Eletromagnetismo Aplicado Propagação de Ondas Guiadas Guias de Onda - 1/2

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1 Eletromagnetismo Aplicado Propagação de Ondas Guiadas Guias de Onda - 1/2 Heric Dênis Farias hericdf@gmail.com

2 PROPAGAÇÃO DE ONDAS GUIADAS - GUIAS DE ONDA 1/2 Introdução; Guia de Onda Retangular; Modos Transversais Magnéticos; Modos Transversais Elétricos; 2/31

3 INTRODUÇÃO Como visto anteriormente, linhas de transmissão são utilizadas para transportar energia de forma guiada. Um guia de onda é outro meio de atingir o mesmo objetivo, entretanto, guias de onda diferem das linhas de transmissão: Linhas de transmissão só suportam ondas transversais eletromagnéticas enquanto os guias de onda podem suportar vários modos diferentes; Na faixa de micro-ondas (3 300 GHz, aproximadamente), as linhas de transmissão tornam-se ineficientes, principalmente devido ao efeito pelicular e às perdas nos dielétricos, enquanto os guias de onda operam bem nesta faixa de frequências; Guias de onda podem operar desde corrente contínua (f = 0) até altas frequências, enquanto os guias de onda operam somente acima de um certa frequência, atuando como filtros passa-alta, ou seja, guias de onda não transmitem corrente contínua e tornam-se excessivamente grandes abaixo de micro-ondas. 3/31

4 GUIA DE ONDA RETANGULAR Embora um guia de onda possua seção transversal uniforme, que pode ter qualquer formato, os guias mais comuns são os retangulares e os circulares. A análise do guia de onda circular é trabalhosa e está fora do escopo da disciplina, por isso, somente o guia de onda retangular será considerado. Considerando o guia de onda mostrado na figura a seguir, onde a e b são as dimensões internas do guia, este é preenchido com um dielétrico sem perdas livre de cargas e correntes (σ = 0, ρ v = 0, J = 0) e com paredes perfeitamente condutoras (σ c = ). 4/31

5 Assim, as equações de Maxwell na forma fasorial para um meio sem perdas tornam-se 2 E s + k 2 E s = 0 2 H s + k 2 H s = 0 (1a) (1b) onde k = ω µε. Utilizando E s = (E xs, E ys, E zs ) e H s = (H xs, H ys, H zs ), cada uma das equações de Maxwell corresponderá a três equações escalares de Helmholtz, ou seja, seis equações diferenciais escalares devem ser resolvidas. 5/31

6 Por exemplo, para a componente z, a equação 1a fica 2 E zs x E zs y E zs z 2 + k2 E zs = 0 (2) Esta equação pode ser solucionada por separação de variáveis, ou seja, fazendo E zs (x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z) (3) e substituindo na equação 2, dividindo por XYZ, obtém-se X X + Y Y + Z Z = k2 (4) 6/31

7 Como as variáveis são independentes, cada termo da equação 4 deve ser constante, para que somados sejam iguais a constante k 2, portanto, a equação pode ser reescrita como k 2 x k 2 y + γ 2 = k 2 (5) onde k x, k y e γ são constantes de separação, assim, a equação 4 é separada em X + k 2 xx = 0 Y + k 2 yy = 0 Z γ 2 Z = 0 (6a) (6b) (6c) A escolha de γ ao invés de k z deve-se ao fato de que as ondas se propagam na direção z no sistema de coordenadas definido. 7/31

8 A equação 6 é solucionada como X(x) = c 1 cosk x x + c 2 sink x x Y(y) = c 3 cosk y y + c 4 sink y y Z(z) = c 5 e γz + c 6 e γz (7a) (7b) (7c) Substituindo a equação 7 na equação 3 E zs (x,y,z) = (c 1 cosk x x + c 2 sink x x) (c 3 cosk y y + c 4 sink y y) ( c 5 e γz + c 6 e γz) (8) 8/31

9 Considerando que a onda se propaga no sentido positivo de z, a constante c 5 = 0, assim E zs (x,y,z) = (A 1 cosk x x + A 2 sink x x) (A 3 cosk y y + A 4 sink y y)e γz (9) Por um desenvolvimento semelhante, a solução da equação 1b é H zs (x,y,z) = (B 1 cosk x x + B 2 sink x x) (B 3 cosk y y + B 4 sink y y)e γz (10) 9/31

10 Ao invés de resolver da mesma forma para as demais componentes de campo, utilizam-se as equações de Maxwell para determiná-las a partir de E zs e H zs, utilizando E s = jωµh s (11) H s = jωεe s (12) obtém-se 10/31

11 E zs y E ys z = jωµh xs (13a) H zs y H ys = jωεe xs (13b) z E xs z E zs x = jωµh ys H xs (13c) z H zs x = jωεe ys (13d) E ys x E xs y = jωµh zs (13e) H ys x H xs y = jωεe zs (13f) 11/31

