Resolução Abreviada. Q R 2 + z 2. V (z) = 1 Q. dv (r) = r. dq R 2 + z 2 = 1

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1 1º teste Electromagnetismo e Óptica MEEC Resolução Abreviada 14 de Novembro de 217, 2h Duração: 1h3 Docentes: Prof Eduardo V Castro (responsável); Prof António Jorge ilvestre; Prof Hugo Terças; Prof Luís Filipe Mendes; Prof Luís Lemos Alves; Prof David Resendes Atenção: Durante a realização do teste/exame não é permitido o uso de telemóveis e calculadoras dentique claramente todas as folhas do teste/exame nicie a resolução de cada um dos problemas numa nova página Realize sempre em primeiro lugar os cálculos analíticos e só no nal substitua pelos valores numéricos e os dados do problema não forem numéricos (ex: R, Q, σ), o resultado analítico é o resultado nal O único formulário autorizado é aquele que acompanha a prova 1 [3 val] Considere uma espira circular de raio R uniformemente carregada com carga Q Use um sistema de coordenadas onde o eixo da espira coincide com o eixo dos zz, escolhendo como origem o centro da espira (a) [1 val] Mostre, usando a denição de potencial elétrico criado por um elemento de carga, que o potencial eléctrico em qualquer ponto do eixo dos zz é dado por V (z) = 1 Q R 2 + z 2 Denição: dv (r) = r r 2 dr = Na espira temos r = R 2 + z 2, donde se obtém V (z) = dv (z) = r R 2 + z 2 = 1 Q R 2 + z 2 (b) [1 val] Obtenha, em função de Q e de R, o trabalho realizado para trazer uma carga q do innito para o centro da espira 1

2 No centro da espira z = Logo, W = V ()q = 1 Qq R (c) [1 val] Explique porque razão o campo elétrico em qualquer ponto no eixo dos zz é descrito por E = E z e z e calcule E z A simetria circular em torno do eixo da espira impõe E x = E y =, pelo que E = E z e z Por outro lado E = V, obtendo-se para a componente E z o resultado dv (z) E z = = Q z dz (R 2 + z 2 ) 3/2 2 [3 val] Considere um disco de raio R uniformemente carregado com densidade de carga σ Use um sistema de coordenadas onde o eixo do disco coincide com o eixo dos zz, escolhendo como origem o centro do disco (a) [1 val] Use a lei de Gauss para obter o campo eléctrico na região central do disco a uma distância z R Justique todos os cálculos efectuados Deverá obter E z = σ/(2ε ) Por simetria E x = E y = e E z = E z Escolhendo para superfície de Gauss um cilindro com faces paralelas ao plano do disco (superfície ), e notando que o uxo de campo eléctrico através da superfície lateral do cilindro é zero, vem E d = 2E z, onde é a área do círculo nos topos do cilindro Usando a lei de Gauss, E d = Q int ε, onde Q int = σ é a carga total no interior da superfície de Gauss, obtém-se 2E z = σ ε E z = σ 2ε (b) [1 val] Admita que o disco da alínea anterior é uma das armaduras de um condensador de placas paralelas com separação d R Depois de carregar o condensador a densidade de carga numa das placas é σ e na outra é σ Calcule a diferença de potencial V entre as duas placas sabendo que a região entre armaduras está preenchida por um dieléctrico linear, isotrópico e homogéneo de permitividade ε Deverá obter V = σd/ε eja A um ponto na placa +σ e B um ponto na placa σ que distam entre si a distância mínima d A diferença de potencial entre A e B é B d V AB = E dl = E z dz V A 2

3 A lei de Gauss generalizada permite obter D = σ e z para o vector deslocamento devido às duas placas abendo que D = ε E obtém-se E z = σ/ε, pelo que V = σ ε d dz = σ ε d (c) [1 val] Determine a capacidade C do condensador sabendo que R = 1 cm, d = 5 cm e ε = 1 8π 1 9 Nm 2 C 2 (parâmetros próximos dos do condensador usado nas aulas teóricas para demonstração) Por denição C = Q/V onde Q = σπr 2 é o valor absoluto da carga em cada placa Usando V = σd/ε obtém-se C = πr2 ε d ubstituindo pelos valores numéricos, C = π π = = F = 25 pf 3 [4 val] Um condutor cilíndrico de raio R e comprimento L R é percorrido por uma corrente de densidade uniforme que ui na direcção do seu eixo de simetria O material condutor é caracterizado por uma condutividade σ c (a) [1 val] Obtenha o campo eléctrico no interior do condutor em função de e de R ndique a sua direcção e sentido O campo eléctrico E é paralelo ao eixo do disco e tem o sentido da corrente eja essa direcção e sentido a do eixo dos zz, isto é, E = E z e z Usando a lei de Ohm local, J = σ ce, e sabendo que a densidade de corrente J é uniforme, vem = obtendo-se para o campo eléctrico J d = JπR 2 J = E z = πr 2 σ z πr 2, (b) [1 val] Partindo da lei de Ohm, calcule a resistência eléctrica R el do condutor sabendo que L = 25 m, R = 5 mm e σ c = 1 π 18 Ω 1 m 1 A lei de Ohm implica V = R el, onde V é a diferença de potencial entre os dois extremos do condutor cilíndrico Pela denição de diferença de potencial vem V = E dl = L E z dz = L 3

4 ubstituindo na lei de Ohm obtém-se L = R el R el = ubstituindo pelas valores numéricos, vem ou seja R el = 1 mω 25 R el = π π L 18 = = 1 3 Ω, (c) [1 val] Determine o campo magnético dentro do condutor em função de e de R Deve usar-se a lei de Ampère, Γ B dl = µ Γ A simetria do problema impõe linhas de campo circulares com o eixo alinhado com o condutor Escolhendo como caminho Γ uma circunferência (coincidente com uma linha de campo) com raio r < R, obtemos B dl = B dl = B2πr Γ A corrente rodeada por Γ obtém-se da densidade de corrente J = /(πr 2 ), Γ ubstituindo vem Γ = Jπr 2 = r2 R 2 B2πr = µ r2 R 2 B(r) = µ r 2πR 2 (d) [1 val] Assuma que o condutor cilíndrico foi deformado tomando a forma representada na gura em baixo A parte semicircular do condutor tem raio a = L/3 Determine o campo magnético no ponto P (centro da semicircunferência), indicando a sua direcção e sentido, sabendo que o condutor é percorrido pela corrente como indicado na gura Podemos considerar o condutor liforme pois R L A lei de Biot-avart para o campo magnético gerado por um elemento de corrente diz que db = µ 4π r 2 ( dl r) Daqui se conclui que as partes rectilíneas do condutor não contribuem para B P por ser nulo o produto vectorial dl r = Na parte semicircular todos os elementos contribuem com o campo elementar db = µ 4π a 2 ( dl r) = µ 4π 4 a 2 dl e z,

5 onde se escolheu o eixo dos zz perpendicular à folha com sentido ntegrando as contribuições elementares da semicircunferência vem µ B P = 4π a 2 dl e z = µ 4π a 2 dl e z = µ 4π a 2 πa e z = µ 4 a e z, ou ainda em termos de L, 3 B P = µ 4 L e z 5