Problemas sobre Ondas Electromagnéticas

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Maria Clara Bernardes
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1 Problemas sobre Ondas Electromagnéticas Parte II ÓPTICA E ELECTROMAGNETISMO MIB Maria Inês Barbosa de Carvalho Setembro de 2007

2 INCIDÊNCIA PROBLEMAS PROPOSTOS 1. Uma onda electromagnética plana de 200 MHz tem polarização linear segundo x e uma intensidade do campo eléctrico de 10 Vm 1. A onda incide perpendicularmente num meio dieléctrico, com ε r = 4 e que ocupa a região definida por z 0. E i dieléctrico 0 z a) Escreva uma expressão para o fasor do campo eléctrico da onda incidente, sabendo que o campo tem um máximo positivo em z = 0 quando t = 0. b) Calcule os coeficientes de reflexão e de transmissão. c) Escreva as expressões dos fasores campo eléctrico das ondas reflectida, transmitida e do campo total na região z 0. d) Determine a percentagem da potência média incidente que é reflectida pela interface e a que é transmitida para o segundo meio. 2. Uma onda plana e uniforme com polarização linear segundo x, amplitude 10 V/m e frequência 1.5 GHz, que se propaga no ar, incide perpendicularmente a uma superfície perfeitamente condutora localizada em z = 0. a) Obtenha as expressões fasoriais e temporais para os campos eléctrico e magnético no ar. b) Determine a localização mais próxima da superfície condutora onde o campo magnético é sempre nulo. 3. Considere que a região z > 0 está preenchida com ar, enquanto a região z < 0 está preenchida com um dieléctrico com índice de refracção 2. No dieléctrico propaga-se uma onda caracterizada por E = û x E 0 e jπ(4y+3z). a) Indique a direcção de propagação da onda incidente na interface e determine o correspondente ângulo de incidência. b) Determine o fasor do campo magnético da onda incidente. 1

3 c) Determine o coeficiente de reflexão e o fasor do campo eléctrico da onda reflectida. d) Determine a expressão do fasor do campo eléctrico no ar. 4. Uma onda que se propaga no ar com polarização perpendicular incide obliquamente numa interface plana ar-vidro segundo um ângulo de incidência de 30. A frequência da onda é de 600 THz (1 THz = Hz), o que corresponde à luz verde, e o índice de refracção do vidro é 1.6. Se a amplitude do campo eléctrico da onda incidente for de 50 Vm 1, determine: a) Os coeficientes de reflexão e transmissão. b) As expressões dos vectores E e H no vidro. 5. A região do espaço definida por y < 0 encontra-se preenchida com um material não magnético (meio 1) e nela propaga-se uma onda plana de frequência 1.5 GHz caracterizada pelo fasor E i (x, y) = û z E 0 e j4π(4x+3y). Esta onda incide obliquamente na interface com a região y > 0, a qual está preenchida com ar. a) Classifique o estado de polarização desta onda relativamente ao plano de incidência. b) Determine a permitividade relativa do meio 1 e o ângulo de incidência. c) Obtenha o fasor do campo magnético desta onda. d) Determine os coeficientes de transmissão e de reflexão, e obtenha os fasores dos campos eléctricos da onda reflectida e da onda no ar. 6. Uma onda plana propaga-se no ar e é caracterizada pelo seguinte fasor H i (x, z) = 0.2e j(3x+4z) (0.6û z 0.8û x ). Esta onda incide num plano perfeitamente condutor situado em z=0. Determine: a) A frequência e o ângulo de incidência; b) O fasor E i ; c) Os fasores dos campos eléctrico e magnético da onda reflectida; d) A localização dos pontos de máxima amplitude do campo eléctrico no ar; e) O valor médio do vector de Poynting no ar. Qual a direcção do transporte da energia? 7. Uma onda plana propaga-se no ar (meio 1) com polarização perpendicular ao plano de incidência e incide no meio 2 de permitividade ε r = 5 com um ângulo de 30. a) Determine o coeficiente de reflexão. b) Se a onda incidir do meio 2 para o meio 1, determine o ângulo de reflexão total. 8. As três regiões mostradas na figura são formadas por dieléctricos perfeitos. Para uma onda que se propaga no meio 1 e que incide perpendicularmente na interface situada em z = d, qual a combinação de ε r2 e d que não origina reflexão? Exprima as suas respostas em função de ε r1, ε r3 e da frequência f da onda. 2

