrau Considere o circuito R, C paralelo da Figura com excitação i s (t) = IH(t t ) e condição inicial v(t ) = v. Verifique que a expressão da tensão do capacitor para t t é dada por v(t) = (v RI) e (t t ) RC + RI, t t. () Obtenha as expressões das respostas transitória, permanente, livre e forçada para esse circuito e faça gráficos dessas respostas para t =, v = 8 V, C =,5 F, R = Ω, i s (t) = H(t) (A, s). Exemplo Resposta do circuito R, C à excitação senoidal Considere o circuito R, C paralelo da Figura com excitação i s (t) = cos(t+5,5 o )H(t), (A, s) e condição inicial v() = 8 V. Adote C =,5 F e R = Ω e determine a resposta completa neste caso. Substituindo os dados na equação diferencial (3), chega-se a dv(t) dt + 3 v(t) = cos(t + 5,5o ). (5) Para resolver essa equação, vamos obter inicialmente uma solução particular. Como a excitação é senoidal e o circuito é linear, sabemos que em regime permanente a tensão do capacitor também será senoidal com ω = rad/s. Para obter v p (t), podemos usar fasores. A impedância desse circuito é dada por (verifique!) Z(jω) = R + jωrc Z(j) = + j =, j,973 =,98e j8,5o Ω. O fasor da tensão do capacitor vale V p = Z(j) Îs =,98e j8,5o e j5,5o =,978e j5o V e consequentemente a expressão de sua resposta permanente é v p (t) =,978 cos(t + 5 o ), (V, s). () Substituindo v p (t) em (5), chega-se a,978 sen(t + 5 o ) + 3,978 cos(t + 5o ) = cos(t + 5,5 o ),

7 . Solução particular da equação completa 7 ou ainda, 3,95 cos(t + 35 o ) +,57 cos(t + 5 o ) = cos(t + 5,5 o ). Essa igualdade pode ser verificada facilmente usando fasores, o que mostra que a tensão do capacitor em regime permanente senoidal dada por () satisfaz (5), sendo uma solução particular dessa equação diferencial. Uma vez encontrada a solução particular e lembrando que a constante de tempo do circuito R, C vale τ = RC = 3 s, podemos obter a solução completa dada por v(t) = v h (t) + v p (t) = Ae t/3 +,978 cos(t + 5 o ), t. (7) Ainda precisamos descobrir o valor de A e para isso, vamos impor a condição inicial v() = 8 V, ou seja, v() = 8 = A +,978 cos( + 5 o ) A = 8,978 cos(5 o ) =,5 V. (8) Assim, a expressão da tensão do capacitor para t vale v(t) =,5 e t/3 +,978 cos(t + 5 o ), (V, s). (9) Essa expressão é composta de dois termos: resposta transitória e resposta permanente. A resposta livre será dada por e a resposta forçada por v livre (t) = v e t/τ = 8 e t/3. v forçada (t) = v(t) v livre (t) =,395 }{{} =,5 8 Os gráficos dessas respostas estão mostrados na Figura. e t/3 +,978 cos(t + 5 o ). Exercício 3 Resposta do circuito R, L à excitação senoidal Considere o circuito R, L série da Figura com excitação e s (t) = cos(5t+3 o )H(t), (V, s) e condição inicial i() = A. Adote L =,5 H e R = Ω. Obtenha a expressão de i(t) para t e obtenha também expressões das respostas transitória, permanente, livre e forçada para esse circuito. Esboce os gráficos dessas respostas.

8 . Solução particular da equação completa 8 8 a) Resposta completa v(t) (V) vh(t) (V) b) Resposta transitória c) Resposta permanente vp(t) (V) vlivre(t) (V) 8 d) Resposta livre e) Resposta forçada vforçada(t) (V) Figura : Respostas do circuito da Figura, considerando t =, v = 8 V, C =,5 F, R = Ω, i s (t) = cos(t + 5,5 o )H(t), (V, s).