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1 Prof. Fernando Massa Fernandes Sala 5017 E fernando.fernandes@uerj.br Aula 12

2 Revisão Propagação da energia eletromagnética ao longo do comprimento da linha. Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM) Linha de transmissão com pelo menos dois condutores l comprimento característico dos condutores. λ comprimento característico do sinal. l λ Teoria de circuitos l λ Teoriade linha de transmissão λ l Análise dos campos

3 Revisão

4 Revisão Modelo de elementos distribuídos Modelar a linha em pequenos elementos de circuito de tamanho Δz << λ permite aplicar teoria de circuitos.

5 Revisão Modelo de elementos distribuídos Modelar a linha em pequenos elementos de circuito de tamanho Δz << λ permite aplicar teoria de circuitos. R Resistência série devida a condutividade finita dos conectores. L Auto-indutância total entre os condutores. (H /m) G Condutância de derivação devida à perda dielétrica no material entre os condutores. (Ω/m) (S /m) C Capacitância de derivação devida a proximidade dos condutores. (F /m)

6 Revisão Modelo de elementos distribuídos Modelar a linha em pequenos elementos de circuito de tamanho Δz << λ permite aplicar teoria de circuitos. Lei da tensão de Kirchhoff v(z, t) (R Δ z)i(z, t) (LΔ z) i(z,t ) v(z+δ z,t )=0 t Lei da corrente de Kirchhoff i(z, t) (G Δ z)v(z+δ z, t ) (C Δ z) v(z+δ z, t) i(z+δ z, t)=0 t ( 1 Δ z 0 ) v(z,t ) i(z, t) = R i(z, t) L z t i(z,t ) = G v(z,t ) C v(z, t ) t t *Equações do telegrafista (Eq. da linha de transmissão no domínio do tempo)

7 Revisão Modelo de elementos distribuídos *Equações do telegrafista Estado estacionário senoidal v(z,t ) i(z, t) = R i(z, t) L z t i(z,t ) = G v(z,t ) C v(z, t ) t t i(z, t)=i (z)e i ω t v(z, t)=v (z)e iω t => d V (z) = (R+i ω L)I (z) d z d I (z) = (G+i ω C)V (z) d z d 2 V (z) ( d γ 2 V (z)=0 => dz ) d z 2 d 2 I (z) γ 2 I (z)=0 d z 2 * Equações de onda!

8 Revisão Solução de onda Das equações do telegrafista com fonte senoidal e tomando a derivada em z: * Equações de onda! d 2 V (z) γ 2 V (z)=0 d z 2 d 2 I (z) γ 2 I (z)=0 d z 2 => Solução de onda * Ondas de tensão e corrente V (z)=v 0 + e γ z +V 0 - e + γ z I (z)=i 0 + e γ z + I 0 - e +γ z Exemplo de modelo de circuito de linha de transmissão Apostila de eletrônica 5 Centro Paula souza

9 Revisão Solução de onda Das equações do telegrafista com fonte senoidal e tomando a derivada em z: * Equações de onda! d 2 V (z) γ 2 V (z)=0 d z 2 d 2 I (z) γ 2 I (z)=0 d z 2 => Solução de onda * Ondas de tensão e corrente V (z)=v 0 + e γ z +V 0 - e + γ z I (z)=i 0 + e γ z + I 0 - e +γ z Relação entre as amplitudes V 0 + ev 0 - e I (z): d V (z) = (R+i ω L)I (z) d z d V (z) = γv + d z 0 e γ z + γv - 0 e +γ z = (R+i ω L)I (z) I (z)= * Relação entre as amplitudes da tensão e corrente. γ R+i ω L (V + 0 e γ z V - 0 e +γ z )

10 Revisão Impedância característica da linha (z 0 ) Relação entre as amplitudes da tensão e corrente * Ondas de tensão e corrente V (z)=v 0 + e γ z +V 0 - e + γ z I (z)=i 0 + e γ z + I 0 - e +γ z Fonte senoidal na eq do telegrafista. d V (z) = (R+i ω L)I (z) d z d V (z) = γv + d z 0 e γ z + γv - 0 e +γ z = (R+i ω L)I (z) I (z)= γ R+i ω L (V + 0 e γ z V - 0 e +γ z ) I (z)= 1 Z 0 (V 0 + e γ z V 0 - e +γ z ) Impedância característica da linha Z 0 = R+i ω L γ = R+i ω L G+i ω C

