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1 Prof. Fernando Massa Fernandes Sala 5017 E fernando.fernandes@uerj.br Aula 13

2 Revisão

3 Modelo de elementos distribuídos Modelar a linha em pequenos elementos de circuito de tamanho Δz << λ permite aplicar teoria de circuitos. Revisão

4 Revisão Modelo de elementos distribuídos Modelar a linha em pequenos elementos de circuito de tamanho Δz << λ permite aplicar teoria de circuitos. R Resistência série devida a condutividade finita dos conectores. (Ω/m) L Auto-indutância total entre os condutores. ( H /m) G Condutância de derivação devida à perda dielétrica no material (S /m) entre os condutores. C Capacitância de derivação devida a proximidade dos condutores. (F /m)

5 Revisão Solução de onda Das equações do telegrafista com fonte senoidal e tomando a derivada em z: * Equações de onda! d V ( z) γ V ( z)=0 dz * Ondas de tensão e corrente => Solução de onda V ( z)=v +0 e γ z +V -0 e+ γ z d I ( z) γ I ( z)=0 dz I ( z)=i +0 e γ z + I -0 e +γ z Exemplo de modelo de circuito de linha de transmissão Apostila de eletrônica 5 Centro Paula souza

6 Revisão Impedância característica da linha (z0) Relação entre as amplitudes da tensão e corrente * Ondas de tensão e corrente V ( z)=v +0 e γ z +V -0 e+ γ z I ( z)= 1 + γ z - +γ z (V 0 e V 0 e ) Z0 I ( z)= I +0 e γ z + I -0 e + γ z Impedância característica da linha Z 0= R +i ω L R +i ω L = γ G+i ω C * Na posição da carga, z = 0. V +0 I + 0 = V -0 I 0 =Z 0

7 Revisão Potência entregue na carga (z = 0) V ( z)=v +0 e γ z +V -0 e+ γ z I ( z)= 1 + γ z - +γ z (V 0 e V 0 e ) Z0 constante de prop. complexa => 1 P l = ℜ{ V (0) I *(0)} γ= ( R+i ω L).(G+i ω C)=α+i β Impedância característica da linha Z 0= R +i ω L R +i ω L = γ G+i ω C * Na posição da carga, z = 0. V +0 I + 0 = V -0 I 0 =Z 0

8 Revisão No domínio do tempo v(z,t) γ=α+iβ V ( z)=v +0 e γ z +V -0 e+ γ z iωt + γ z 0 v ( z, t)=v ( z) e =(V e - +γ z 0 +V e )e iω t Complexos V +0 = V +0 e i Φ+ V -0 = V -0 e i Φ - v ( z, t)=(v +0 e α z e iβ z +V -0 e +α z e+ iβ z )e i ω t => v ( z, t )= V +0 cos( ω t β z+ Φ+ ) e α z + V -0 cos ( ω t + β z+ Φ- )e + α z

9 Revisão Linha sem perdas (R = G = 0) γ= ( R+i ω L).(G+i ω C)=α+iβ Z 0= α=0 β = ω LC R +i ω L R +i ω L L = Z = 0 γ G+i ω C C Comprimento de onda Velocidade de fase π π λ= β λ = ω LC 1 vf = ω vf = β LC * comparação com onda plana eletromagnética: η = μ ϵ β = ω μ ϵ vf = 1 μ ϵ

10 Revisão. Análise dos campos em linhas de transmissão Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Tensão entre os condutores (C1 e C) Corrente sendo transportada V ( z)=v 0 e±i β z I ( z)=i 0 e±i β z

11 Revisão. Análise dos campos em linhas de transmissão Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Tensão entre os condutores (C1 e C) Corrente sendo transportada V ( z)=v 0 e±i β z I ( z)=i 0 e±i β z Como o modelo de elementos de circuito esta relacionado aos campos? R: Conservação de energia e potência (teorema de Poynting).

