Microondas I. Prof. Fernando Massa Fernandes. Sala 5017 E Aula 3

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1 Prof. Fernando Massa Fernandes Sala 5017 E fermassa@lee.uerj.br Aula 3 1

2 Conceitos fundamentais Campos EMs em meio material E = B t M (1) (2) (3) (4) H = D t D = ρ B = 0 + J Revisão J = σ E D t D = (ϵ' i ϵ' ') E = ϵ 0 (1+χ e ) E = ϵ E Campo de uma onda eletromagnética com frequência ω: E = E 0 cos(ω t) ^x E = E 0 exp(i ω t) ^x Da equação (2) de Maxwell H = iω(ϵ' i ϵ' ' ) E + σ E = i ω ϵ' E + (ω ϵ' '+σ) E 2

3 Conceitos fundamentais Campos EMs em meio material E = B t M (1) (2) (3) (4) H = D t D = ρ B = 0 + J Revisão Da equação (2) de Maxwell H = iω(ϵ' i ϵ' ' ) E + σ E = i ω ϵ' E + (ω ϵ' '+σ) E Parte imaginária Conservativa Parte real Dissipativa (dissipação de potência - perdas no material) σ Perda por condutividade(efeito Joule) ϵ' ' Perda por amortecimento dielétrico Indistinguíveis Condutividade real efetiva σ * = σ + ω ϵ' ' Dissipação de potência no material W =l. A. σ *. E 2 3

4 Revisão Conceitos fundamentais Campos EMs em meio material H = i ω(ϵ' i ϵ' ' ) E + σ E = i ω ϵ' E + (ω ϵ' ' +σ) E Condutividade real efetiva (dissipativa) Constantes do material (ϵ', ϵ' ', σ) σ * Especificação dos materiais em micro-ondas = σ + ω ϵ' ' (ϵ r,tan δ) Permitividade realdo meio(ϵ r ) ϵ' = ϵ r ϵ 0 Tangentede perdas(tan δ) tan δ = ω ϵ' ' +σ ω ϵ' 4

5 Revisão Conceitos fundamentais Campos EMs em meio material H = iω(ϵ' i ϵ' ' ) E + σ E = i ω ϵ' E + (ω ϵ' ' +σ) E Especificação dos materiais em micro-ondas (ϵ r,tan δ) ϵ' = ϵ r ϵ 0 Exemplos: freq. ϵ r tan δ 25 o C tan δ = ω ϵ' ' +σ ω ϵ' 5

6 Revisão Conceitos fundamentais Campos EMs em meio material H = iω(ϵ' i ϵ' ' ) E + σ E = i ω ϵ' E + (ω ϵ' ' +σ) E Especificação dos materiais em micro-ondas (ϵ r,tan δ) ϵ' = ϵ r ϵ 0 tan δ = ω ϵ' ' +σ ω ϵ' Nas freq de micro-ondas normalmente temos ω ϵ' ' σ A dissipação por condutividade (σ) se torna cada vez menos relevante em altas frequências 6

7 Revisão Conceitos fundamentais Campos EMs em meio material Campo no material - caso geral (3D) D = D x ^x + D y ^y + D z ^z = [ ϵ] E B = B x ^x + B y ^y + B z ^z = [μ ] H Se o material não for isotrópico [ D x D y D z ] = [ ϵ xx ϵ yx ϵ zx ϵ xy ϵ yy ϵ zy ϵ xz ] ϵ. yz ϵ zz [ E x E y E z ] ([ ϵ] e [μ ]) são tensores. [ ] Bx B y B z = [μ xx μ yx μ zx μ xy μ yy μ zy μ xz μ yz μ zz ] [ H. x H y H z ] ϵ ij = ϵ ij(r) i ϵ ij(im) μ ij = μ ij(r ) iμ ij(im) Não linear Inomogênio ϵ ij ( E, H ) μ ij ( E, H ) ϵ ij (x, y, z) μ ij (x, y, z) Equações constitutivas: D = [ϵ] E B = [μ ] H 7

8 Conceitos fundamentais Campos EMs em interfaces (1) (2) E = B t M (3) (4) H = D t D = ρ B = 0 + J Reflexão, Transmissão, Polarização Condições de contorno para ED 8

9 Conceitos fundamentais Campos EMs em interfaces ρ s densidade superficial de carga 1) Campo elétrico normal à superfície (3) D = ρ S * Teoremada divergência V ( D)d S = ρ dv V (. D)dv = ( D)d S S No limite h 0 ^n.( D 2 D 1 )Δ S=Δ Sρ s ^n.( D 2 D 1 ) = ρ s 9

