- PDF Free Download

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download ""

Ana Beatriz Castanho Braga
6 Há anos
Visualizações:

10 CORRENTES DE CONDUÇÃO E DE DESLOCAMENTO a) Formas instantâneas densidade de corrente condução: j c = σ e densidade de corrente de deslocamento: j = d / dt. d b) Formas fasoriais densidade de corrente condução: densidade de corrente de deslocamento: J c d =σ E J = jωd = jωεe MEIOS DIELÉTRICOS E CONDUTORES Considerem-se as seguintes razões assumem em meios materiais: J c J d σ = ωε J J ou d c ωε = σ a) Dielétrico perfeito (ideal ou sem perdas): σ=0 Se: σ / ωε << 1 J / J << 1 c d No limite, quando σ=0 deve ocorrer: J c = 0 (não há corrente de condução) b) Dielétrico prático (com pequenas perdas) Por definição: J < 1% c J d

11 c) Condutor perfeito (ideal): σ= Se: ωε / σ << 1 J / J << 1 d c No limite, quando σ= deve ocorrer: J d = 0 (não há corrente de deslocamento) d) Condutor prático Por definição: J < 1% d J c A CONSTANTE DE PROPAGAÇÃO COMPLEXA γ = jωμ( σ + jωε) = α + jβ A partir de operação algébricas simples, pode-se mostrar que esta expressão conduz aos seguintes valores para α e β: ω με σ α = ωε 2 ω με σ β = ωε 2 a) Dielétrico perfeito (σ=0) α = 0 β = ω με O primeiro resultado já era esperado. O segundo informa que β varia linearmente com a ω... ondas TEM não dispersivas.

12 b) Dielétrico prático ( σ / ωε << 1) γ = jωμ σ + jωε = jωμ. jωε. 1 j σ ωε Série binomial: + = para x < x 1 x/ 2 x / 8... Fazendo-se x = j( σ / ωε) Portanto: 1 σ 2 σ γ jω με.[1 ( ) j ] = α + jβ 8 ωε 2ωε σ μ α 2 ε Tem-se disponível uma expressão para se determinar o fator de atenuação. O valor de α deve resultar muito pequeno, mas não nulo (para comunicação de longa distância valor de α pode conduzir a uma redução significativa da amplitude da onda). 2 1 σ β ω με 1 ω με 8 ωε (a segunda parcela foi considerada desprezível em relação à unidade) A expressão para β permanece aproximadamente igual à do meio sem perdas.

13 c) Condutor prático ( ωε / σ << 1) jωε 1 ωε jωε γ = jωμ σ + ωμσ j + σ 8 σ 2σ {1 ( ) } Lembrar que 1/2 j /2 1/2 j /4 j j e π π = = = e = + j ( ) 1/ 2 / ωε 2 ωε 1 ωε 2 ωε γ = ωμσ.[1 ( )] + j[1 ( )] + j 2 8 σ 2σ 8 σ 2σ ωμσ ωε 1 ωε 2 ωε 1 ωε 2 = [1 ( ) ] + j[1 ( ) ] = α + 2 2σ 8 σ 2σ 8 σ jβ Desprezando-se os termos ωε / 2σ e 2 ( ωε / σ ) /8 diante da unidade: ωμσ α = π f μσ (Np/m) 2 (resulta muito elevado para condutores práticos) ωμσ β = π f μσ (rad/m) 2 (diferente dos meios dielétrico, no condutor β varia com ω : meio dispersivo) 7 Para σ 10 S/m (platina), a atenuação α é tão intensa em metais que impossibilita a propagação de onda eletromagnética em seu interior. Após uma certa profundidade de penetração no metal (dependendo da frequência, pode ser da ordem de frações de mm), a onda evanesce e é totalmente dissipada em seu interior. Por isso, invólucros metálicos são amplamente usados como blindagem de circuitos eletrônicos e instrumentos de medição contra interferências eletromagnéticas externas. c) Condutor ideal (σ= ) Não há propagação de onda eletromagnética no interior do condutor ideal.

Exemplo: Calcular a profundidade σ=10 7 S/m e frequência f=1 MHz. de penetração num metal com condutividade Solução: A figura ilustra a geometriaa do problema.

14 Exemplo: Calcular a profundidade σ=10 7 S/m e frequência f=1 MHz. de penetração num metal com condutividade Solução: A figura ilustra a geometriaa do problema. Na interface z=0, entre o ar e o metal, uma onda eletromagnética é inserida propagando-se para a direita. Esta onda tem forma geral conforme e = Ee α z 0 cos( ωt β z) x ˆ, uma senóide amortecida na direção z. A envoltória da onda é dada por: sendo E 0 o valor do campo na superfície do metal. E max = E0 e α z, A profundidade de penetração, z=δ, é definida como a distância d na qual a amplitude do campo decai a 1/e do seu valor da superfície do metal. Estee valor é calculado fazendo-se: A partir daí, calcula-se: E0e αδ δ =1 / α. = E e. 0 / Utilizando-se a relação α π f μσ, determina-se: δ =1/ π π = 160 μm. μ