11 Revisão Impedância característica da linha (z 0 ) Relação entre as amplitudes da tensão e corrente * Ondas de tensão e corrente V (z)=v 0 + e γ z +V 0 - e + γ z I (z)= 1 Z 0 (V 0 + e γ z V 0 - e +γ z ) I (z)=i 0 + e γ z + I 0 - e +γ z Impedância característica da linha Z 0 = R+i ω L γ = R+i ω L G+i ω C * Na posição da carga, z = V 0 I = V 0 =Z I 0

12 Revisão Potência entregue na carga (z = 0) V (z)=v 0 + e γ z +V 0 - e + γ z I (z)= 1 Z 0 (V 0 + e γ z V 0 - e +γ z ) => P l = 1 2 R{V (0)I *(0)} Impedância característica da linha Z 0 = R+i ω L γ = R+i ω L G+i ω C * Na posição da carga, z = V 0 I = V 0 =Z I 0

13 Revisão No domínio do tempo v(z,t) V (z)=v 0 + e γ z +V 0 - e + γ z γ=α+iβ v( z,t)=v (z)e i ωt =(V 0 + e γ z +V 0 - e +γ z )e iω t Complexos V + 0= V + 0 e i Φ+ V - 0 = V - 0 e i Φ - v( z,t)=(v 0 + e α z e iβ z +V 0 - e +α z e +iβ z )e i ω t => v( z,t)= V 0 + cos(ω t β z+φ + )e α z + V 0 - cos(ω t +β z+φ - )e +α z

14 Revisão Linha sem perdas (R = G = 0) γ= (R+i ω L).(G+i ω C)=α+iβ α=0 β = ω LC Z 0 = R+i ω L γ = R+i ω L G+i ω C Z 0= L C Comprimento de onda λ= 2π β λ= 2π ω LC Velocidade de fase v f = ω β v f = 1 LC * comparação com onda plana eletromagnética: η = μ ϵ β = ω μ ϵ 1 v f = μ ϵ

15 Exercício 2.2 Livro Uma linha de transmissão tem os seguintes parâmetros por unidade de comprimento: L = 0.5 μh/m, C = 200 pf/m, R = 4,0 Ω/m e G = 0,025 S/m. a) Calcule a constante de propagação e a impedância característica dessa linha na frequência de 800 MHz. b) Se o comprimento da linha é de 30 cm, qual é a atenuação em db? c) Recalcule os valores do item (a) na ausência de perdas.

16 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Tensão entre os condutores (C1 e C2) V (z)=v 0 e ±iβ z Corrente sendo transportada I (z)=i 0 e ±i β z

17 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Tensão entre os condutores (C1 e C2) V (z)=v 0 e ±iβ z Corrente sendo transportada I (z)=i 0 e ±i β z Como o modelo de elementos de circuito esta relacionado aos campos?

18 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Tensão entre os condutores (C1 e C2) V (z)=v 0 e ±iβ z Corrente sendo transportada I (z)=i 0 e ±i β z Como o modelo de elementos de circuito esta relacionado aos campos? R: Conservação de energia e potência (teorema de Poynting).

19 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia armazenada nos campos <=> Indutância e Capacitância da linha. Energia magnética armazenada Da teoria de circuitos W m =L I 0 2 Do teoremade Poynting W m (H )= μ H. H * dv 4 V 4

20 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia armazenada nos campos <=> Indutância e Capacitância da linha. Energia magnética armazenada Da teoria de circuitos W m =L I 0 2 Do teorema de Poynting W m (H )= μ 4 S 4 L= μ H. H * ds (H /m) I 0 2 S H. H * ds ( para1metro de comprimento)

21 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia armazenada nos campos <=> Indutância e Capacitância da linha. Energia elétrica armazenada Da teoria de circuitos W e =C V Do teoremade Poynting W e (E)= ϵ 4 E. E * dv V

22 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia armazenada nos campos <=> Indutância e Capacitância da linha. Energia elétrica armazenada Da teoria de circuitos W e =C V 0 2 Do teoremade Poynting W e (E)= ϵ 4 E. E * ds ( para1 metro) S 4 C= ϵ V o 2 S E. E * ds (F /m)

23 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia dos campos dissipada <=> Resistência dos condutores e condutância do dielétrico. Energia sendo dissipada por efeito Joule Da teoria de circuitos P c =R I (médiatemporal) Do teoremade Poynting P c = R S H 2 t. H * t ds S 0 =C 1 +C 2

24 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia dos campos dissipada <=> Resistência dos condutores e condutância do dielétrico. Energia sendo dissipada por efeito Joule Da teoria de circuitos P c =R I R= R S H I 0 2 t. H * t dl (Ω/m) C 1 +C 2 Do teoremade Poynting P c = R S H 2 t. H * t dl ( para 1metrode condutor) S 0 =C 1 +C 2

