Setor de Tecnologia - TC Engenharia Ambiental Avaliação 1. Matemática Aplicada II

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1 Universidade Federal do Paraná Matemática Aplicada II Setor de Tecnologia - TC Engenharia Ambiental Curitiba, Avaliação 1 Matemática Aplicada II Tobias Bleninger Departamento de Engenharia Ambiental (DEA) Centro Politécnico, Bloco V, Caixa Postal 19011, , Curitiba - PR, Brasil Nome: Pontuação (preenchido pelo Professor): Questão Pontos Pontos totais Porcentagem Soma 90 Nota Final (

2 Questões 1. (35 P) Dado a equação de difusão C t = D ²C (1) para um tubo muito longo e de x² pequeno diâmetro (área A) cheio de água e uma injeção instantânea de uma massa M de um poluente uniformamente na seção no ponto x o representado pela condição inicial C(x,0) = M/A (x-x o ) e as condições de contorno C(,t)=0 resolva os seguintes passos: a. Escreva a transfomada de Fourier da função C(x,t) b. Use a transformada na equação de difusão (1) e resolva a equação. c. Aplique a condição inicial da mesma forma. d. Faça a transformada inversa para obter a solução do problema. e. Calcula a concentração no ponto x = 10,1cm depois de t=1000s para uma injeção de M=10mg em x o =10cm num tubo de A=0,1cm² para um coeficiente de difusividade molecular típico para uma substancia dissolvida na água. Solução: C(x,t) = M/(A(4piDt)^0.5) exp (-(x-x o )^2/(4Dt)) 2. (15 P) Resolva as seguintes questões para obter algoritmos de soluções numéricas da equação de Poisson. a. Descreva a discretização de ²u no nó i usando diferenças finitas centradas x² com 3 pontos. Solução: (U i+1,j - 2U i,j +U i-1,j )/ x 2 b. Determine a ordem de acurácia deste método. Solução: O( x 2 ) c. Use o resultado de (a) para descrever a equação de Poisson bidimensional em diferenças finitas. Solução: (U i+1,j - 2U i,j +U i-1,j )/ x 2 + (U i,j+1-2u i,j +U i,j-1 )/ y 2 = F(x,y) d. Agora descreva em palavras ou equações ou comandos de Matlab/Octave ou esquematicamente cada passo do algoritmo para calcular a distribuição de calor numa placa quadrado (2D) de alumínio com condições de contorno do tipo Dirichlet com valores diferentes em cada canto da placa. Solução: i) escrever equação ordenada em forma matricial para cada ponto interno, ii) coloqe valor do contorno nos pontos = e m+1 e n+1, iii) resolva matriz com Gauss- Seidel, iv) vetor S dar resultado dos valores u i,j e. Descreva em uma frase e uma equação o conceito de introduzir condições de contorno do tipo Neumann neste esquema. Solução Utilizar Pontos imaginários 3. (15 P) Resolva as seguintes questões para obter algoritmos de soluções numéricas da equação de difusão. a. Descreva uma discretização qualquer da equação de difusão unidimensional, não homogênea no nó i usando diferenças finitas. b. Explique/categorize a discretização escolhida em uma frase. c. Determine a ordem de acurácia do método e o critério de convergência. d. Descreva uma vantagem e uma desvantagem da discretização usada. (C l+1 i - C l l i )/ t = D[(C i+1-2c l i + C l i-1 )/( x) 2 ] + f(x i, t l ) 2

3 Metodo explicito com O( t) em tempo e O( x 2 ) em espaço, estável para r = D t/( x 2 ) < ½. Metodo fácil de implementar, mas instável para r > 0,5 4. (10 P) Dado o seguinte código em Matlab/Octave descreva o que será calculado passo a passo. load lake.dat z = lake(:,1); t = lake(:,2); spacing(1)=abs(z(1)); for i=2:max(size(z)) spacing(i)=abs(z(i))-(abs(z(i-1))); end dts = gradient(t, spacing); dt=gradient(t); dt2=gradient(dts, spacing); subplot(1,4,1) plot(t,z) subplot(1,4,2) plot(dt,z) subplot(1,4,3) plot(dts,z) subplot(1,4,4) plot(dt2,z) 5. (15 P) Avalie as frases seguintes, escrevendo se são verdadeiras ou falsas (resposta certa: pontuação positiva; resposta errada: pontuação negativa; sem resposta: 0, pontuação mínima nesta questão: 0): a. "A equação ²u x² + xu u = 1 é uma equação diferencial parcial de segunda y ordem, não linear e não homogênea." b. "A equação de Laplace é uma equação elíptica que geralmente descreve sistemas em estados permanentes em uma duas ou três dimensões espaciais." c. " A equação ²y x² - 1/c² ²y = 4x é uma equação diferencial parcial parabólica, t² chamado a equação da onda.", hiperbolica d. " A condição de contorno T(x=0,t) = t é do tipo Neumann." 3

4 , Dirichlet e. "Series de Fourier são usados para problemas periódicas em intervalos finitos, porem integrais de Fourier são usados para problemas não-periódicas e intervalos infinitos." 4

5 Equações dadas: Transformada de Fourier: (w)= 1 + 2π - + f(x)e -iwx dx f(x)= 1 2π - (w) e iwx dw Transformada de Fourier da Derivada de f(x): (f (x))=iw (f(x)) Transformadas de Fourier (w) para algumas funções f(x): 5