12 O objetivo é expressar E xs, E ys, H xs e hys em função de E zs e H zs, por exemplo, para E xs, combinando as equações 13b e 13c jωεe xs = H zs y + 1 ( 2 E xs jωµ z 2 2 ) E zs x z (14) Fica claro das equações 9 e 10 que todas as componentes de campo variam com z de acordo com e γz, ou seja E zs e γz ; E xs e γz E zs z = γe zs; 2 E xs z 2 = γ 2 E xs (15) 12/31

13 Desta forma, jωεe xs = H zs y + 1 ( γ 2 E xs + γ E ) zs jωµ x (16) ou, fazendo h 2 = γ 2 + ω 2 µε = γ 2 + k 2 E xs = γ E zs h 2 x jωµ H zs h 2 y (17) 13/31

14 De maneira semelhante, obtém-se os termos E ys, H xs e H ys em função de E zs e H zs onde E xs = γ E zs h 2 x jωµ H zs h 2 y E ys = γ E zs h 2 y jωµ H zs h 2 x H xs = γ H zs h 2 x + jωµ E zs h 2 y H ys = γ H zs h 2 y jωµ h 2 E zs x (18a) (18b) (18c) (18d) h 2 = γ 2 + k 2 = k 2 x + k 2 y (19) Portanto, as equações 18 em conjunto com as equações 9 e 10 para obter E xs, E ys, H xs e H ys 14/31

15 Das equações 9, 10 e 18, nota-se que existem diferentes tipos de configurações de campo, cada configuração é chamada de um modo, estas são: E zs = H zs = 0, este é o modo transversal eletromagnético (TEM), no qual os campos E e H são transversais à direção de propagação da onda, das equações 18 segue que todas as componentes de campo se anulam nestas condições, consequentemente o guia de onda retangular não suporta o modo TEM; E zs = 0, H zs 0, para esses modos, o campo E é transversal à direção de propagação, por isto, este é denominado de modo transversal elétrico (TE); E zs 0, H zs = 0, de forma semelhante, neste modo o campo H é transversal à direção de propagação, sendo assim o modo transversal magnético (TM); E zs 0, H zs 0, neste caso, nenhum dos campos é perpendicular à direção de propagação, estes são denominados de modos híbridos ou modos HE. 15/31

16 MODOS TRANSVERSAIS MAGNÉTICOS (TM) Neste caso, o campo magnético é normal à direção de propagação, ou seja H zs = 0, as demais componentes devem ser calculadas a partir das equações 9, 10 e 18 e as condições de fronteira, iniciando por E zs, nas paredes do guia, as componentes tangenciais devem ser contínuas, ou seja E zs = 0 em y = 0 (parede inferior) (20a) E zs = 0 em y = b (parede superior) (20b) E zs = 0 em x = 0 (parede esquerda) (20c) E zs = 0 em x = a (parede direita) (20d) as equações 20a e 20c requerem A 1 = A 3 = 0 na equação 9 E zs = E o sink x xsink y ye γz (21) 16/31

17 onde E o = A 2 A 4, as equações 20b e 20d aplicadas a equação 21 levam a ou sink x a = 0; sink x b = 0 (22) k x = mπ a ; k y = nπ b ; m,n Z + (23) Assim, substituindo a equação 23 na equação 21 E zs = E o sin mπx a nπy sin b e γz (24) 17/31

18 As outras componentes de campo são obtidas a partir das equações 18 e 24 tendo em vista que H zs = 0 onde E xs = γ mπ h 2 a E o cos mπx a E ys = γ nπ h 2 b E o sin mπx a H xs = jωε nπ h 2 b E o sin mπx a H ys = jωε h 2 mπ a E o cos mπx a nπy sin b e γz (25a) nπy cos b e γz (25b) nπy cos b e γz (25c) nπy sin b e γz (25d) h 2 = k 2 x + k 2 y = [ mπ ] 2 [ nπ + a b ] 2 (26) 18/31

19 Note que cada par de inteiros m e n corresponde a uma configuração de campo diferente, estes são referidos de modos TM mn. O inteiro m é igual ao número de meios ciclos de senos ou cossenos na direção x e n denota o número de senos ou cossenos na direção y. Das equações 24 e 38 conclui-se que se m ou n for nulo, todas as componentes de campo se anulam, ou seja, o modo de menor ordem transversal magnético é TM 11. Substituindo a equação 23 na equação 19, obtém-se a constante de propagação [mπ ] 2 [ nπ γ = + a b ] 2 k 2 ; k = ω µε (27) Lembrando que, em geral, γ = α + jβ. 19/31

20 Da equação 27, separam-se três casos, dependendo dos valores de k (ou ω), m e n: 1. Corte: Se então k 2 = ω 2 µε = [ mπ ] 2 [ nπ + a b ] 2 γ = 0 ou α = β = 0 O valor de ω para o qual isto ocorre é chamado de frequência de corte ω c, isto é ω c = 1 [mπ ] 2 [ nπ + µε a b ] 2 (28) 20/31

21 2. Evanescente: Se então k 2 = ω 2 µε < [ mπ ] 2 [ nπ + a b ] 2 γ = α; β = 0 Estes modos são atenuados e não há propagação da onda. 21/31

