Condução de Calor Unidimensional com Geração de Energia

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1 Condução de Calor Unidimensional com Geração de Energia Equação geral (k constante) E Ac 1 T t E e Ė s = T x T y T z E G q k (.15) Regime Estacionário Fluxo de Calor ocorre em apenas uma direção (unidimensional) d T d x q k =0

2 Solução Geral da Equação 1D com Taxa de Geração de Energia Uniforme e Temperaturas de Parede Conhecidas d T q = d x d T d x k d T dx= q d x k dxc 1 d T d x dx= q k x dx C 1 dxc T x= q x = q x k C 1 k C 1 xc Condução de Calor com GE em Geometrias Planas resulta em perfil parabólico de temperaturas

3 Solução para o caso de Temperaturas Conhecidas T x= LT x= L=T 1 T x= L =[ q x k C 1 xc ] x= L T 1 = q L k C 1 LC = q L k C 1 LC (I) T 1 -L 0 L x x=l T x=l=t T x=l =[ q x k C xc ] 1 = q L x=l k C LC 1 T = q L k C 1 LC (II) Somando-se I e II =>

4 Continuando... T 1 -L 0 L T x Somando-se I e II => C = T 1 T q L k Substituindo em I T 1 = q L k C 1 L T 1T q L k C 1 L= T 1 T 1 T A equação geral fica, assim: T x= q L [ k 1 x L C 1 = T T 1 L ] T T 1 x L T 1T

5 Parede isolada ou com simetria Simplificando-se o caso anterior: para temperaturas de parede idênticas: T 1 T x= q L k [ 1 x L ] T que é igual ao caso de uma placa de espessura L com isolamento na face x=0; 0 L T x Nestes casos onde uma das faces é isolada ou em outras, com q nas faces é conhecido, aplica-se o B.E.: E g = E s que depende da T.C. ocorrendo na superfície q V = T R eq

6 Condução de Calor 1D em Geom. Cilíndrica com Ger. Energia Equação geral Ė Ac c p T = 1 t r Ė e Ė s T k r r r 1 r k T z k T z Ė G q (.0) Regime Estacionário Fluxo de Calor unidimensional (radial) 1 r d d r k r d T d r q=0

7 Solução Geral da Equação Cil. 1D com Taxa de Geração de Energia Uniforme e Temperaturas de Parede Conhecidas Considerando k e d T d r = 1 r q r d T d r q d d r r d T = q r d r k constantes: d d r r d T k C 1 d r dr= q k r drc 1 dr= q k r drc 1 1 r drc T r= q r 4 k C 1 lnrc

8 Solução para Cilindro com Ger. de Energia e Temperatura de Superfície Conhecida T r r=0 d T =0 d T = d r r=0 d r q r r=0 k C 1 r r=0 r R C 1 =0 T s T r=t s q R 4 k [ 1 r R r=r T R=T s T R= q r 4 k C 1 ln RC r=r T s = q R 4 k C ] C =T s q R Condição de Convecção é resolvida por Balanço Energético 4 k

9 Condução de Calor com Ger. Energia Unidimensional em Esferas Equação geral Ė Ac c p T t = 1 r r k r T r 1 r sin Ė e Ė s k T 1 T k sin r sin Ė G q (.3) Regime Estacionário Fluxo de Calor unidimensional (radial) 1 r d d r k r d T d r q=0

10 A condição de Terceira Espécie Modificada sempre que se tem uma associação de resistências equivalentes ela pode ser tratada como uma condição de 3ª espécie lembrando da condição original para L: h A T x=l, t T = k A d T d x x=l substituindo esta condição por um Req h A= 1 T x=l,t T = k A d T R eq R eq d x x=l

11 Observações importantes Nos casos onde o fluxo de calor é desconhecido nas faces do problema é muito complicado utilizar soluções prontas Nestes casos é melhor obter os coeficientes adequados a partir da solução básica: T x= q x k C 1 xc ou T r= q r NUNCA utilize resistência térmica m materiais com geração de energia 4 k C 1 lnrc

12 Exemplo de aplicação k T s =100 o C q e ' '=? q 1 =10 5 W/m 3 k 1 =17 W/m.K L 1 =5 cm L 1cm 40 W/m K k 3 6 W/m K L 3 0,5 cm q d ' '=? h=15w/m K T =3 o C T x=? x max =? T max =?