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1 Prof. Fernando Massa Fernandes Sala 5017 E fernando.fernandes@uerj.br Aula 22

2 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Desenvolvimento do conceito de transmissão de potência em alta frequência e baixa perda Southworth & Barrow Independentemente Artigo com a comprovação experimental! Guias de Onda Vantagens Desvantagens Alta Potência Baixa Perda Volumoso Rígido Caro 2

3 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Principais tipos de Guias: Retangular Circular Coaxial Linha de micro-fita 3

4 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Revisão Solução geral dos modos TEM, TE e TM Assumindo para os campos a propagação de onda em z e solução harmônica no tempo (ejωt): Na presença de perdas jβ β γ = α + jβ β Equação de Maxwell Região livre de cargas B = jβ ωμ H xe = xe t D = jβ ω ϵ E xh = xh t 4

5 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Revisão Solução geral dos modos TEM, TE e TM Assumindo para os campos a propagação de onda em z e solução harmônica no tempo (ejωt): ( x ) (1) ( y ) xe (2) ( z ) ( x ) ( y ) xh (3) (4) (5) (6) ( z) 5 Resolvendo nas 4 componentes transversais (x,y) em termos de Ez e Hz:

6 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Revisão Solução geral dos modos TEM, TE e TM Equações Gerais Resolvendo nas 4 componentes transversais (x,y) em termos de Ez e Hz: Numero de onda de corte Constante de propagação Constante de onda Numero de onda de corte Qdo um dielétrico preenche o guia (Єrr; tanδ) 6

7 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Solução geral dos modos TEM, TE e TM Qdo um dielétrico preenche o guia (Єrr; tanδ) 7 Revisão

8 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Revisão Modo TEM - (Ez = Hz = 0) geral Solução indeterminada pelas equações gerais! Das eqs (1) e (5) jβey = -jωμhx - jβhx= -jωєeey => => kc = 0 (TEM) * Os campos são semelhantes ao caso estático O potencial escalar satisfaz a equação de Laplace (campos transversais): (Eq de Helmholtz na solução harmônica TE e TM) 2t Φ ( x, y ) = 0 Aplico condições de contorno em V(x0,y0) nos condutores Da amplitude do campo elétrico transversal => 8

9 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Revisão Modo TEM - (Ez = Hz = 0) geral Impedância característica no modo TEM: η Impedância característica do meio Impedância característica do meio Tensão entre os condutores: Condutor fechado não suporta TEM (O potencial estático zera no interior do condutor oco) Corrente em um dado condutor: Aplico condição de contorno aos campos tangenciais na interface com o condutor 9

10 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Revisão Modo TE - (Ez = 0; Hz 0) geral Ondas M Suportado em condutores fechados ou entre dois ou mais condutores Das equações gerais: Dependente da frequência e da geometria 10

11 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Revisão Modo TE - (Ez = 0; Hz 0) geral Da solução para Hz 0 podemos obter Ex, Ey, Hx, e Hy usando as eq gerais: Eq de Helmholtz Solução harmônica em z Pode ser reduzido a uma eq de onda em duas dimensões K 2c = K 2 β2 Aplicamos condições de contorno na geometria específica para encontrar hz e Hz e com as eq gerais obtemos (Ex,Ey) e (Hx,Hy). A impedância de onda no modo TE pode ser dada por 11

12 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Revisão Modo TM - (Ez 0; Hz = 0) geral Ondas E Suportado em condutores fechados ou entre dois ou mais condutores (como o TE) Das equações gerais: Dependente da frequência e da geometria (como o TE) 12

13 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Revisão Modo TM - (Ez 0; Hz = 0) geral Da solução para Ez 0 podemos obter Ex, Ey, Hx, e Hy usando as eq gerais: Eq de Helmholtz Pode ser reduzido a uma eq de onda em duas dimensões K 2c = K 2 β2 Aplicamos condições de contorno na geometria específica para encontrar ez e Ez e com as eq gerais obtemos (Ex,Ey) e (Hx,Hy). A impedância de onda no modo TM pode ser dada por 13

14 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Atenuação: Revisão α = αc + αd α c Perda no condutor P 0 Potência na linha sem perdas Pl αc = (método da perturbação) 2 P0 α d Perdano dielétrico P l Perdade potência /metro Dielétrico preenchendo completamente o espaço interno do guia. Const de propagação γ = αd + jβ β Só existe propagação quando K > Kc β = K 2 K 2c (frequência de corte) 14

15 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Revisão Atenuação: Calculo do coef de atenuação no dielétrico (αd) 2 c K2 = K 2 c ω2 μ ϵ = γ = K γ = K K + jβ K tg δ c K = ω μ ϵ Sempre! K 2 c ω2 μ 0 ϵ0 ϵr (1 jβ tg δ ) Número de onda real. Em geral para materiais dielétricos tg δ 1 γ Expanção em série de Taylor 15

16 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Revisão Atenuação: Calculo do coef de atenuação no dielétrico (αd) 2 c K2 = K 2 c ω2 μ ϵ = γ = K γ = K K + jβ K tg δ c K = ω μ ϵ Sempre! 1 γ K K c 2 K 2 tg δ γ + jβ β 2β K 2 c ω2 μ 0 ϵ0 ϵr (1 jβ tg δ ) Número de onda real. jβ K 2 tg δ K 2 c K 2 = αd + jβ β K 2 tg δ αd = 2β (Np/m) TE ou TM 16

17 Capt. 3 Linhas de transmissão e guias de onda Revisão Atenuação: Calculo do coef de atenuação no dielétrico (αd) Geral Independente da geometria No modo TE e TM: β = K 2 No modo TEM: K 2c K 2 tg δ αd = (Np/m) 2β Neper (Np) β = K αd = K tg δ (Np/m) 2 ln (e α z ) = α. ln (e1 ) [ z = 1 metro] = α [ Np] P 0 e 2 α z = 10. log(e 2 α )[ z = 1 metro] Decibel (db) 10. log P0 = 20. α. log (e 1 ) [db ] 1 Np = 20. log(e1 ) db = 8,686 db 17

18 Acoplador 3dB Filtros passa baixa

19 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Somente o campo H possui componente na direção de propagação z: Substituindo Hz na eq. de Helmholtz => Numero de onda de corte x E = j ωμ H = jωϵ xh E => K 2c = K 2 β2 => Hz =??

