Electromagnetismo e Óptica 2º Semestre /12 1º Teste - 12/04/ :30h

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1 Electromagnetismo e Óptica 2º Semestre /12 1º Teste - 12/04/ :30h Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Mestrado Integrado em Engenharia Física Tecnológica Duração do teste: 1:30h Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova. Apresente as respostas a cada problema em FOLHAS SEPARADAS Problema 1 Considere um condensador plano, supostamente ideal, com placas de área S e distância d entre as mesmas. Inicialmente as placas estão isoladas e o condensador encontra-se carregado com uma carga Q (+Q na placa esquerda e Q na placa direita). O espaço entre as placas tem uma permeabilidade eléctrica 0. Posteriormente, introduz-se uma placa metálica, com carga total nula, de espessura b (b < d) entre as placas do condensador, a uma distância a da placa esquerda. a) Determine, em cada uma das situações (antes e depois da introdução da placa metálica), em função da carga Q e das dimensões apresentadas: O campo eléctrico e o potencial em função da distância à placa da esquerda E(x), considerando que a placa da direita se encontra ao potencial 0. Esboçe os gráficos de E(x) e V(x). b) Dtermine a expressão da capacidade do condensador (antes e depois da introdução da placa metálica). Relacione a capacidade total do sistema resultante da introdução da placa metálica com as capacidades dos condensadores parciais formados à esquerda e á direita da placa central. De que tipo de associação de condensadores se trata? Justifique. c) Calcule a energia eléctrostática total do sistema nas duas situações. O que é que conclui (qualitativamente) sobre o sentido da força exercida pelo campo electrostático quando introduz a placa metálica? Problema 2 Considere um condensador cilíndrico de altura h, raio interior a e raio exterior b, preenchido por um dieléctrico de permitividade. a) Determine a expressão da capacidade do condensador considerando que este pode ser considerado, como uma boa aproximação, nas condições de um condensador cilíndrico infinito. Defina essas condições em função das dimensões a, b e h. b) Determine as densidades de carga (cargas livres e de polarização) no sistema, onde existirem, se o condensador estiver sujeito a uma diferença de potencial V entre as placas (em função da diferença de potencial e das dimensões a, b e h). Problema 3 Suponha que o condensador com a geometria definida no problema anterior contém, entre as placas, um material com permitividade e condutividade eléctrica c (condensador não ideal) e está sujeito a uma diferença de potencial V entre as placas. a) Determine a resistência eléctrica do sistema entre as placas em função dos parâmetros dados (considere que existe uma corrente eléctrica I entre a placa interior e a placa exterior). Determine a expressão do vector densidade de corrente em função destes parâmetros (V, a, b, h e c ). b) Relacione a expressão do tempo de relaxação ( ) do material entre as placas do condensador com os valores de capacidade encontrado no problema anterior e de resistência determinado na alínea a). Mostre que a relação encontrada entre o valor de e os parâmetros e c se pode obter deduzindo a equação diferencial 5, a partir da equação da continuidade da carga.

2 Soluções Problema 1 a) Sem placa condutora: ; - Com placa condutora: Aplicando o teorema de Gauss utilizando uma superfície cilíndrica com bases no interior da placa esquerda do condensador e da placa central obtêm-se: Do mesmo modo, utilizando uma superfície de Gauss cilíndrica com bases no interior da placa central e no interior da placa direita do condensador obtêm-se: Note-se que a carga total da placa condutora central é nula ( ). Resumo: Por aplicação do teorema de Gauss obtém-se para o campo eléctrico: Campo E no interior de um condutor em equilíbrio electrostático = 0 Integrando o campo eléctrico nas três regiões e tendo em consideração que, obtém-se:

3 b) Sem placa condutora Com placa condutora: Associação de condensadores em série (verificação): c) Sem placa condutora ou

4 Com placa condutora ou a energia electrostática diminui com a introdução da placa logo o campo exerce uma força atractiva sobre esta. Note-se que num sistema isolado (como é o caso cargas constantes), o que significa que a força aponta no sentido correspondente à diminuição da energia potencial. Problema 2 a) Para h >> a,b (aproximação condensador cilíndrico infinito), o campo E é radial e uniforme segundo z (direcção definida pelo eixo de simetria cilindrica). b) Analogamente obtemos: Nota: ; Em r=a (cilindro interior), o campo eléctrico, e consequentemente o vector polarização, tem o sentido contrário à normal exterior ao dieléctrico nd daí o sinal (menos) na expressão da densidade de carga de polarização em r=a (admitindo Q>0). Em r=b, o campo tem o mesmo sentido da normal exterior ao dieléctrico e daí o sinal + (mais) na expressão da densidade de carga de polarização em r=b (cilindor exterior).

5 Problema 3 a) Geometria cilíndrica (aproximação h>>r) vector densidade de corrente radial Corrente estacionária (independente de r). coordenadas cilíndricas b) Equação da continuidade de carga: Comparando a equação anterior: Com a equação de evolução da densidade de carga dada no enunciado Concluímos que