Lei de Fourier. Considerações sobre a lei de Fourier. A lei de Fourier é fenomenológica, isto é, desenvolvida de fenômenos observados.
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- Diego Assunção Rosa
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1 Condução de Calor
2 Lei de Fourier A lei de Fourier é fenomenológica, isto é, desenvolvida de fenômenos observados Considerações sobre a lei de Fourier q x = ka T x Fazendo Δx 0 q taxa de calor [J/s] ou [W] q fluxo de calor [W/m 2 ] k condutividade térmica do material [W/mK] A área normal a direção da transferência de calor [m 2 ] T temperatura [K] q x = ka dt dx Taxa de transferência de calor por condução [W] q" x = q x A dt = k dx Fluxo de transferência de calor por condução [W/m 2 ]
3 Para o caso unidimensional de uma parede plana q x >0 q x <0 Sinal de menos é necessário porque o calor é sempre transmitido no sentido da diminuição da temperatura
4 Forma Geral da Lei de Fourier Temperatura (escalar) q" = k T = k i x + j y + k z Operador gradiente (vetorial) O fluxo térmico pode ser decomposto, de modo que em coordenadas cartesianas: q" = q" x i + q" y j + q" z k q" x = k x q" y = k y q" z = k z
5 Propriedades Termofísicas da Matéria k transferência de calor ν transferência de Q.M. Propriedades Termofísicas Propriedades de Transporte Propriedades de Termodinâmicas ρ massa específica cp calor específico T temperatura p pressão i Entalpia ρ.cp =C [J/m 3 K] capacidade calorífica volumétrica Capacidade do material de armazenar energia térmica
6 Capacidade Calorífica Volumétrica (C) Massa específica elevada Sólidos e Líquidos (ρ.cp) > 1 MJ/m 3 k Gases (ρ.cp) 1 MJ/m 3 k Massa específica baixa Os sólidos e líquidos possuem maior capacidade de armazenar energia térmica se comparado aos gases. Sendo que muitos sólidos e líquidos são considerados meios bons para armazenar energia
7 Condutividade Térmica (k) k x = q" x / x Em geral: k do sólido > k líquido > k gás Nos fluidos o espaçamento molecular é maior que no sólidos, por isso a condutividade térmica é menor. Para materiais isotrópicos a condutividade não depende da direção de transferência k = k x = k y = k z
8 Difusividade Térmica α = k ρc p Relação entre o calor transportado por condução (k) e a energia armazenada (ρ.cp) Difusividade térmica [m 2 /s] α elevados resposta rápida a mudanças nas condições térmicas. α baixos resposta lenta, mais tempo para atingir nova condição de equilíbrio.
9 Exemplo 1 A difusividade térmica α é a propriedade de transporte que controla processos de transferência de calor por condução em regime transiente. Usando valores apropriados de k, ρ e c p, calcule α para os seguintes materiais nas temperaturas indicadas: alumínio puro, 300 e 700 K; carbeto de silício, 1000 K ; parafina, 300 K.
10 Equação da Difusão Térmica Objetivo: obter o campo de temperatura Fluxo de calor Campo de temperatura Integridade estrutural tensões, expansões e deflexões térmicas Otimização de um isolante térmico
11 Aplicando o princípio da Conservação de Energia E e + E g E s = E ac = de ac dt q x + q y + q z + E g q x+dx q y+dy q z+dz = de ac dt 0 q x+dx = q x + q x x dx + q 2 x (dx) 2 x 2 2! + Expansão em série de Taylor
12 Então q x+dx = q x + q x x dx Energia Gerada E g = qdxdydz q y+dy = q y + q y y dy Energia Acumulada de ac dt = du dt = mdu dt q z+dz = q z + q z z dz = ρv du dt = ρvc p dt dt Energia térmica gerada por unidade de volume de ac dt = ρc p dt dt dxdydz Substituindo na Equação da Energia q x + q y + q z + qdxdydz q x q x x dx q y q y y dy q z q z z dz = ρc p dt dt dxdydz
13 qdxdydz q x x dx q y y dy q z z dz = ρc p dt dt dxdydz Sabendo que as taxa são dadas pela Lei de Fourier q x = kdydz x q y = kdxdz y q x = kdxdy z Substituindo na equação da Energia qdxdydz + x k x dxdydz + y k y dxdydz + z k z dxdydz = ρc p dt dt dxdydz
14 Finalmente a Equação da Difusão Térmica é: x k x + y k y + z k z + q = ρc p dt dt Fluxo líquido de energia conduzida para o interior do V.C (E e E s ) Energia gerada (E g ) Energia acumulada (E ac ) -Essa equação é a forma geral, coordenadas cartesianas, da equação da difusão térmica, frequentemente chamada de equação do calor -A partir dessa equação podemos calcular o campo de temperatura T(x,y,z,t)
15 Simplificações 1) para k = cte 2 T x T y T z 2 + q k = 1 α dt dt Eq. de Poisson 2) para k = cte, regime estacionário e sem geração de energia ( q = 0) 2 T x T y T z 2 = 0 Eq. De Laplace 3) regime estacionário, sem geração de energia ( q = 0) e condução unidimensional x ou k x = 0 dq x dx = 0 " Fluxo de calor é constante na direção de análise
16 Coordenadas Cilindricas (r, φ, z) q r = k dt dr q = k r dt d q z = k dt dz 1 r r kr r + 1 r φ k φ + z k z + q = ρc t
17 Coordenadas Esféricas (r,θ,φ) q r = k dt q dr q = k dt θ = k dt r dθ rsenθ d 1 r 2 r kr2 r + 1 r 2 sen 2 θ φ k φ + 1 r 2 senθ θ k z + q = ρc t
18 Exemplo 2 A distribuição de temperaturas ao longo de uma parede com espessura de 1 m, em determinado instante de tempo, é dada por: Na qual T está em graus Celsius e x em metros, enquanto a = 900 ⁰C, b = -300 C ⁰C/m e c = -50 ⁰C/m 2. Uma geração de calor uniforme q = 1000 W/m 3, está presente na parede, cuja área é de 10 m 2. O seu material apresenta as seguintes propriedades: ρ = 1600 kg/m 3, k = 40 W/(m.K) e c p = 4 kj/(kg.k) a)determinar a taxa de transferência de calor que entra na parede (x = 0) e que deixa a parede (x = 1m) b)determinar a taxa de variação da energia acumulada na parede. c)determinar a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo nas posições x = 0; 0,25; e 0,5 m.
