Condução de calor Transiente

Transcrição

1 Fenômenos de Transporte Capitulo 8 cont. Condução de calor Transiente Prof. Dr. Christian J. Coronado Rodriguez IEM - UNIFEI

2 Condução de calor transitória Se as condições de contorno térmica são dependentes do tempo, a equação completa da condução de calor é requerida para descrever o processo de condução. O modelo matemático inclui a distribuição de temperatura inicial no corpo, bem como as condições de contorno térmicas nas superfícies do corpo.

3 ANÁLISE CONCENTRADA Um corpo inicialmente a uma temperatura uniforme, T 0, experimenta repentinamente uma mudança térmica em seu meio circunvizinho. A taxa com que essa mudança é sentida no interior dependerá da resistência à transferência de calor oferecida em suas superfícies e a resistência oferecida internamente, dentro do material. A temperatura dependente do tempo pode ser determinada através do uso de uma análise concentrada.

4 Aprimeiraleiparaocorpoirregularmostradonafiguraé:

5 Em t > 0, a temperatura do fluido ao redor do solido é alterada para T. Se a resistência interna for desprezada, a temperatura do corpo será uniforme, a expressão para a primeira lei torna-se: Acondiçãoinicialé t=0et=t 0 A distribuição de temperatura no corpo é obtida pela integração da Eq. anterior:

6 A é a constante de integração. A condição inicial é determinada para achar a constante de integração. Aexpressãofinalparaatemperaturadocorpoé: Essa expressão pode ser transformada em uma forma adimensional através da introdução de alguns grupos adimensionais. Temperatura:

7 UmcomprimentocaracterísticoL c,édefinidocomo: A difusividade térmica é introduzida: O expoente na Eq. Anterior, pode ser expresso em termos de dois grupos adimensionais que são muito utilizados em TC. Esses sãoonúmerodebioteonúmerodefourier.

8 A temperatura do corpo em forma adimensional torna-se: O numero de Biot pode ser usado para determinar se erros significativos são introduzidos no cálculo da resposta transitória de um corpo usando a análise concentrada. Tem sido mostrado que uma precisão razoável pode ser obtida utilizando uma analise concentrada se Bi < 0,1. AtaxadeTCemqualquerinstantepodeserdeterminada atravesde:

9 A quantidade total de energia ganha pelo corpo no tempo t podeserencontradaatravesde: Isso representa a quantidade máxima de energia que pode ser ganha pelo corpo. Se houver geração interna de calor no corpo que comece em t=0, a equação diferencial da energia será:

10 Exemplo Uma esfera solida de aço, AISI 1010, com 1 cm dediâmetro, inicialmentea15 C,écolocadaemuma correntedear,t = 60 C. Estimar a temperatura dessa esfera em função do tempo depois de ter sido colocada na corrente de ar quente. O coeficiente médio de transferência de calorporconvecçãoéde20w//m 2 C.

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14 A taxa na qual calor é transferido para a esfera pode ser calculado a partir da temperatura conhecida da esfera.

15 UNIFEI 2013 ANÁLISE UNIDIMENSIONAL Se o fluxo de calor transitório em um corpo for considerado unidimensional, T (x, t), e na ausência de geração interna de calor, a equação da condução de calor no sistema de coordenadas cartesianas reduz-se a: 2 x T 2 = 1 α T t Quatro configurações específicas serão consideradas, nas quais a TC é unidimensional

16 a) Solido semi-infinito Existem muitas situações nas quais um corpo comportase, termicamente como um solido semi-infinito. Considere uma mudança súbita na temperatura do fluido adjacente à placa mostrada na Fig. ocorrendo em t=0

17 Como resultado do distúrbio térmico uma onda de temperatura move-se da superfície para dentro do material. Enquanto a onda de temperatura não atingir outra fronteira ou encontrar outra onda de temperatura originada em outra fronteira, ela irá se comportar como se estivesse sendo transmitida dentro de um solido semi-infinito. Assim, se 0 < t< t 1, onde t 1 é o tempo requerido para a onda de temperatura atingir a onda de temperatura de outra fronteira, a solução de solido semi-infinito é satisfatória para a placa. O solido semi-infinito mostrado na figura a seguir esta inicialmente a uma temperatura uniforme, T 0. A superfície do corpo em x = 0 experimenta uma mudança súbita na sua condição de contorno. A distribuição de temperatura no solido pode ser determinada com as seguintes expressões:

18 A. Mudança súbita na temperatura da superfície (tipo função degrau). A distribuição de temperatura é: B. Mudança súbita no fluxo de calor(tipo função degrau):

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20 C. Mudança súbita na temperatura no fluido (tipo função degrau):

21 EXEMPLO Uma parede muito grossa de carvalho está inicialmente a uma temperatura uniforme de 20 C. Ela é exposta repentinamente a uma correntequentedegás, T = 200 C. Estimaratemperaturadasuperfícieda madeira 10 seg. depois do gás entrar em contato coma a madeira. O coeficientedetransferênciadecalorporconvecçãoéde100w/m 2 C.

22 A temperatura da superfície, x = 0 em t=10 s, pode ser estimada assumindo que a parede se comporte como uma placa semi-infinita a traves da Eq. (Caso C). A temperatura a uma localização de 3 cm a partir da superfície da parede 10 s após o gás entrar em contato com a madeira pode ser determinada através da mesma Eq.

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24 b) Placa infinita A resposta transitória de uma placa infinita frente a uma mudança nas condições de contorno é obtida através da solução da Eq. de condução de calor transitória unidimensional com a distribuição da temperatura inicial na placa e as condições de contorno térmicas. Para a placa que esta na figura, que esta inicialmente a uma temperatura uniforme T 0 o modelo matemático é o que segue.

25 A Eq. da condução de calor transitório (unidimensional) é:

26 Uma analise do modelo matemático para a placa infinita, descrito pela equação diferencial e as condições de contorno e inicial, indica que a distribuição de temperatura na placa é uma função de nove variáveis T(x, ρ, T 0, L, T, k, h, c, t). Com o intuito de reduzir o numero de variáveis, grupos adimensionais serão formados. Um adimensional do comprimento, temperatura, e tempo (numero de Fourier) será definido A eq. Diferencial (unidimensional) pode ser expressa em termos dessas variáveis utilizando

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28 A condição de contorno em X=L, expressa em termos dos grupos adimensionais anteriormente introduzido, é:

29 As Eqs. anteriores indicam que a temperatura adimensional pode ser expressa como uma função de somente três grupos adimensionais(x, Fo, Bi), sendo uma redução significativa no numero de variáveis que são requeridas para apresentar a solução para uma distribuição de temperatura transitória em uma placa infinita. A distribuição de temperatura em uma placa infinita, na superfície adiabática, no plano de simetria, e na superfície em contato com o fluido pode ser obtida das Figs a seguir. O comprimento característico usado na definição do comprimento adimensional é a distancia do plano adiabático à superfície em contato com o fluido, L. O calor adimensional perdidoporumaplacaaumatemperaturainicialt 0 é:

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33 EXEMPLO Uma grande parede solida de tijolo com 15 cm de espessura atinge uma temperatura uniforme de 0 C durante uma noite de inverno. Ás 9:00 horas da manhã o ar adjacente à parede aquece-se até uma temperatura de 15 C. O ar mantém esta temperatura até as 15:00 horas. Estimar a temperatura na linha de centro e na superfície da parede de tijolo ao meio-dia. Determinar também a temperatura media do tijolo e a quantidadedecalorquefoitransferidadoarparaotijolo. O coeficiente de transferência de calor por convecção pode serconsideradoconstanteéiguala50w/m 2 C.

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