12 Revisão. Análise dos campos em linhas de transmissão Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia armazenada nos campos <=> Indutância e Capacitância da linha. Energia magnética armazenada Da teoria de circuitos W m =L I0 μ L= H. H * ds ( H /m) I 0 S 4 μ Do teorema de Poynting W m (H )= H. H * ds ( para 1 metro) 4 S

13 Revisão. Análise dos campos em linhas de transmissão Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia armazenada nos campos <=> Indutância e Capacitância da linha. Energia elétrica armazenada Da teoria de circuitos W e =C V0 * C= ϵ E. E ds ( F /m) V o S 4 Do teorema de Poynting W e ( E )= ϵ E. E * ds ( para 1 metro) 4 S

14 Revisão. Análise dos campos em linhas de transmissão Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia dos campos dissipada <=> Resistência dos condutores e condutância do dielétrico. Energia sendo dissipada por efeito Joule Da teoria de circuitos P c =R R= I0 R * Do teorema de Poynting P c = S H t. H t dl S =C +C 0 1 RS I 0 H t. H *t dl ( Ω / m) C1 +C ωμ 1 = σ σ δp Bom condutor R S =ℜ( η)=

15 Revisão. Análise dos campos em linhas de transmissão Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia dos campos dissipada <=> Resistência dos condutores e condutância do dielétrico.,, Energia sendo dissipada por efeito Joule pelo termo de amortecimento dielétrico ( ϵ ) Da teoria de circuitos P d =G V0 Do teorema de Poynting P d = ω ϵ,, E ds S ϵ =ϵ, i ϵ,, =ϵ, (1 i tg δ ) ϵ,, =ϵ, tg δ,, ω ϵ * ds ( S /m) G= E. E V 0 S

16 Revisão. Análise dos campos em linhas de transmissão Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Geral μ * H. H ds ( H /m) I 0 S L= * C= ϵ E. E ds ( F /m) V o S R= RS I 0 H t. H *t dl ( Ω /m) C 1 +C,, ω ϵ G= E. E * ds (S /m) V 0 S

17 . Análise dos campos em linhas de transmissão Exemplo.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura: Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e γ z

18 . Análise dos campos em linhas de transmissão Exemplo.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura: Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e γ z μ L= H. H * ds ( H /m) I 0 S

19 . Análise dos campos em linhas de transmissão Exemplo.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura: Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e γ z * C= ϵ E. E ds ( F /m) V o S

20 . Análise dos campos em linhas de transmissão Exemplo.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura: Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e γ z R= RS I 0 C 1 +C H t. H *t dl ( Ω / m)

21 . Análise dos campos em linhas de transmissão Exemplo.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura: Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e γ z,, ω ϵ G= E. E * ds (S /m) V 0 S

22 . Análise dos campos em linhas de transmissão Exemplo.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura:

23 . Análise dos campos em linhas de transmissão * A constante de propagação, a impedância característica, e a atenuação da maioria das linhas de transmissão são usualmente obtidas diretamente da solução na teoria dos campos. ** Em linhas de geometria simples é possível determinarmos os parâmetros de circuito equivalentes (L, C, R, G) a partir dos cálculos simples apresentados. *** Em linhas de geometria mais complexa, em geral, é necessária a utilização de softwares CAD que utilizam elementos finitos (FEM).

24 . Análise dos campos em linhas de transmissão

25 . Análise dos campos em linhas de transmissão Exercício.3 - Livro O cabo coaxial semirrígido RG-40U possui um condutor interno com diâmetro de 0,91 mm e um dielétrico com diâmetro externo de 3,0 mm (mesmo diâmetro do condutor externo). Ambos os condutores são de cobre, e o material dielétrico utilizado é o Teflon. Calcule os parâmetros R, L, G e C dessa linha em 1GHz, e utilize o resultado para encontrar a impedância característica e atenuação da linha em 1GHz.

26 . Análise dos campos em linhas de transmissão Exercício.3 - Livro O cabo coaxial semirrígido RG-40U possui um condutor interno com diâmetro de 0,91 mm e um dielétrico com diâmetro externo de 3,0 mm (mesmo diâmetro do condutor externo). Ambos os condutores são de cobre, e o material dielétrico utilizado é o Teflon. Calcule os parâmetros R, L, G e C dessa linha em 1GHz, e utilize o resultado para encontrar a impedância característica e atenuação da linha em 1GHz. * Compare seus resultados com a especificação do fabricante. * comente sobre as discrepâncias.

