Transferência de Calor

Transcrição

1 Transferência de Calor Condução Bidimensional Filipe Fernandes de Paula Departamento de Engenharia de Produção e Mecânica Faculdade de Engenharia Universidade Federal de Juiz de Fora Engenharia Mecânica 1/33

2 Introdução 2/33

3 Introdução Considerando um sólido prismático, onde existe condução bidimensional de calor; Duas superfícies estão isoladas e duas a temperaturas T 1 > T 2. Assim, há transferência de calor da superfície 1 para 2; A Lei de Fourier, diz que o fluxo de calor é um vetor sempre perpendicular às superfícies de temperatura constante (isotermas); O fluxo de calor q é a resultante das conponentes q x e q y ; 2/33

4 Introdução Em qualquer análise de transferência por condução, existe dois principais objetivos a serem determinados: Distribuição de temperatura; Fluxo de calor. Para problemas bidimensionais em regime permanente e sem geração interna de calor, é preciso resolver a equação do calor condução na seguinte forma: Métodos para resolver a equação 1 incluem: Método anaĺıticos; Método gráfico; Métodos numéricos. Método das diferenças finitas; Método dos elementos finitos; Método dos elementos de contornos. 2 T x T y 2 = 0 (1) 3/33

5 Solução Anaĺıtica 4/33

6 Introdução O método anaĺıtico possui como vantagem a obtenção da solução exata da equação 1; O problema é mais complicado que os anteriores, pois a equação é diferencial parcial; A solução é dada em uma série de Fourier, que é uma série de senos e cossenos; Pode ser obtida para um restrito grupo de geometrias simples; O método mais comum utilizado para solucionar equações diferenciais parciais, tais como a equação do calor, é o método de separação de variáveis. 4/33

7 Método de Separação de Variáveis 5/33

8 Método de Sepação de Variáveis Para simplificar a solução, é introduzido a seguinte transformação: θ = T T 1 T 2 T 1 (2) 2 θ x θ y 2 = 0 (3) A solução será determinada para as seguintes condições de contorno: 5/33

9 Método de Sepação de Variáveis Resolvendo a equação 3, tem-se a seguinte solução: θ(x, y) = 2 ( 1) n sin nπx sinh(nπy/l) π n L sinh(nπw /L) n=1 (4) 6/33

10 Métodos Numéricos 7/33

11 Introdução Problemas reais de transferência de calor possuem geometrias complexas, o que dificulta a obtenção de soluções anaĺıticas; Métodos numéricos apresentam soluções aproximadas, mas possuem as seguintes vantagens: Solução para geometrias complexas e variadas; Podem ser extendidas para condução tridimensinal. Para introduzir a técnica utilizada em métodos numéricos, será utilizado o método das diferenças finitas. 7/33

12 Método das Diferenças Finitas 8/33

13 Método das Diferenças Finitas Métodos numéricos permitem a obtenção de solução em pontos discretos do domínio; O primeiro passo em uma análise numérica é determinar quais pontos serão analisados, gerando a malha; 8/33

14 Método das Diferenças Finitas A idéia do método das diferenças finitas é escrever as derivadas como diferenças finitas; 9/33

15 Método das Diferenças Finitas Escrevendo derivadas parciais em x e y de segunda ordem, tem-se: 2 T x 2 = T m+1,n + T m 1,n T m,n m,n ( x) 2 (5) 2 T y 2 = T m,n+1 + T m,n 1 T m,n m,n ( y) 2 (6) substituindo na equação do calor e assumindo x = y, tem-se: T m+1,n + T m 1,n + T m,n+1 + T m,n 1 4T m,n = 0 (7) 10/33

16 Método das Diferenças Finitas 11/33

17 Método das Diferenças Finitas 12/33

18 Resolvendo as Equações do Método das Diferenças Finitas As equações são colodas em formato de um sistema; Para uma malha com N pontos, existem N temperatura desconhecidas, levando à necessidade de resolver um sistema de N equações. 13/33

19 Resolvendo as Equações do Método das Diferenças Finitas Escrevendo o sistema em uma notação matricial, tem-se: Assim, o problema se resume a solução de sistemas lineares; Resolvendo o sistema matricial, encontra-se a distribuição de temperaturas na malha. 14/33