22 3. Propagação Se então k 2 = ω 2 µε > [ mπ ] 2 [ nπ + a b ] 2 γ = jβ; α = 0 ou seja, da equação 27, a constante de fase β torna-se β = k 2 [ mπ ] 2 [ nπ a b ] 2 (29) Este é o único caso em que ocorre propagação, pois todas as componentes de campo terão o fator e γz = e jβz, portanto, cada modo TM mn terá uma frequência de corte f c = ω c /2π correspondente. 22/31

23 Assim, o guia de onda opera como um filtro passa-alta. Da equação 28, nota-se que o modo TM 11 tem a menor frequência de corte dos modos TM, a constante de fase β pode ser reescrita em função da frequência de corte f c como ou β = ω µε 1 [ ] 2 fc (30) f β = β 1 [ ] 2 fc (31) f onde β = ω/u = ω µε é a constante de fase de uma onda plana uniforme no meio dielétrico, u é a velocidade da luz neste meio. 23/31

24 A velocidade de fase u p e o comprimento de onda λ no guia são u p = ω β ; λ = 2π β = u p f A impedância intrínseca da onda para cada modo é obtida da equação 38 considerando γ = jβ (32) ou η TM = E x H y = E y H x = β ωε = µ 1 ε [ ] 2 fc (33) f η TM = η 1 [ ] 2 fc (34) f onde η = µ/ε é a impedância intrínseca de uma onda plana uniforme no meio dielétrico. 24/31

25 Como mencionado anteriormente, os inteiros m e n indicam o número de meio ciclos de senos ou cossenos existentes em uma seção reta x y do guia. Assim, por exemplo, para um determinado instante de tempo, a figura abaixo ilustra o modo TM /31

26 MODOS TRANSVERSAIS ELÉTRICOS (TE) Nos modos TE, o campo elétrico é normal à direção de propagação da onda, ou seja, utilizando o mesmo desenvolvimento feito para as ondas TM, fazendo E zs = 0, determinam-se as demais componentes de campo aplicando as condições de contorno, estas são obtidas a partir do fato de que as componentes tangenciais do campo elétrico devem ser contínuas nas paredes do guia de onda E xs = 0 em y = 0 E xs = 0 em y = b E ys = 0 em x = 0 E ys = 0 em x = a (35a) (35b) (35c) (35d) 26/31

27 A partir das equações 18, as condições de fronteira podem ser reescritas como H zs y H zs y H zs = 0 em y = 0 (36a) = 0 em y = b (36b) = 0 em x = 0 (36c) x H zs = 0 em x = a (36d) x impondo estas condições de fronteira na equação 10, obtém-se H zs = H o cos mπx a nπy cos b e γz (37) onde H o = B 1 B 3 27/31

28 As outras componentes de campo são obtidas, novamente, utilizando as equações 18 E xs = jωµ h 2 E ys = jωµ h 2 nπ b H o cos mπx a mπ a H o sin mπx a H xs = γ mπ h 2 a H o sin mπx a H ys = γ nπ h 2 b H o cos mπx a nπy sin b e γz (38a) nπy cos b e γz (38b) nπy cos b e γz (38c) nπy sin b e γz (38d) onde m, n Z + 28/31

29 Os parâmetros h e γ permanecem como foram definidos para os modos TM. Novamente, os inteiros m e n indicam o número de meio ciclos de senos ou cossenos existentes em uma seção reta x y do guia. A frequência de corte f c, a constante de fase β, a velocidade de fase u p e o comprimento de onda λ para os modos TE são iguais aos dos modos TM. Para os modos TE, m e n podem ser nulos, porém não simultaneamente. Isto implica que os modos de menor frequência de corte sejam o modo TE 10 ou TE 01, dependendo dos valores de a e b. É usual considerar a > b, de tal maneira que o modo TE 10 é o de menor frequência de corte, e é assim, definido como modo dominante. f c10 = u 2a É importante ressaltar que, qualquer onda EM com frequência menor do que a frequência de corte do modo dominante, não se propagará no guia de onda. (39) 29/31

30 A impedância intrínseca para os modos TE é diferente da impedância intrínseca para os modos TM: ou η TE = E x = E y = ωµ µ H y H x β = ε 1 [ ] (40) 2 fc 1 f Note que η TE = 1 η [ fc f ] 2 (41) η TE η TM = η 2 (42) 30/31

31 PROBLEMAS 1. Projete um guia de onda retangular com uma razão de 3 para 1 em suas dimensões, para ser utilizado na banda K (18 27 GHz). Suponha que o guia é preenchido com ar. 2. Um túnel é modelado com um guia de onda retangular metálico preenchido com ar, com dimensões de a = 8 m e b = 16 m. Determine se o túnel transmite: (a) um sinal de radio AM de 1.5 MHz; (b) um sinal de radio FM de 120 MHz; (b) um sinal de telefonia GSM 2G de 900 MHz. 3. Em um guia de onda quadrado preenchido com ar, com a = 1.2 cm, E x = 10sin 2πx sin(ωt 150z) V/m a (a) qual é o modo de propagação? (b) determine a frequência de corte f c ; (c) calcule a frequência de operação f ; (d) determine γ e η. 31/31