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28 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Onda gerada em z < 0 Onda refletida em z = 0 V ( z) =Z 0 I ( z) Ao longo da linha * Na posição da carga, z = 0. V +0 + γ z 0 I ( z)=i e 0 +I e +γ z I + 0 = V -0 I 0 =Z 0

29 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Ao longo da linha Z=0 Onda refletida Coef. de reflexão (z=0) V ( z) =Z 0 I ( z)

30 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Ao longo da linha Z=0 Onda refletida Coef. de reflexão (z=0) V ( z) =Z 0 I ( z)

31 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Potência média entregue (no ponto z) V * ( 1 Γ ) P = ℜ [ V ( z). I ( z) ]= Z0 + P = P P Incidente - Refletida Não depende de z!

32 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Potência média entregue (no ponto z) V * ( 1 Γ ) P = ℜ [ V ( z). I ( z) ]= Z0 Não depende de z! Potência média entregue máxima (Γ=0) Casamento de impedância ( ZL = Z0 ) Potência média entregue nula (Γ=1) Z L

33 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Potência média entregue (no ponto z) V * ( 1 Γ ) P = ℜ [ V ( z). I ( z) ]= Z0 Perda de retorno (RL) Quando (Γ=0) Linha lisa Não depende de z! V ( z) = V +0 0 db Γ= 1 db Γ=0 A amplitude da voltagem (da onda estacionária) na linha é constante

34 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Perda de retorno (RL) Quando (Γ=0) Linha lisa Exemplo: Casamento de impedância (Γ 0,0)70 MHz

35 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Onda estacionária (Γ 0) (Z L Z 0 ) Onda incidente + Onda refletida O módulo da tensão (amplitude) oscila ao longo da linha Na distância l da carga (z = - l ) O coef de reflexão pode ser escrito

36 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Onda estacionária (Γ 0) (Z L Z 0 ) Onda incidente + Onda refletida O módulo da voltagem (amplitude) oscila ao longo da linha (z = - l ) Quando e j ( Θ β l) = 1 V MAX = V 0.(1 + Γ ) + e j ( Θ β l) = 1 V MIN = V 0.(1 Γ ) + Γ Γ(l)

37 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Onda estacionária Onda incidente + Onda refletida (Γ 0) (Z L Z 0 ) Generalização do coef de reflexão Γ( z) = V -0. e j β z V +0. e j β z V -0 e j β l ( z= l) Γ(l) = + + j β z = Γ(0). e j β l V0 e Razão da onda estacionária Casamento de impedância em função da distância do gerador

38 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Impedância de entrada ZIN, na distância l = -z da carga Γ(0)

39 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Casos especiais de linha de transmissão sem perdas i) ZL = 0, curto circuito (Γ = -1) ii) ZL =, circuito aberto (Γ = +1) iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/) (transformador quarto de onda) iv) Junção entre linhas de transmissão

40 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL i) Linha de transmissão terminada em curto circuito ZL = 0, curto circuito (Γ = -1) Impedância puramente complexa! (sistema conservativo)

41 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto ZL =, circuito aberto (Γ = +1) Impedância puramente complexa! (sistema conservativo)

42 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL i) Linha de transmissão terminada em curto circuito ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto

43 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/), n =1,,3... β. ŀ = π λ.( + n λ ) = π + n π tan ( β. ŀ ) = λ 4

44 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (nλ/), n =1,,3... β. ŀ = π λ.( + n λ ) = π + n π tan ( β. ŀ ) = λ 4 Transformador quarto de onda Útil para o casamento de impedância quando sabemos λ e sabemos que ZL > Z0, mas não sabemos exatamente o valor de ZL. Linha com comprimento que transforma inversamente a impedância da carga ZL Para l = n.(λ/) tan ( β. ŀ ) = 0

45 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL iv) Junção entre linhas de transmissão Linha Z0 alimenta a Z1 linha Na região z > 0 Na região z < 0 Em z = 0 (assumindo que não existem ondas refletidas)

46 .3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL iv) Junção entre linhas de transmissão Linha Z0 alimenta a Z1 linha Perda de inserção