Linearização de Modelos Matemáticos Não-Lineares. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello 1

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1 de Modelos Matemáticos Não-Lineares Carlos Alexandre Mello 1

2 Embora muitos sistemas sejam vistos como lineares eles são, de fato, lineares em intervalos Se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e os sinais envolvidos tiverem pequena amplitude, é possível aproximar o sistema nãolinear por um linear Ambos serão considerados equivalentes dentro de um conjunto limitado de operações 2

3 Um sistema é definido linear em termos da excitação e da resposta do sistema No caso de uma rede elétrica, a excitação é a corrente de entrada e a resposta é a tensão Em geral, uma condição necessária para um sistema ser linear pode ser determinada em termos de uma excitação x(t) e uma resposta y(t) Quando o sistema está em repouso e é sujeito a uma excitação x 1 (t), ele provê uma resposta y 1 (t); quando ele é sujeito a uma exitação x 2 (t), ele gera uma resposta y 2 (t) 3

4 Para um sistema ser linear, é necessário que a excitação x 1 (t) + x 2 (t) gere uma resposta y 1 (t) + y 2 (t) Isso é normalmente chamado de princípio da superposição Mais ainda, um fator de escala de magnitude deve ser preservado em um sistema linear Para um sistema com entrada x(t) e saída y(t), se a entrada é multiplicada por uma constante, então a saída também será multiplicada por Essa propriedade é chamada de homogeneidade 4

5 Um sistema linear satisfaz as propriedades de superposição e homogeneidade y = x 2 não é linear porque não satisfaz a condição de superposição y = mx + b não é linear porque não satisfaz a condição de homogeneidade No entanto, esse segundo caso pode ser considerado linear sob um ponto x 0, y 0, se as mudanças x e y forem pequenas 5

6 Quando x = x 0 + x e y = y 0 + y, temos: ou y = mx + b y 0 + y = mx 0 + mx + b Para y = mx, as condições necessárias são satisfeitas 6

7 Assim, a ideia é linearizar um sistema não linear assumindo condições de sinais pequenas Considere uma excitação x(t) e uma resposta y(t) A relação entre as duas variáveis pode ser escrita como y = g(x(t)) O ponto de operação normal considerado é x 0 Como a curva (função) é contínua sobre uma área de interesse, uma expansão em série de Taylor sobre o ponto de operação pode ser usada 7

8 Uma expansão em série de Taylor é a expansão de uma série de funções ao redor de um ponto Uma série de Taylor de uma dimensão é uma expansão de uma função real f(x) ao redor do ponto em que x assume um valor qualquer (a, por exemplo) 8

9 Temos então: ou: Apenas notações diferentes... 9

10 A inclinação sob o ponto de operação é uma boa aproximação para a curva sobre uma pequena extensão de (x x 0 ) Assim, uma aproximação razoável é: onde m é a inclinação no ponto de operação x 0 10

11 Temos assim a equação linear: ou y = mx 11

12 Resumo: Base: Expansão em Série de Taylor Considere um sistema com entrada x(t), saída y(t) e relação y = f(x) Se a condição de operação normal corresponde a x 0 e y 0, então a relação entre x e y pode ser expandida como série de Taylor como: (1) com as derivadas avaliadas em (x x 0 ). Se a variação de (x x 0 ) for pequena, podemos desprezar os termos de ordem mais elevada 12

13 Assim, a Equação 1 pode ser re-escrita como: onde: (2) A equação 2 pode ainda ser re-escrita como: Ou seja, (y y 0 ) é proporcional a (x x 0 ) 13

14 Com isso, temos uma aproximação linear para o modelo não-linear dado Considere agora um sistema não-linear cuja saída y é função de duas entradas x 1 e x 2 : y = f(x 1, x 2 ) Expandindo em série de Taylor em torno de x 1 e x 2 : 14

15 O modelo matemático linear desse sistema nãolinear, nas proximidades das condições normais de operação é dado por: onde: 15

16 Se as condições de operação variam muito, essas equações linearizadas não são adequadas e as equações não lineares devem ser usadas 16