19 Condições Iniciais e de Contorno A equação da difusão térmica Parcial de 2º ordem no espaço (necessário 2 condições de contorno em cada coordenada) Parcial de 1º ordem no tempo (necessário uma condição inicial)
20 Condições Iniciais e de Contorno Condição Inicial Especifica a distribuição de temperatura na origem do tempo t=0 Ex: T(x,0) = T 0 Condições de Contorno Especifica as condições térmicas nas fronteiras. Três tipos de condições são usualmente encontradas em Transferência de Calor - Temperatura conhecida - Fluxo térmico conhecido - Convecção na superfície
21 1) Temperatura conhecida (condição de contorno de Dirichlet ou de 1ª espécie) T 0, t = T 1 T L, t = T 2 Onde a temperatura é especificada em x = 0 e x = L
22 2) Fluxo de calor conhecido (condição de contorno de Newmann ou de 2ª espécie) a)fluxo térmico diferente de zero b) Superfície isolada k x x=0 = q o " k x x=0 = 0
23 3) Convecção na superfície (condição de contorno de 3ª espécie) Balanço de energia na superfície (x=0) E e E s = 0 " " q conv q cond = 0 h T T(0, t) + k (0, t) x = 0 h T T(0, t) = k (0, t) x
24 Exemplo 3 Uma longa barra de cobre com seção transversal retangular, cuja largura w é muito maior do que sua espessura L, é mantida em contato com um sumidouro de calor na superfície inferior e a temperatura ao longo da barra é aproximadamente igual à do sumidouro, T 0. Subitamente, uma corrente elétrica é passada através da barra e uma corrente de ar, com temperatura T, é passada sobre sua superfície superior, enquanto a superfície inferior continua mantida a T 0. Obtenha a equação diferencial e as condições iniciais e de contorno que podem ser usadas para determinar a temperatura em função da posição e do tempo na barra.
25 Exemplo 4 Considere uma grande parede plana de espessura L = 0,2 m, condutividade térmica k = 1,2 W/m.K e área A = 15 m 2. Os dois lados da parede são mantidos a temperatura constante de T 1 = C e T 2 = 50 0 C, respectivamente. Determine: a) a variação de temperatura na parede e o valor da temperatura em x = 0,1 m b) a taxa de condução de calor pela parede sob condições permanentes.
26 Exemplo 5 Considere uma condução de calor unidimensional permanente em uma extensa parede de espessura L e condutividade térmica constante k, sem geração de calor. Obtenha expressões para a variação da temperatura não interior da parede para os seguintes pares de condições de contorno
27 Exemplo 6 Considere que a placa da base de um ferro de passar de 1200 W tenha espessura L = 0,5 cm, área da base A = 300 cm 2 e condutividade térmica k = 15 W/(m.K). A superfície interna da placa é submetida a um fluxo de calor uniforme gerada pela resistência interna, enquanto a superfície externa perde calor para o meio (temperatura T = 20 ⁰C) por convecção. Considerando que o coeficiente de transferência de calor por convecção é h = 80 W/m 2 K e desprezando a perda de calor por radiação, obtenha a expressão para a variação de temperatura na placa da base de ferro e avalie as temperatura nas superfícies interna e externa.
28 Exemplo 7 Considera uma tubulação de comprimento L = 20 m, raio interno r 1 = 6 cm, raio externo r 2 = 8 cm e condutividade térmica k = 20W/m.K. As superfícies interna e externa da tubulação são mantidas a temperaturas médias T 1 = 150 ⁰C e T 2 = 60 ⁰C, respectivamente. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no interior da tubulação sob condições permanentes e determine a taxa de perda de calor do vapor pelo tubo.
29 Exemplo 8 Considere um contêiner esférico de raio interno r 1 = 8 cm, raio externo r 2 = 10 cm e condutividade térmica k = 45 W/mK. As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperatura constante T 1 = 200 ⁰C e T 2 = 80 ⁰C, respectivamente, como resultado de algumas reações químicas que ocorrem em seu interior. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no inteiro da casca sob condições permanentes e determine a taxa de perda de calor.
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