Aula 4 de FT II. Prof. Gerônimo

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1 Aula 4 de FT II Prof. Gerônimo

2 Equação diferencial de Condução Vamos considerar a taxa de geração interna de calor q = E g. Coordenada x, y e z. Regime transiente. Considerando: q = q Volume de controle diferencial, dx dy dz, para análise de condução em coordenadas cartesianas.

3 Da primeira lei da TD, temos: Q du Q (1) mas, q (2) e du = mc v T (3) t t t Vamos aplicar o balanço de energia somente na dimensão x: E E E E entra sai gera acum Em função do fluxo temos: Aq Aq q V mc x x x v Entra Sai Gera (4) Acumula T (5) t Mas para sólidos e líquidos sabe-se que c m e da definição de massa específica, = ou m= V V da figura tem-se que, V=Ax. Subst. na (5) temos: T Aq x Aq x x q V ca x ( A x) t q q T q q p c v c x xx xx x T q c ou q c x t x t levando ao limite quando x 0 e t 0 aplicando o conceito de derivada parcial, temos: q T T q c mas da lei de Fourrier, q = -k x t x T T T T - k q c k q c (6) x x t x x t

4 T T k q c (6) x x t Considerando a condutividade térmica constante k = cte T T T q c T k q c ou x x t x x k k t k Mas...difusividade térmica (relacionada a capacidade c de conduzir calor pela capacidade de armazenar calor) T q 1 T forma conservativa T = T(x, t) x x k t 2 T q 1 T forma dissipativa 2 x k t Em 3D, temos: T T T q 1 T x y z k t

5 Coordenada cilíndrica: Volume de controle diferencial, dr rd dz, para análise de condução em coordenadas cilíndricas (r,, z). 1 T 1 kr k T k T q c T 2 p r r r r z z t

6 Coordenada Esférica Volume de controle diferencial, dr rsen()d rd, para análise de condução em coordenadas cilíndricas (r,, ). 1 2 T 1 T 1 kr k k sin T q c T p r r r r sin r sin t

7 Condições de contorno (CC) 1. Temperatura da superfície constante T 0, t Ts 2. Fluxo térmico na superfície constante a) Fluxo térmico diferente de zero k T x x 0q s b) Superfície isolada termicamente ou adiabática T k T x00 x x 0 x0

8 Condições de contorno (CC) 3. Condição de convecção na superfície T k x0 h T T 0, t x Uma forma usando o operador diferencial del (nabla). T T T q T x y z k t q k 2 T 1 T t

9 As propriedades térmicas da matéria Para usar a lei de Fourier, a condutividade térmica do material deve ser conhecida, o qual é uma propriedade de transporte que fornece uma indicação da taxa na qual a energia é transferida pelo processo de difusão. A taxa depende da estrutura física da matéria, atômica e molecular, que está relacionada ao estado da matéria. A condutividade térmica depende da temperatura k x q x T / x Em geral a condutividade térmica de um sólido é maior do que de um líquido, que por sua vez, é maior do que a de um gás.

10 Faixas de condutividade térmica de vários estados da matéria a temperaturas e pressões normais.

11 Dependência da condutividade térmica com a temperatura de Alguns sólidos selecionados. Outra propriedade relevante: Difusividade Térmica () k C p É a capacidade de conduzir energia térmica em relação à sua capacidade de armazená-la

12 Exercícios literais 1. Para a parede plana mostrada a seguir e considerando o processo em regime permanente, calcule o perfil de temperatura T (x) e a posição e o valor da temperatura máxima T máx. Considere que a taxa de geração interna de calor seja constante, q = cte. T 1 q T 2 k 2 q 1 T T k t L x

13 Exercícios literais 2. Considere o cilindro mostrado a seguir, onde adota-se condições de regime permanente, 1D (unidimensional), geração interna de calor q = cte e conhecidas também a temperatura na superfície da parede (T s ), a condutividade térmica do material (k) e o raio do cilindro R. Determine: a) O perfil de temperatura T (r) ; b) A temperatura máxima e a posição onde ela ocorre. R T s 2 q 1 T T k t K q

14 Exercício 3. Uma parede plana é composta por duas camadas de materiais, A e B. Na parede de material A há geração de calor uniforme q = 1,5 x 10 6 W/m 3, k A = 75 W/(mk) e a espessura é L A = 50 mm. A parede de material B não apresenta geração de calor, k B = 150 W/(mk) e a espessura é L B = 20 mm. A superfície interna do material A está perfeitamente isolada, enquanto a superfície externa do material B é resfriada por uma corrente de água com T = 30 C e h = 1000 W/(m 2 K). a) Esboce a distribuição de temperatura que existe na parede composta em condições de regime estacionário. b) Determine a temperatura T 0 na superfície isolada e T 2 na superfície resfriada. 2 q 1 T T k t

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