20 Softwares Muitos softwares tem a capacidade de realizar cálculos numéricos de geometrias muito complexas; Entre muitos, alguns muito utilizados são: Ansys; Abaqus; Solidworks; 15/33

21 Softwares 16/33

22 Softwares 17/33

23 O Fator de Forma e a Taxa de Condução de Calor Adimensional 18/33

24 Introdução Em geral, utilizar o método anaĺıtico é complexo, demanda muito tempo e restritivo; O método numérico também demanda muito tempo para sua implementação; Dependendo da malha, do problema ou dos recursos computacionais, pode levar muito tempo para resolver todas as equações e chegar em uma solução. Pelos motivos apresentados, uma outra abordagem para solução rápida de problemas bidimensinais pode ser tomada: utilizar soluções já existentes da equação do calor de problemas semelhantes; 18/33

25 Fator de Forma O fator de forma S é definido como: q = Sk T 1 2 (8) Onde, T1 2 é a diferença de temperatura entre os contornos. A resistência térmica de condução em duas dimensões é dada por: R t,cond(2d) = 1 Sk (9) O fator de forma foi determinado para vários casos bi e tridimensionais; 19/33

26 Fator de Forma Nos casos 1 ao 8 e o caso 11, é assumido que a condução ocorre entre os contornos que são mantidos à temperaturas uniformes (T 1 e T 2 ); 20/33

27 Fator de Forma 21/33

28 Fator de Forma 22/33

29 Fator de Forma No caso 9 existe condução de calor na região do vértice; No caso 10, a condução ocorre entre um disco isotérmico (T 1 ) e um meio semi-infinito de temperatura uniforme (T 2 ). 23/33

30 Fator de Forma Fatores de forma também podem ser definidos para geometrias unidimensionais; Para paredes, pode-se definir os seguintes fatores de forma: S Plana = A L S Cilindrica = 2πL ln(r 2 /r 1 ) (10) (11) S Esférica = 4πr 1r 2 r 2 r 1 (12) 24/33

31 Taxa de Condução de Calor Adimensional Para casos em que o objeto está a uma temperatura T 1 e envolto por um meio considerado infinito a uma temperatura T 2, a taxa de transferência de calor pode ser dada em termos da taxa de condução de calor adimensional; A taxa de condução de calor adimensional é definido como: q ss = ql c ka s (T 1 T 2 ) (13) Onde L c é o comprimento característico, dado por: L c = ( ) 1/2 As (14) 4π Sendo As a área superficial do objeto. 25/33

32 Taxa de Condução de Calor Adimensional 26/33

33 Taxa de Condução de Calor Adimensional Pode-se encontrar o fator de forma através da taxa de condução de calor adimensional. S = q ssa s L c = q ss(4πa s ) 1/2 (15) 27/33

34 Exemplo Exemplo 1 - Um fio elétrico metalico, de diâmetro d = 5mm, deve ser coberto com um isolante de condutividade térmica k = 0, 35W /(m K) e 21mm de espessura. Espera-se que, em uma instalação típica, o fio coberto seje exposto a condições nas quais o coeficiente total associado à convecção e a radiação seje h = 15W /(m 2 K). Durante o processo de cobertura do fio a espessura do isolante as vezes varia ao redor de sua periferia, resultando em excentricidade do fio em relação à cobertura. Determine a variação na resistência témica do isolante devido a uma excentricidade que é de 50% da espessura do isolante. 28/33

35 Exemplo 29/33

36 Exemplo Exemplo 2 - Rejeitos radioativos são temporariamente armazenados em um recipiente esférico, cujo centro encontra-se enterrado a uma distancia de 10m abaixo da superfície da terra (k = 0, 52W /m K). 0 diâmetro externo do recipiente possui 2m e 500W de calor são liberados como resultado do processo de decaimento radioativo. Se a temperatura da superfície do solo é de 20 C, qual é a temperatura da superfície externa do recipiente em condições de regime estacionário? 30/33

37 Exemplo 31/33

38 Exemplo (4.17) Exemplo 3 - Uma fornalha de formato cúbico com dimensões externas de 0, 35m, é construída com tijolos refratários (k = 1, 1W /mk), sendo a espessura da pare de igual a 50mm. A superfície interna é mantida a uma temperatura de 600 C e a superfície externa a 75 C. Calcule a perda de calor na fornalha. 32/33

39 Exemplo 33/33