10 Conceitos fundamentais Campos EMs em interfaces ρ s densidade superficial de carga 2) Campo magnético normal à superfície (4) B = 0 * Teoremada divergência V (. B)dv = ( B)d S S ( B)d S = 0 ^n. B 2 = ^n. B 1 S 10

11 Conceitos fundamentais Campos EMs em interfaces 3) Campo elétrico tangencial M s correntesuperficial magética(v /m) (1) E = B t M *Teoremade Stokes S ( E)d S = ( E)d l C No limite h 0 Δl( E 2 E 1 ) ^n = Δ l M S ( E 2 E 1 ) ^n = M S A contribuição do fluxo magnético se torna nula 11

12 Conceitos fundamentais Campos EMs em interfaces 4) Campo magnético tangencial (2) H = D t + J *Teoremade Stokes S ( H )d S = ( H )d l C No limite h 0 Δl( H 2 H 1 ) ^n = Δl J S ( H 2 H 1 ) ^n = J S J s correntesuperficial elétrica( A/m) 12

13 Conceitos fundamentais Campos EMs em interfaces 1) Campo elétrico normal à superfície 3) Campo elétrico tangencial ^n.( D 2 D 1 ) = ρ s 2) Campo magnético normal à superfície ( E 2 E 1 ) ^n = M S 4) Campo magnético tangencial ^n. B 2 = ^n. B 1 ( H 2 H 1 ) ^n = J S As quatro relações devem ser satisfeitas na interface 13

14 Conceitos fundamentais Campos EMs em interfaces Caso (1) Interface dielétrica ρ s =0; M s =0; J s =0 1) Campo elétrico normal à superfície 3) Campo elétrico tangencial ^n. D 2 = ^n. D 1 2) Campo magnético normal à superfície ^n E 2 = ^n E 1 4) Campo magnético tangencial ^n. B 2 = ^n. B 1 ^n H 2 = ^n H 1 14

15 Conceitos fundamentais Campos EMs em interfaces Caso (2) Interface com condutor perfeito σ Sem perdas por efeito Joule Reação instantânea aos campos => Campo nulo no interior! Idealização para alguns materiais em alta frequência (cobre, alumínio e ouro) 1) Campo elétrico normal à superfície ^n. D = ρ s 2) Campo magnético normal à superfície ^n. B = 0 3) Campo elétrico tangencial ^n E = 0 4) Campo magnético tangencial ^n H = J S * Antena: Condição de parede elétrica ^n. D = 0 ^n H = J S 15

16 Conceitos fundamentais Campos EMs em interfaces Caso (3) Condição de parede magnética ρ s =0; J s =0 Parede formada por uma densidade de corrente superficial magnética (M s ) Não existe literalmente Extremidade de linha de transmissão em circuito aberto Certos problemas envolvendo linhas de trans. planares 1) Campo elétrico normal à superfície ^n. D = 0 2) Campo magnético normal à superfície ^n. B = 0 3) Campo elétrico tangencial ^n E = M S 4) Campo magnético tangencial ^n H = 0 16

17 Conceitos fundamentais Campos EMs em interfaces Exemplo: Parte da radiação eletromagnética de micro-ondas, que é emitida por uma fonte distante, incide normalmente sobre a superfície plana de uma placa de metal (cobre, alumínio, ouro) com densidade de potência média de 1μW/m2. Estime a densidade de corrente superficial gerada na placa considerando o metal como um condutor perfeito. 17

18 Equação de onda Solução de onda plana Das eq de Maxwell em meio homogêneo, linear, isotrópico e livre de cargas e correntes (sem perdas). (1) (2) E = B t = μ H t H = D t = ϵ E t (3) D = ϵ E = 0 (4) B = 0 (1 e 2) E = μ ( H ) t = μ ϵ 2 E t 2 Id. vetorial E = ( E ) 2 E = 2 E da condição (3) 2 E = μ ϵ 2 E t 2 da mesma forma para H

19 Equação de onda Solução de onda plana Das eq de Maxwell em meio homogêneo, linear, isotrópico e livre de cargas e correntes (sem perdas). (1) (2) E = B t = μ H t H = D t = ϵ E t (3) D = ϵ E = 0 (4) B = 0 2 E μϵ 2 E t 2 = 0 2 H μϵ 2 H t 2 = 0 Solução de onda plana Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM) E H z

