a) ( ) b) ( ) ( ) 1. Resolva as equações diferenciais: 2. Resolver os seguintes Problemas dos Valores Iniciais:

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1 Universidade do Estado de Mato Grosso - Campus de Sinop Cálculo Diferencial e Integral III - FACET Lista 2 Profª Ma. Polyanna Possani da Costa Petry 1. Resolva as equações diferenciais: 2. Resolver os seguintes Problemas dos Valores Iniciais: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f) ( ) ( ) 3. Ache o valor de b que torna a equação abaixo exata. Resolva a equação usando o valor de b encontrado. ( ) ( ) 4. Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas se tornam exatas quando multiplicadas pelo fator integrante dado, em seguida resolva as equações. ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Verifique se as equações diferenciais são exatas e as resolvam. Caso contrário, encontre o fator integrante que a torne exata e resolva. ( ) ( ) 6. Fazendo mudança de variável resolva as equações diferenciais:

2 7. Resolva as equações diferenciais e os PVI s quando dados, procurando identificar primeiramente o método a ser utilizado. ( ) i) j) ( ) ( ) ( ) f) ( ) k) l) m) ( ) n) ( ) o) h) 8. Seja ( ) o nível de desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento. O gráfico de é chamado curva de aprendizagem. A derivada representa a taxa na qual o desempenho melhora, dada pela equação diferencial [ ( )] onde é uma constante positiva e é o nível máximo de desempenho. Resolva essa equação e use sua solução para plotar a curva de aprendizagem. 9. Dois novos trabalhadores foram contratados para uma linha de montagem. João processou 25 unidades durante a primeira hora e 45 unidades durante a segunda hora. Marcos processou 35 unidades durante a primeira hora e 50 unidades na segunda hora. Usando o modelo do exercício anterior e assumindo que ( ), estime o número máximo de unidades por hora que cada trabalhador é capaz de processar. 10. Considere um circuito elétrico contendo um capacitor, um resistor e uma bateria. A carga ( ) no capacitor satisfaz a equação onde é a resistência, a capacitância e a voltagem constante fornecida pela bateria. Se ( ), encontre ( ) em qualquer instante.

3 11. No circuito do exercício anterior, suponha que a resistência seja e a capacitância, ; a pilha forneça uma voltagem constante de e a carga inicial seja ( ). Encontre a carga no tempo. 12. Movimento Vertical: Descreva o movimento vertical de um corpo de massa m sob a ação da gravidade em um meio que oferece resistência proporcional à velocidade do corpo. Deseja-se conhecer a posição do corpo num instante t. 13. Resfriamento de um corpo: Consideremos um modelo simplificado para o fenômeno de variação de temperatura num corpo por perda ou ganho de calor para o meio ambiente, fazendo as seguintes hipóteses: i. A temperatura é a mesma no corpo todo e depende apenas do tempo. ii. A temperatura do meio ambiente,, é constante com o tempo. iii. O fluxo de calor através das paredes do corpo dado por é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e do meio ambiente, isto é, ( ) (chamada lei de Newton para resfriamento) onde é uma constante positiva que depende das propriedades físicas do corpo. Conhecendo-se que a temperatura ( ). Determine a equação que fornece a temperatura do corpo no instante. Calcule tal que atinge 99% da temperatura ambiente. 14. A equação básica que rege a quantidade de corrente I (em ampères) em um circuito simples do tipo RL (Fig. I), consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é Sabendo que um circuito RL tem f.e.m. de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry e, a corrente inicial é zero. Determine a corrente no circuito no instante t. 15. Um corpo à temperatura de 50 F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 100 F. Se após 5 min. a temperatura do corpo é de 60 F, determine: O tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 75 F; a temperatura do corpo após 20 min. 16. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de 30 F. Se, após 10 min, a temperatura do corpo é 0 F e após 20 min é 15 F, determine a temperatura inicial.

4 17. Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 1 grama de sal. No instante t=0, adiciona-se outra solução de salmoura com 1 grama de sal por litro, à razão de 3 litros por min, enquanto a mistura resultante se escoa à mesma taxa. Determine: A quantidade de sal presente no tanque no instante t; O instante em que a mistura restante no tanque conterá 2 gramas de sal. GABARITO ( ) ( ) ( ) f) ( ) ( ) ( ) 7. ( ) ( ) ( ) h) ( ) ( ) i) ( ) ( ) j) ( ) f) ( ) ( ) k) l) m) n) ( )

5 o) 8. ( ) 9. é o número máximo de unidades por hora que João é capaz de processar e é o número máximo de unidades por hora que Marcos é capaz de processar. 10. ( ) ( ) 11. ( ) ( ) 12. ( ) * ( ) [ ] [ ] 14. ( ) 15. min F 16. F 17. ( ) min