EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EDOs de primeira ordem Problema de Valor Inicial (PVI) dy dx = f x, y y x 0 = y 0 Método de passo simples valor novo = valor antigo + inclinação passo Método de Euler y i+1 = y i + f x i, y i h

2 EXEMPLO 22 A taxa de transformação de um composto dentro de um reator segue uma cinética de primeira ordem conforme a equação dc dt = kc onde k é a constante de velocidade. Considerando uma concentração inicial c 0 = 10 g L -1 e k = 0,2 min -1, calcule os valores da concentração do composto no intervalo de 0 até 30 minutos. Use o método de Euler e compare o cálculo com passos de 3, 1 e 0,5 minutos, para fazer a comparação use o valor exato da equação diferencial como uma referência.

3 MÉTODO DE EULER MODIFICADO h y i+ 1 = y i + f x i, y i 2 2 y i+1 = y i + f x i+ 1, y 2 i+ 1 h 2

4 EXEMPLO 23 Considere um reator em estado transiente conforme a representação abaixo O balanço de massa para esse reator pode ser escrito como Acúmulo = Entrada Saída, ou seja, V dc dt = Qc in Qc onde V (m 3 ) é o volume do reator, c (mg m -3 ) a concentração no interior do reator, Q (m 3 min -1 ) é a vazão e c in (mg m -3 ) é concentração na entrada do reator. Considere c in = 50 mg m -3, Q = 5 m 3 min -1, V = 100 m 3 e que para t = 0 min, c 0 = 10 mg m -3. Calcule a concentração no interior do reator para o intervalo de 0 a 60 min usando o método de Euler e Euler modificado. Compare os valores calculados usando um passo de 10 min e depois 5 min, use a solução exata representada pela equação abaixo como referência. c = 50 1 e 0,05t + 10e 0,05t

5 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA (RK) Classe de métodos de passo simples A função incremento (inclinação) pode ser de ordem n Os valores de de a, p e q são constantes usadas para calcular as relações de recorrência k e possibilitam infinitos métodos de RK.

6 RUNGE-KUTTA NO MATLAB No MATLAB existem diversos esquemas RK para a solução de EDOs: ode45, ode15s, ode23, ode113, ode23t, ode23tb, ode23s e ode15i. A função ode45 é a primeira escolha para a maioria dos problemas. ode45: método de passo simples adaptativo de ordem variável entre 4 e 5 (Dormand-Prince). >> [x,y] = ode45(odefun,x,y0);

7 EXEMPLO 24 Suponha que um grande tanque para misturas, figura ao lado, contenha inicialmente 300 L de água, no qual foram dissolvidos 50 g de sal. Então, quando a solução está bem misturada, uma outra solução de sal com concentração de 2 g L -1 é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 L min -1 e a solução do tanque é bombeada para fora a uma taxa de 3,5 L min -1. (a) Determine uma equação diferencial para a massa de sal no tanque em qualquer instante t. (b) Calcule uma solução para essa equação usando o método de Euler, Euler modificado e RK usando a função ode45 do MATLAB. Faça gráficos para comparar as respostas usando passos de 30 min e 15 min.

8 SISTEMAS DE EDOS n EDOs com n condições iniciais. Os métodos de passo simples podem ser empregados.

9 EXEMPLO 25 A hidrogenação do óleo de soja em presença de um catalisador metálico é um processo muito empregado pela indústria de alimentos para produzir gorduras com características bem definidas. Para o óleo de soja, a hidrogenação pode ser representada de maneira simplificada por um mecanismo de três reações consecutivas. C18: 3 k 1 C18: 2 k 2 C18: 1 k 3 C18: 0 Onde C18:3 representa o ácido linolênico, C18:2 o ácido linoleico, C18:1 o ácido oleico, C18:0 o ácido esteárico e k i a constante de velocidade de cada reação consecutiva. (a) Escreva um sistema de EDOs para representar esse mecanismo de reação. (b) Resolva o sistema de EDOs no intervalo de 0 até 5 horas considerando k 1 = 0,0760 min -1, k 2 = 0,0454 min -1, k 3 = 0,0039 min -1, C C18:3,0 = 6,0 g/100g óleo, C C18:2,0 = 48,0 g/100g óleo, C C18:1,0 = 29,0 g/100g óleo e C C18:0,0 = 5,0 g/100g óleo. Teste a solução para os passos de 30 min, 15 min e 5 min.

10 EDO DE ORDEM SUPERIOR EDOs de ordem superior podem ser reduzidas a um sistema de EDOs de primeira ordem. Suponha uma EDO de segunda ordem a d2 y dy + b dx2 dx + cy = 0 dy dx = z d 2 y dx 2 = dz dx a dz dx + bz + cy = 0 dz dx = bz cy a y 0 = y 0 dy(0) dx = y 1

11 EXEMPLO 26 O movimento harmônico livre pode ser utilizado para descrever o deslocamento realizado por um peso preso em uma mola, figura ao lado, conforme a equação abaixo d 2 s dt onde s (m) é o deslocamento 2 + k m s = 0 em relação à posição de equilíbrio, k (N m -1 ) é a constante elástica da mola e m (kg) é a massa do corpo peso preso na mola. Suponha que um peso de 1 kg seja deslocado em 50 cm da posição de equilíbrio da mola e que após ser solto o deslocamento tenha uma velocidade inicial de 1,0 m s -1 e k = 49 N m -1. Resolva a EDO de ordem superior no intervalo de 0 a 10 s usando os métodos de Euler, Euler modificado e RK45. Teste os passos de 0,1 s 0,01 s e 0,001 s.

12 EDO PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO Método de diferenças finitas: Divisão do domínio em um conjunto de pontos nodais (malha) Aproximação das derivadas por diferenças finitas usando a série de Taylor (sempre que possível usar diferenças finitas centrais) Colocação da equação de diferenças (montagem do sistema de equações algébricas) Incorporação das condições de contorno: Dirichlet (tipo 1) ou Neumann (tipo 2) Resolução do sistema de equações algébricas

13 EXEMPLO 27 A variação de temperatura ao longo de uma haste longa e fina pode ser modelada pela equação d 2 T dx 2 + k T a T = 0 onde T ( C) é a temperatura em qualquer posição x (m) da haste, k (m -2 ) é o coeficiente de transferência de calor e T a ( C) é a temperatura ambiente. Considere uma haste de 10 m, figura ao lado, com T(0) = 40 C, T(L) = 200 C, T a = 20 C e k = 0,01 m -2. Faça a previsão da temperatura ao longo da haste usando o método de diferenças finitas centrais. Compare a solução com 6 pontos nodais ao resultado exato dessa equação. T = 73,4523e 0,1x 53,4523e 0,1x + 20

14 EXEMPLO 28 Reconsidere o exemplo 27 alterando a condição de contorno em x = 0 para dt dx = 0. Resolva o problema usando diferenças finitas centrais com uma malha de 11 pontos.