20 Equação de onda Solução de onda plana 2 E μϵ 2 E t 2 = 0 2 H μϵ 2 H t 2 = 0 Solução de onda plana Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM) E H z Exemplo: E = E x ( z, t ) Propagna direção ^z e Polarização na direção ^x Conjunto de soluções E x = E 0 sin (ωt ± k z ) E x = E 0 cos (ωt ± k z ) E x = E 0 e i ( ω t ± k z )

21 Equação de onda Solução de onda plana Exemplo: 2 E μϵ 2 E t 2 = 0 2 H μϵ 2 H t 2 = 0 Conjunto de soluções E = E x ( z, t ) Propagna direção ^z e Polarização na direção ^x E x = E 0 sin (ωt ± k z ) E x = E 0 cos (ωt ± k z ) E x = E 0 e i ( ω t ± k z ) k = 2π λ Constante de propagação ω = 2 π f Frequência ωt ± kz Fase (-) Propagação no sentido positivo de z (+) Progação no sentido negativo de z

22 Equação de onda Solução de onda plana Exemplo: 2 E μϵ 2 E t 2 = 0 2 H μϵ 2 H t 2 = 0 Conjunto de soluções E = E x ( z, t ) Propagna direção ^z e Polarização na direção ^x E x = E 0 sin (ωt ± k z ) E x = E 0 cos (ωt ± k z ) E x = E 0 e i ( ω t ± k z ) k = 2π λ Constante de propagação ω = 2 π f Frequência ωt ± kz Fase Relação ω k = 1 μϵ

23 Equação de onda Solução de onda plana Exemplo: 2 E μϵ 2 E t 2 = 0 2 H μϵ 2 H t 2 = 0 Conjunto de soluções E = E x ( z, t ) Propagna direção ^z e Polarização na direção ^x E x = E 0 sin (ωt ± k z ) E x = E 0 cos (ωt ± k z ) E x = E 0 e i ( ω t ± k z ) * Dentro de um material dielétrico (permitividade relativa do meio é real) k = 2π λ Constante de propagação ω = 2 π f Frequência ωt ± kz Fase μ = μ ω k = 1 μ ϵ = 1 ω r μ 0 μ r ϵ r k λ = ϵ = ϵ 0 λ r ϵ 0 0 k = ω μ ϵ 1 μ r ϵ r Comprimento de onda depende do material.

24 Equação de onda Solução de onda plana Exemplo: 2 E μϵ 2 E t 2 = 0 2 H μϵ 2 H t 2 = 0 Conjunto de soluções E = E x ( z, t ) Propagna direção ^z e Polarização na direção ^x E x = E 0 sin (ωt ± k z ) E x = E 0 cos (ωt ± k z ) E x = E 0 e i ( ω t ± k z ) k = 2π λ Constante de propagação ω = 2 π f Frequência ωt ± kz Fase ** Velocidade de fase da onda Velocidade de deslocamento de um ponto sobre a onda (fase constante). d (ω t ± k z ) dt = 0 ω± k dz dt k = ω μϵ = 0 ω ± k v f =0 v f = ω k = 1 μ ϵ

25 Equação de onda Solução de onda plana Exemplo: 2 E μϵ 2 E t 2 = 0 2 H μϵ 2 H t 2 = 0 Conjunto de soluções E = E x ( z, t ) Propagna direção ^z e Polarização na direção ^x E x = E 0 sin (ωt ± k z ) E x = E 0 cos (ωt ± k z ) E x = E 0 e i ( ω t ± k z ) k = 2π λ Constante de propagação ω = 2 π f Frequência ωt ± kz Fase ** Velocidade de fase da onda Velocidade de deslocamento de um ponto sobre a onda (fase constante). No vácuo, v f = c= 1 μ 0 ϵ 0 = 2, m/s No dielétrico, v f = c μ r ϵ r k = ω μϵ

26 Equação de onda Solução de onda plana Exemplo: 2 E μϵ 2 E t 2 = 0 2 H μϵ 2 H t 2 = 0 Conjunto de soluções E = E x ( z, t ) Propagna direção ^z e Polarização na direção ^x E x = E 0 sin (ωt ± k z ) E x = E 0 cos (ωt ± k z ) E x = E 0 e i ( ω t ± k z ) ** Velocidade de fase da onda Exemplos: No dielétrico, v f = * não magnético μ r = 1 k = 2π λ Constante de propagação ω = 2 π f Frequência ωt ± kz Fase c ϵ r v f (m/ s) μ r ϵ r Teflon (10 GHz) 2,08? Vidro (3 GHz) 4,84? Água destilada (3 GHz) 76,7? k = ω μϵ