B equação de Maxwell-Faraday E t lei de Gauss magnética B 0. equação de Maxwell-Ampère

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1 ula de Problemas Problema Considere as equações de Maxwell Conservação do fluxo magnético B equação de Maxwell-Faraday E t lei de Gauss magnética B Conservação da carga eléctrica equação de Maxwell-mpère lei de Gauss eléctrica D H J t D e analise, em termos de dimensões (SI), todas as grandezas intervenientes Recorde que grandezas de intensidade intensidade do campo eléctrico E V m intensidade do campo magnético B T Wb m grandezas de extensão excitação eléctrica excitação magnética D H C m m fontes (livres) do campo densidade volúmica de carga (eléctrica) densidade (superficial) de corrente J C m m Nota Muitos autores, contra a versão (correcta) relativista do electromagnetismo, designam o campo H por campo magnético e o campo B por indução magnética Não sendo fundamental o problema da nomenclatura, a versão aqui apresentada é a versão correcta Frequentemente, também nesta UC, se irá designar o campo H por «campo magnético» Não é correcto mas é aceitável É, no entanto, fundamental que se saiba o seguinte: em termos da teoria da relatividade (que governa o campo electromagnético), os campos vectoriais tridimensionais EB, constituem uma única entidade quadridimensional (conhecida por tensor de Faraday F ), enquanto os campos vectoriais tridimensionais DH, constituem por sua vez uma entidade quadridimensional distinta (conhecida por tensor de Maxwell G ) Em termos de álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski, definem-se os bivectores Propagação & ntenas Página

2 bivector de Faraday bivector de Maxwell F E I B c G D I H c Veja-se, eg, o seguinte artigo: Carlos R Paiva and Sérgio Matos, Minkowskian isotropic media and the perfect electromagnetic conductor, IEEE Trans ntennas Propagat, Vol 6, Issue 7, pp - 45, July Note que a terminologia que aqui se critica tem, matematicamente, alguma lógica: os campos E V m e H m são formas-, ie, são sempre integrados ao longo de uma linha; os campos D C m e B T Wb m são fluxos ou formas-, ie, são sempre integrados em superfície Mas o problema que aqui se coloca não é matemático é um problema de interpretação física Para regiões sem fontes, em que J as equações de Maxwell escrevem-se, então, na forma B E t B D H t D Mostre, neste caso, que para ondas planas e monocromáticas, t exp i t, exp i, t exp i t, exp i, t exp i t, exp i, t exp i t, exp i E r E r E r E k r D r D r D r D k r B r B r B r B k r H r H r H r H k r em que Propagação & ntenas Página

3 e e e i kx e ky e kz e i k, i, x y z t as equações de Maxwell se reduzem à forma algébrica k E B kb k H D kd Nota importante Existe, aqui, uma distinção importante que deve ser sublinhada Os vectores reais, que pertencem a, têm uma natureza radicalmente distinta dos vectores complexos, que pertencem a Nomeadamente, do ponto de vista da representação geométrica, os vectores reais são representados por setas, enquanto os vectores complexos são representados por elipses orientadas Por exemplo: Er,t, Er, E um dado vector complexo pode fazer-se corresponder uma «polarização»: a sua representação geométrica, através de uma elipse orientada, pode degenerar em dois casos extremos: i) numa circunferência, quando os dois eixos maior e menor se tornam iguais (polarização circular); ii) num segmento de recta, quando o eixo menor se anula (polarização linear) Porém, mesmo no caso da polarização linear, o segmento de recta tem um duplo sentido sobre uma mesma direcção rectilínea ao contrário de uma seta que é caracterizada por um único sentido bem determinado ssim, para um meio isotrópico caracterizado pelas relações constitutivas D B E H é, ainda, possível escrever: k E H kh k H E ke Nota importante Como, neste caso, o vector de onda k é, simultaneamente, perpendicular a E e a H, a onda diz-se TEM (ie, quer o campo E quer o campo H residem no plano transversal ou perpendicular à direcção de propagação k ) Note que velocidade da luz no vácuo c m/s valor exacto (por definição) Propagação & ntenas Página