20 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Substituindo Hz na eq. de Helmholtz Separação de variáveis => Solução geral

21 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Solução geral Aplico condições de contorno para encontrar A, B, C e D: Quais? Já vimos (nas primeiras aulas) que as condições de contorno em interfaces nos fornecem a relação entre os campos elétricos e magnéticos, perpendiculares e tangenciais a interface que separa dois meios. Resposta => Campos elétricos tangenciais à interface com o metal s = 0 ( E (2)t E (1)t ) x n = M

22 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Solução geral Aplico condições de contorno para encontrar A, B, C e D: s = 0 => ( E (2)t E (1)t ) x n = M * Dentro do metal (distante da interface) E (2)t = 0

23 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Aplico condições de contorno para encontrar A, B, C e D: => e x ( y =0) D=0 e x ( y =b) k y = n π / b (n=1, 2, 3,...) e y ( x=0) B=0 e y ( x=a) k x = m π /a (m=1, 2, 3,...)

24 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Solução geral e x ( y =0) D=0 e x ( y =b) k y = n π / b (n=1, 2, 3,...) e y ( x=0) B=0 e y ( x=a) k x = m π / a (m=1, 2, 3,...) Solução particular

25 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Solução particular =>

26 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Solução particular A impedância de onda no modo TE (geral) é dada por

27 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Solução particular Condição para haver propagação =>

28 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Solução particular Condição para haver propagação => Frequência de corte => Modo dominante TE10 (menor frequência possível) =>

29 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) O comprimento de onda do guia é definido como sendo a distância entre os planos de mesma fase: A velocidade de fase é dada por: Maior que a velocidade da onda plana!

30 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Atenuação: jβ β γ = α + jβ β Const de propagação γ = α + jβ β = K = ω μ ϵ Sempre! K 2 c Geral K2

31 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Atenuação: jβ β γ = α + jβ β γ = α + jβ β = 2 2 K K c α = αc + αd Perda no condutor Pl αc = (método da perturbação) 2 P0 Perda no dielétrico Dielétrico preenchendo completamente o espaço interno do guia. K 2 tg δ αd = 2β (Np/m) TE ou TM

32 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0)

33 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0) * Utilizado na vasta maioria das aplicações * Estável * Menor atenuação Guia de Latão (a = 2.0 cm)

34 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0) Atenuação no modo dominante devido a perda no condutor: Pl αc = (método da perturbação) 2 P0

35 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0)

36 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0) Corrente de superfície na parede x = 0: Corrente de superfície na parede y = 0:

37 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0) (x2) * As correntes são simétricas entre paredes paralelas.

38 Modo TE Ondas H (TEn Ez = 0; Hz 0) Modo dominante => TE10 (m = 1, n = 0) Atenuação no modo dominante devido a perda no condutor:

39 Modo TM Ondas E (TMn Ez 0; Hz = 0) Somente o campo E possui componente na direção de propagação z: Substituindo Ez na eq. de Helmholtz Numero de onda de corte

40 Modo TM Ondas E (TMn Ez 0; Hz = 0) Solução geral do modo TM: Condições de contorno aplicadas para ez: Solução particular para Ez:

41 Modo TM Ondas E (TMn Ez 0; Hz = 0) Solução particular para Ez: A impedância de onda no modo TM (geral) é dada por

42 Modo TM Ondas E (TMn Ez 0; Hz = 0) Solução particular para Ez: Modo de propagação de menor ordem TM11 => E e H são nulos quando mn = 00, 10, 01, 20, 02, etc...

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44 Guia de Latão (a = 2.0 cm)

45 Guia de Latão (a = 2.0 cm) Banda de operação (b=a): Entre TE10 e TM11

46 Exemplo: Características de um guia de onda retangular Considere um guia de onda retangular de cobre, operando na banda-k, possuindo dimensões a = 1,07 cm e b = 0,43 cm. O guia é completamente preenchido por Teflon. i) Encontre as frequências de corte dos primeiros cinco modos de propagação. ii) Se a frequência de operação é de 15 GHz, encontre a atenuação devida às perdas no dielétrico e no condutor.

47 Exemplo: Características de um guia de onda retangular Considere um guia de onda retangular de cobre, operando na banda-k, possuindo dimensões a = 1,07 cm e b = 0,43 cm. O guia é completamente preenchido por Teflon. i) Encontre as frequências de corte dos primeiros cinco modos de propagação. ii) Se a frequência de operação é de 15 GHz, encontre a atenuação devida às perdas no dielétrico e no condutor. Exercícios recomendados (do Livro): Guia de onda retangular 3.5 e 3.6

48 *Sonda indutora de modo TE10

49 Exercício prático: Guia de onda retangular O elemento de micro-ondas disponível na sala de aula é um amplificador de baixo ruído (LNA) para ser utilizado em sistemas de TV por satélite. *Utilizando um paquímetro, adquira as medidas dos parâmetros geométricos e determine: a) A banda de operação do guia de onda (aplique uma margem de 5%). b) A frequência de operação no guia. c) Considere que o guia oco é fabricado em alumínio e determine a atenuação em db/m na frequência de operação. σal = S/m (20 C)