17 Exemplo 1: Modelo de Oscilação de Pêndulo Considere o pêndulo abaixo: O torque na massa M é: T = MgL sen, onde g é a gravidade A condição de equilíbrio para a massa é em 0 =0 o 17

18 Exemplo 1 (cont.): A relação entre T e pode ser vista graficamente abaixo: 18

19 Exemplo 1 (cont.): A primeira derivada calculada no ponto de equilíbrio provê a aproximação linear: E, quando T 0 = 0, temos: que é uma aproximação razoável para entre -/4 e /4 Cerca de 5% de erro para = /6 19

20 Linearização Exemplo 2: Linearize a equação não linear z=xy na região 5 x 7, 10 y 12. Encontre o erro para o caso em que a equação linearizada seja utilizada para calcular o valor de z quando x = 5 e y = 10. Solução: Como a região considerada é 5 x 7, 10 y 12, escolhemos x 0 = 6 e y 0 = 11. Assim, z 0 = x 0.y 0 = 6.11 = 66 Expandindo a equação não linear em uma série de Taylor próxima do ponto x 0 = 6 e y 0 = 11 e desprezando os termos de ordem mais elevada, temos: 20

21 Exemplo 2 (cont.): Onde: Logo: 21

22 Exemplo 2 (cont.): Quando x = 5 e y = 10 o valor de z dado pela equação linearizada é 49, enquanto o valor exato seria 50 Isso dá um erro de 2% 22

23 Exemplo 3: Linearize a equação não linear Na região definida por 8 x 10, 2 y 4 Solução: Seja: Então: onde escolhemos x 0 = 9 e y 0 = 3. 23

24 Exemplo 3 (cont.): Desprezando os termos de mais alta ordem, ficamos com: onde: 24

25 Exemplo 3 (cont.): Logo: 25

26 Linearizando uma equação diferencial Problema: Linearize a equação abaixo para pequenos valores ao redor de x = /4 Como o cálculo é feito para uma pequena variação ao redor de /4, podemos considerar x = x + /4 Assim, temos: 26

27 Linearizando uma equação diferencial Problema (cont.): Mas e Linearizando o cos(x + /4): 27

28 Linearizando uma equação diferencial Problema (cont.): Logo: Essa equação pode ser resolvida para x para depois obtermos x = x + /4 28

29 Linearizando uma equação diferencial Circuito Elétrico Não-Linear Problema: Encontrar a função de transferência V L (s)/v(s) para o circuito abaixo, o qual contém um resistor não-linear cuja relação entre corrente e tensão é dada por i r = 2e 0,1vr, onde i r e v r são a corrente e tensão do resistor respectivamente 29

30 Linearizando uma equação diferencial Circuito Elétrico Não-Linear Pela lei das malhas, temos: Ou seja: Considerando i 0 como a corrente de equilíbrio, tomamos uma pequena variação, assim, i = i 0 + i Logo: 30

31 Linearizando uma equação diferencial Circuito Elétrico Não-Linear Precisamos agora linearizar : Assim, a equação diferencial fica: 31

32 Linearizando uma equação diferencial Circuito Elétrico Não-Linear Vamos analisar a condição de equilíbrio Se a fonte v(t) for ajustada para zero, teremos apenas a bateria de 20V em série com o indutor e o resistor nãolinear No estado estacionário, a tensão sobre o indutor será zero já que v L (t) = Ldi/dt e di/dt = 0 no estado estacionário, com a bateria constante Assim, a tensão do resistor é 20V Como i r = 2e 0,1vr, então i r = 2e 0,1.20 = 14,78 amps = i 0 32

33 Linearizando uma equação diferencial Circuito Elétrico Não-Linear Agora, voltando para a equação diferencial após a linearização com L = 1 e i 0 = 14,78 Obs: 10*ln(14,78/2) 20 33

34 Linearizando uma equação diferencial Circuito Elétrico Não-Linear A tensão no indutor é dada por: Como: Então: Para pequenos valores ao redor de i = 14,78 amps 34

35 A Seguir... Resposta no Tempo 35