4 7 4 H m valor exacto, por definição permeabilidade magnética do vácuo c F m permitividade eléctrica do vácuo permitividade dieléctrica relativa (adimensional) permeabilidade magnética relativa (adimensional) impedância do vácuo c k c ssim, definindo o índice de refracção do meio isotrópico como sendo número de onda no vácuo rad/m n índice de refracção do meio (adimensional) mostre, a partir das equações de Maxwell, que se tem k k E nk E nk k k H H gora, usando a regra fundamental do produto externo (bac-cab) ab c b a c c a b a c b a b c tem-se k k E k E k k k E k E k k k H k H k k k H H pelo que se pode, finalmente, concluir k n k k nk k ˆ Designa-se por ˆk o vector unitário correspondente ao vector de onda ˆ k n ˆ, k, ˆ k k k k k k c k Qual é a superfície que corresponde a k nk? Propagação & ntenas Página 4

5 Para calcular a velocidade de fase desta onda, comece por definir a fase r,t k r t Note, então, que pode definir a distância à frente de onda, tal que, ˆ cos ˆ cos k r k r r k r k k r k r k Nestas condições, vem,t k t velocidade de fase é a velocidade dos planos de fase constante, ie,, d d t k t k vp d t d t k respectiva direcção é dada por ˆk Portanto, ˆ v ˆ p vpk k k Logo, introduzindo nesta última equação k nk, obtém-se c c c v v ˆ p k k k nk n n p Se, ao definir uma direcção ˆk, se considerar uma onda progressiva tal que k k kˆ r, t k r t k t, Propagação & ntenas Página 5

6 isto apenas significa que a onda, de facto, se propaga no sentido diametralmente oposto a ˆk ssim, vem sucessivamente, d d t k t ˆ k vp vp k d t d t k k Explique por que razão se define o comprimento de onda de, t exp i t E r E k r como sendo, t k t t, t t k Explique por que razão se define o período (temporal) dessa mesma onda como sendo t t T, t k t k t, t k T T Notando, então, que a frequência f é o inverso do período, ie, f Hz T tem-se, obviamente, f frequência angular rad/s T fase da onda pode, portanto, ser reescrita na forma t f, t k t vp vp f T k ssim, também t, t vp t t T T v p Só no caso do vácuo (ou do ar, aproximadamente) é que se tem n vp c f Propagação & ntenas Página 6

7 8 Fazendo c m/s, determine (mentalmente) o comprimento de onda para as seguintes frequências: i) f 5 Hz ; ii) f khz ; iii) f MHz ; iv) f GHz ; v) f PHz Deve, também, verificar como é que se pode obter o «campo magnético» em termos do campo eléctrico Note que, da equação k E H vem imediatamente nk H k E kˆ E H kˆ E ou, introduzindo a impedância da onda w impedância da onda H kˆ E w nalogamente, de k H E, obtém-se nk E k H kˆ H E kˆ H Propagação & ntenas Página 7

8 E H k ˆ w Considera-se, na figura anexa, que se tem uma polarização linear E, além disso, considera-se um meio sem perdas ssim, com efeito, pode considerar-se E H,, w Problema O campo eléctrico de uma onda electromagnética que se propaga no ar, ao longo do sentido positivo do eixo z, é caracterizado pelo vector complexo E E i E em que se indica na figura anexa Determine E z, t e z, t E E tal como, H para 4 Como classifica a polarização? Calcule o vector de Poynting bem como o vector de Poynting complexo Qual é a relação entre eles? Solução O campo eléctrico é dado por z, t exp i k z t E E, em que E e E e e E E E donde se infere que Propagação & ntenas Página 8

9 z, t i exp i k z t E e e e e e e cos sin e e e sin i k z t i k z t cos k z t k z t Portanto, tem-se: z, t sint cost E e e e ssim, vem sucessivamente: t t E e T t t E e e 4 T t t E e T t t E e e 4 t T t E e Esta evolução temporal corresponde a uma polarização elíptica esquerda como se indica na figura anexa da página seguinte Note-se, com efeito, que polarização kˆ e, kˆ E E kˆ E E esquerda Por outro lado, tem-se e e e ˆ H k E e i i e e e e e e e e e pelo que H e H e e E H H H Note-se que se tem: i E H E H E H E H E H Propagação & ntenas Página 9

10 E H E H E H E H E H H z, t e i e e exp i k z t e i e e cosk z t i sink z t Note-se, ainda, que: z t z t E, H, cosk z t sink z t e e e Logo, para z, obtém-se: H z, t sin t cost e e e Propagação & ntenas Página

11 ssim, vem sucessivamente: t t H e T t t H e e 4 T t t H e T t t H e e 4 t T t H e a que corresponde, também, uma polarização elíptica esquerda como se mostra na figura anterior: Propagação & ntenas Página