19 IMPEDÂNCIA INTRÍNSECA PARA MEIOS MATERIAIS η = jωμ σ + jωε a) Dielétrico perfeito (σ=0) μ η = ε ( um número real puro) Constitui motivo de equívoco interpretar a impedância intrínseca real como no caso da resistência elétrica na teoria de circuitos elétricos, ou seja, que está associada a perdas por efeito Joule. Deve ser interpretado apenas como uma razão entre os módulos de E e H, e cujo resultado no meio sem perdas é puramente real. Os campos elétrico e magnético estão em fase no espaço: φ = ϕe ϕh =0. No vácuo (ou ar): ε 0 =10-9 /36π F/m e μ 0 =4π 10-7 H/m η = μ / ε =120π rad 377 Ω Como ε = εrε0 e μ = μrμ0, então, para meio dielétrico μ r = 1 μμ μ1 1 0 r 0 η = = = η0 η0 εε 0 r εε 0 r εr (o maior valor de impedância intrínseca possível é a do vácuo)

b) Dielétrico prático ( σ / ωε << 1) Série: 1/ 1

.., para x < 1, η = μ ε 1 1 j σ με 2 μ 3 σ 1 ε 8

c) Condutor perfeito (σ= )) η = lim σ j ωμ 0 σ +

H =0, conclui-se que o campo elétrico no

+ j ωε σ ) jωμ = σ ωμ σ j /4 e π = ωμ 2σ + j ωμ

de π/4 rad dentroo do condutor) Como visto, um

nas proximidades da superfíciee do metal por

20 b) Dielétrico prático ( σ / ωε << 1) Série: 1/ 1 x = 1 + x /2+ 3x 2 /8 +..., para x < 1, η = μ ε 1 1 j σ με 2 μ 3 σ 1 ε 8 με j σ + με (um número complexo, como esperado) c) Condutor perfeito (σ= )) η = lim σ j ωμ 0 σ + jωε = Aplicando: E = η. H =0, conclui-se que o campo elétrico no interior de um condutor perfeito é nulo (embora o campo magnético possa ser finito). d) Condutor prático ( ωε / σ << 1) η = jωμ σ (1 + j ωε σ ) jωμ = σ ωμ σ j /4 e π = ωμ 2σ + j ωμ 2σ = π f μ σ + j π f μ σ (defasagem entre E e H de π/4 rad dentroo do condutor) Como visto, um tal campo eletromagnético deve existir somente s nas proximidades da superfíciee do metal por onde incidee a onda; após uma pequena profundidade de penetração, todo o campo deve ter sidoo dissipado por efeito Joule.

21 SUPERFÍCIE DE FASE INSTANTÂNEA CONSTANTE Neste estágio da análise, o leitor já deve estar mais familiarizado com o conceito de onda eletromagnética. Por isso, a noção de fase instantânea φ i pode ser estudada em maior profundidade. Seja um campo normalizado dado por: e / E cos( t z) x ˆ 0 = ω β. Será analisado um ponto de fase instantânea constante valendo, por exemplo, φi = ωt β z= 2π rad β z= 2π + ωt. Neste caso, e / E ˆ ˆ ˆ 0 = cos( ωt β z) x= cos( 2 π ) x=+ 1x, que informa que este ponto deve corresponder a um máximo positivo. Na Tabela encontra-se o resultado do cálculo de β z= 2π + ωt para os 5 instantes de tempo t (para ω constante). Tabela Valores de βz para o ponto de fase instantânea constante t, s Valor de β z= 2π + ωt 0 βz = 2π 0=2π rad π/2ω βz = 2π+ω.(π/2ω)=5π/2 rad π/ω βz=2π+ω.(π/ω)=3π rad 3π/2ω βz=2π+ω.(3π/2ω)=7π/2 rad 2π βz=2π+ω.(2π)=4π rad

22 Tabela Valores de βz paraa o ponto de fase instantânea t, s 0 π/2ω π/ω 3π/2ω 2π Valor de β z = 2π + ωt βz = 2π 0=2ππ rad βz = 2π+ω.(π/ /2ω)=5π/22 rad βz=2π+ω.(π/ω)=3π rad βz=2π+ω.(3π/ /2ω)=7π/22 rad βz=2π+ω.(2π) )=4π rad constante Como se observa, à medida que o tempo passa, o ponto de fase instantâneaa constante (ou a frente de onda) se propaga paraa a direita, assumindo os valores (a) βz=2π, β (b) 5π/2, (c) 3π, (d) 7π/2 e (e) 4π rad. O perfil do campo translada-se na direção do eixo β z. O pontoo associadoo à fase instantâneaa φ = 2π rad, encontra-se marcado na figura. A partir destes resultados, expressões para velocidad e de fase onda, por exemplo, poderão ser deduzidas com maior propriedade. i e comprimento de

27 A expressão para a velocidade de grupo, v g, dada por: v g 1 1 = = = ' ' βo βo dβ / dω ω = ω c pode ser aplicada ao caso da onda plana, para linhas de transmissão TEM, guias de ondas metálicos, fibras ópticas, etc. O único cuidado é que a largura de banda do sinal deve ser pequena relativamente à frequência da portadora (ω c ). Exemplo: Mostrar que no caso particular da onda plana, o valor da velocidade de grupo coincide com o da velocidade de fase. Solução: No caso de onda plana se propagando em meio sem perdas, β satisfaz a β = ω με, e assim, v g 1 1 dβ d 1 = = ( ω με) = = v dω dω με p informando-se que as velocidades de grupo e de fase são iguais. Este resultado não deve surpreender, pois no caso da onda plana uniforme e ilimitada β varia linearmente com ω. Em geral essas velocidades são diferentes para ondas guiadas não TEM, nas quais existe o problema de dispersão de guia de ondas (β não varia linearmente com ω).

Documentos relacionados

Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Onda Plana Uniforme no espaço livre (Capítulo 11 Páginas 375 a 384) Onda Plana Uniforme em dielétricos com