25 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia dos campos dissipada <=> Resistência dos condutores e condutância do dielétrico. Energia sendo dissipada por efeito Joule Da teoria de circuitos P c =R I 0 2 Do teoremade Poynting P c = R S H 2 t. H * t dl S 0 =C 1 +C 2 2 R= R S H I 0 2 t. H * t dl (Ω/m) C 1 +C 2 R S =R(η)= ωμ 2 σ = 1 σ δ p Bom condutor

26 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia dos campos dissipada <=> Resistência dos condutores e condutância do dielétrico. Energia sendo dissipada por efeito Joule pelo termo de amortecimento dielétrico ( ) Da teoria de circuitos P d =G V 0 2 Do teoremade Poynting P d = ω ϵ,, 2 V 2 E 2 dv (médiatemporal) ϵ,,

27 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia dos campos dissipada <=> Resistência dos condutores e condutância do dielétrico. Energia sendo dissipada por efeito Joule pelo termo de amortecimento dielétrico ( ) Da teoria de circuitos P d =G V 0 2 Do teoremade Poynting P d = ω ϵ,, 2 V 2 E 2 dv (médiatemporal) ϵ,, ϵ=ϵ, i ϵ,, =ϵ, (1 i tg δ) ϵ,, =ϵ, tg δ

28 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia dos campos dissipada <=> Resistência dos condutores e condutância do dielétrico. Energia sendo dissipada por efeito Joule pelo termo de amortecimento dielétrico ( ) Da teoria de circuitos P d =G V 0 2 Do teoremade Poynting P d = ω ϵ,, 2 S 2 (médiatemporal) E 2 ds ( por 1metro) ϵ,,

29 Linhas de campo em uma linha de transmissão TEM arbitrária. Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Energia dos campos dissipada <=> Resistência dos condutores e condutância do dielétrico. Energia sendo dissipada por efeito Joule pelo termo de amortecimento dielétrico ( ) Da teoria de circuitos P d =G V 0 2 Do teoremade Poynting P d = ω ϵ,, 2 S 2 E 2 ds G= ω ϵ,, V 0 2 S E. E * ds (S/m) ϵ,,

30 Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Geral L= μ H. H * ds (H /m) I 0 2 S C= ϵ E. E * ds (F /m) V o 2 S R= R S H I 0 2 t. H * t dl (Ω/m) C 1 +C 2 G= ω ϵ,, E. E * ds (S/m) V 0 2 S

31 Exemplo 2.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura:

32 Exemplo 2.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura: Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e γ z

33 Exemplo 2.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura: Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e γ z L= μ H. H * ds (H /m) I 0 2 S

34 Exemplo 2.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura: Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e γ z C= ϵ E. E * ds (F /m) V o 2 S

35 Exemplo 2.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura: Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e γ z R= R S H I 0 2 t. H * t dl (Ω/m) C 1 +C 2

36 Exemplo 2.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura: Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e γ z G= ω ϵ,, E. E * ds (S/m) V 0 2 S

37 Exemplo 2.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura:

38 * A constante de propagação, a impedância característica, e a atenuação da maioria das linhas de transmissão são usualmente obtidas diretamente da solução na teoria dos campos. ** Em linhas de geometria simples é possível determinarmos os parâmetros de circuito equivalentes (L, C, R, G) a partir dos cálculos simples apresentados. *** Em linhas de geometria mais complexa, em geral, é necessária a utilização de softwares CAD que utilizam elementos finitos (FEM).

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40 Exercício Livro O cabo coaxial semirrígido RG-402U possui um condutor interno com diâmetro de 0,91 mm e um dielétrico com diâmetro externo de 3,02 mm (mesmo diâmetro do condutor externo). Ambos os condutores são de cobre, e o material dielétrico utilizado é o Teflon. Calcule os parâmetros R, L, G e C dessa linha em 1GHz, e utilize o resultado para encontrar a impedância característica e a atenuação da linha em 1GHz.

41 Exercício Livro O cabo coaxial semirrígido RG-402U possui um condutor interno com diâmetro de 0,91 mm e um dielétrico com diâmetro externo de 3,02 mm (mesmo diâmetro do condutor externo). Ambos os condutores são de cobre, e o material dielétrico utilizado é o Teflon. Calcule os parâmetros R, L, G e C dessa linha em 1GHz, e utilize o resultado para encontrar a impedância característica e a atenuação da linha em 1GHz. * Compare seus resultados com a especificação do fabricante. * comente sobre as discrepâncias.

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