Fundamentos de Transferência de Calor e Massa

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1 Fundamentos de Transferência de Calor e Massa Prof. Marcelo Reis Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Sul de Minas Gerais IFSULDEMINAS - Câmpus Inconfidentes marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 1 de 20

2 Cap. 2 - Introdução à Condução A principal lei no contexto da condução de calor é a Lei de Fourier: onde: q = k T q é o vetor fluxo térmico cuja unidade no SI é [W/m 2 ] k é a condutividade térmica do material cuja unidade no SI é [W/(m K)] T representa a temperatura em um ponto (x, y, z) do espaço tridimensional. Obs.: Em coordenadas cartesianas: = î x + ĵ y + ˆk z Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 2 de 20

3 Cap. 2 - Introdução à Condução Deste modo, o vetor fluxo térmico em coordenadas cartesianas pode ser calculado por: ( ) q T (x, y, z) T (x, y, z) T (x, y, z) = k T = k î + ĵ + ˆk x y z Note que é premissa conhecer T = T (x, y, z) para se conhecer o fluxo térmico q. Estratégias para se conhecer a distribuição de temperaturas T (x, y, z) serão vistas mais tarde com o uso da Equação da Difusão de Calor. Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 3 de 20

4 Isotermas Isoterma é o lugar geométrico do espaço 3D no qual a temperatura se mantém constante ao longo da superfície. Como determinar a direção e o sentido do fluxo térmico nos pontos A e B? Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 4 de 20

5 Isotermas Da Lei de Fourier: q = k T = k ( T (x, y, z) T (x, y, z) î + ĵ + x y ) T (x, y, z) ˆk z O primeiro passo consiste em determinar a direção e sentido do vetor gradiente T (vetores vermelhos) nos pontos A e B: Obs.: O vetor gradiente sempre aponta na direção e sentido de crescimento de uma função. Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 5 de 20

6 Isotermas Obs.: O vetor fluxo térmico sempre aponta na direção e sentido da diminuição da temperatura. Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 6 de 20 Da Lei de Fourier: q = k T = k ( T (x, y, z) T (x, y, z) î + ĵ + x y ) T (x, y, z) ˆk z O segundo passo é notar que o fluxo q = k T possui sentido contrário ao do vetor gradiente resultado portanto, nos (vetores azuis) nos pontos A e B:

7 Condutividade térmica k Na Lei de Fourier está implícito que k não depende nem da temperatura nem da posição. Entretanto as duas situações podem ocorrer! Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 7 de 20

8 Condutividade térmica k Em geral: k solidos > k liquidos > k gases Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 8 de 20

9 Isolante térmico Def.: Material que dificulta a passagem do fluxo térmico. Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 9 de 20

10 Isolante térmico - gelo O gelo não conduz bem o calor. Essa característica associada com a dilatação irregular da água explicam o porquê de um lago congelar na sua superfície e não por completo. Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 10 de 20

11 Fazendo um parênteses... Em geral, os materiais dilatam quando aquecidos e contraem quando resfriados. A água tem um comportamento anômalo! Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 11 de 20

12 Molécula H 2 O Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 12 de 20

13 Estrutura do gelo Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 13 de 20

14 Esquema geral do porquê a superfície congelar primeiro Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 14 de 20

15 Difusividade térmica α [m 2 /s] Além de k, outro parâmetro importante é a capacidade de "difundir"o calor em relação a capacidade do material "reter"o calor: onde α = k ρc P, k é a condutividade térmica do material ρ é a densidade mássica do material (m/v ) c P é o calor específico a pressão constante Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 15 de 20

16 Equação da Difusão de Calor A lei de Fourier tem por principal objetivo a determinação do fluxo térmico a partir do conhecimento de T (x, y, z). Entretanto, muitas vezes não se conhece a priori a distribuição de temperaturas T (x, y, z). A Equação da Difusão do Calor (EDC) visa encontrar a distribuição T = T (x, y, z, t) ( k T ) + ( k T ) + ( k T ) T + q = ρc P x x y y z z t Nesta formulação geral, a EDC propõe inclusive k = k(x, y, z). q é a taxa de calor por unidade de volume [W/m 3 ]. Obs.: E gerada = qdxdydz Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 16 de 20

17 Versão simplificada da Equação da Difusão de Calor k é constante: não depende de x, y, z q = 0: não há geração ou absorção de energia no interior do sistema T t = 0: regime estacionário A Equação da Difusão do Calor (EDC): ( k T ) + ( k T x x y y fica: ) + z [ 2 ] T k x T y T z 2 = 0 ( k T ) T + q = ρc P z t Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 17 de 20

18 Versão simplificada da Equação da Difusão de Calor O operador Laplaciano ( 2 ) é definido por 2 = 2 x y z 2 Então a EDC simplificada na forma [ 2 ] T k x T y T z 2 = 0 pode ser facilmente escrita como a Equação de Laplace: 2 T = 0 Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 18 de 20

19 Exemplo Considere uma parede plana de largura L e área A e condutividade térmica k cuja temperatura à esquerda é de T = 300K e a temperatura à direita é de T = 200K. (a) Determine a distribuição de temperatura ao longo da parede no regime estacionário. (b) Determine o fluxo térmico que atravessa a parede nesta situação. Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 19 de 20

20 Exemplo A distribuição de temperaturas ao longo de uma parede com espessura de 1 m, em um certo instante de tempo, é dada por T (x) = a + bx + cx 2 na qual T está em graus Celsius e x em metros. Dados: a = 900 O C, b = 300 O C/m e c = 50 O C/m 2. Uma geração de calor uniforme, q = 1000W/m 3 está presente na parede, cuja área é de 10 m 2. O seu material possui as seguintes propriedades: ρ = 1600kg/m 3 k = 40W/(mK) c P = 4kJ/(kgK) (a) Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede (x = 0) e que deixa a parede (x = 1m) (b) Determine a taxa de variação de energia acumulada na parede. (c) Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições x = 0; 0,25 e 0,5 m. Fund. Transf. de Calor e Massa 1sem/2017 marcelo.reis@ifsuldeminas.edu.br 20 de 20