4 z = d z = 0 Meio 1 ε r2 Meio 2 ε r1 d Meio 3 ε r3 z 9. Considere uma onda electromagnética plana a incidir perpendicularmente numa lente de vidro de uma máquina fotográfica, cuja constante dieléctrica é ε r = 2.5, como mostra a figura A. Admita que a lente tem uma espessura infinita de modo a poder desprezar as reflexões na interface de saída vidro-ar. ar vidro ar material vidro dieléctrico onda incidente Figura A onda incidente Figura B a) Calcule a percentagem de potência que é reflectida pela lente? b) A esta lente é aplicada uma camada dieléctrica de quarto de comprimento de onda (figura B), com o objectivo de eliminar reflexões da luz visível correspondente ao amarelo (λ 0 = 560 nm, onde λ 0 é o comprimento de onda no vazio). Determine a constante dieléctrica deste material. Qual a espessura da camada dieléctrica? c) Nas condições da alínea anterior, que percentagem de potência de luz azul (λ 0 = 475 nm) incidente é reflectida pela lente? SOLUÇÕES 1. a) E i = 10e j 4π 3 z û x b) Γ = 1 3 τ = 2 3 c) E r = 10 3 ej 4π 3 z û x E t = 20 3 e j 8π 3 z û x ) E ar = 10 (e j 4π 3 z 13 ej 4π 3 z û x d) P ref = 11.1% P tran = 88.9% 2. a) E ar (z) = j20 sin(10πz)û x Ear (z, t) = 20 sin(10πz) cos ( ) ωt π 2 ûx H ar (z) = 1 6π cos(10πz)û y Har (z, t) = 1 6π cos(10πz) cos(ωt)û y b) z = 0.05 m 3

5 3. a) â ni = 0.8û y + 0.6û z θ i = 53.1 o b) H i = E 0 60π e jπ(4y+3z) (0.6û y 0.8û z ) c) Γ = e j153o E r = E 0 e j153o e jπ(4y 3z) û x d) E ar = 0.47E 0 e j76.5o e 9.8z e j4πy û x 4. a) Γ = τ = b) E(x, z, t) = 36.3 cos [ 12π t 6.4π 10 6 (0.950z x) ] û y H(x, z, t) = cos [ 12π t 6.4π 10 6 (0.950z x) ] (0.313û z 0.950û x ) 5. a) polarização perpendicular b) ε r1 = 4 θ i = 53.1 o c) H i = E 0 60π e j4π(4x+3y) ( 0.8û y + 0.6û x ) d) τ = 1.39e j46.1o Γ = e j92.3o E r = E 0 e j92.3o e j4π(4x 3y) û z E ar = 1.39E 0 e j46.1o e 12.5πy e j16πx û z 6. a) f = 15 2π 108 θ i = 36.9 o Hz b) E i = 24πe j(3x+4z) û y c) E r = 24πe j(3x 4z) û y H r = 0.2e j(3x 4z) (0.6û z + 0.8û x ) d) z = π 8 + kπ 4, k inteiro e) S med,ar = 5.76π sin 2 (4z)û x (W/m 2 ) 7. a) Γ = b) θ c = 26.6 o 8. ε r2 = ε r1 ε r3, d = n λ2 4 = nc 4f ε r2 (n ímpar) 9. a) P ref = 5.07% b) ε d = d = nm c) P ref = 0.41% 4

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