12 ˆ ˆ polarização k e, k H H kˆ H H esquerda O vector de Poynting (instantâneo) é dado por S z, t sin k z t sin k z t e Com efeito, tem-se k z t : z, t z, t z, t S E H sin sin cos sin cos sin e e e e e sin sin cos e sin sin Logo, atendendo a que sin, sin, infere-se que e E S zt, O vector de Poynting complexo, por sua vez, é dado por Sc EH e ie e e ie e i e Propagação & ntenas Página

13 S c E assim se confirmando a regra geral segundo a qual se tem (sempre) zt S S, c De facto, vem sucessivamente:, t, t, t S r E r H r i i E e H e i i i i E e E e H e H e 4 4 i E H E H e i i E H E H E H e E H e, t exp i t S r E H E H k r daqui se concluindo, então, que S zt, E H S c (QED) Nota final sobre a classificação da polarização Em geral a polarização do campo eléctrico z, t exp i k z t E E é completamente determinada através do vector complexo E E i E em que E e Com efeito, como E são dois vectores reais: E E ; i i i E E E E E E E E E E Propagação & ntenas Página

14 e ainda i i E E E E E E E, tem-se o seguinte quadro geral de classificação das polarizações E E i E POLRIZÇÃO E E Polarização Linear E E & E Polarização Elíptica E Polarização Circular No caso da polarização não ser linear, é (ainda) possível uma classificação em termos da sua orientação esquerda ou direita ssim, eg, no caso do vector E E i E, a polarização dizse: Polarização direita kˆ E E Polarização esquerda kˆ E E Uma forma prática de classificar a orientação (esquerda ou direita) da polarização é a seguinte: a polarização diz-se esquerda (resp, direita) se o vector do campo descreve a elipse (ou circunferência, no caso particular de polarização circular) no sentido retrógrado ou do movimento dos ponteiros do relógio (resp, no sentido directo ou contrário ao movimento dos ponteiros do relógio) quando o vector ˆk aponta na nossa direcção Exercício Classifique as seguintes polarizações (incluindo a respectiva orientação no caso de não ser uma polarização linear) para uma onda em que k ˆ e : E R e e ; [] ˆ i E L e e ; [] ˆ i E e e ; [] Propagação & ntenas Página 4

15 E e e ; [4] [5] E i e ; E e e 5 [6] i Problema Uma onda plana é uniforme se a sua amplitude é constante sobre um plano de fase constante Mostre, então, que para uma vector de onda complexo, com (i) uniforme, se kk ; (ii) não-uniforme, se kk Sugestão: Note que se tem i (ii) não-uniforme, caso kk k k i k a onda plana é: k k k k ssim, a onda é: (i) uniforme, caso kk ; DEND Considerem-se dois vectores reais: a ax e ay e az e ; b bx e by e bz e Propagação & ntenas Página 5

16 Define-se o respectivo produto interno como sendo o número real ab a b a b a b x x y y z z Note-se que, sendo o ângulo entre esses dois vectores, se tem ab abcos, em que se fez a a e b b Dois vectores são ortogonais desde que ab Define-se o produto externo como sendo o novo vector e e e c a b a a a a b a b e a b a b e a b a b e x y z y z z y z x x z x y y x b b b x y z Propagação & ntenas Página 6

17 Tem-se c c ab ab sin cujo valor corresponde à área do paralelogramo formado com base em a e b Trata-se de um vector perpendicular ao plano definido pelos dois vectores a e b O sentido (ou orientação) é a definida pela regra da mão direita Propagação & ntenas Página 7

18 Dois vectores (não-nulos) a e b são paralelos desde que ab Note-se que o produto interno é comutativo enquanto que o produto externo é anti-comutativo: simetria anti-simetria a b b a a b b a Define-se o produto misto de três vectores como sendo o escalar a a a x y z bx by bz ax by cz bz cy ay bz cx bx cz az bx cy by cx a b c c c c x y z Os três vectores constituem um paralelepípedo cujo volume (orientado) é precisamente Note-se que, deste modo, os três vectores são linearmente independentes se (e só se) Tem-se a simetria cíclica a b c b ca c ab Propagação & ntenas Página 8

19 Prove que: [] a a a a ˆ ; a a a [] ab a b a b ab ; [] ab c a c b a b c ; [4] ab c b ca c ab ; [5] ab c abc b c a a b c ; [6] a b c b ca c ab ; [7] abcd a c b d a d b c ; ab cd a b d c a bc d [8] Propagação & ntenas Página 9