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1 Prof. Fernando Massa Fernandes Sala 5017 E fernando.fernandes@uerj.br Aula 16

2 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão

3 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Solução de onda Das equações do telegrafista com fonte senoidal e tomando a derivada em z: * Equações de onda! d 2 V ( z) 2 γ V ( z)0 2 dz * Ondas de tensão e corrente > Solução de onda V ( z)v +0 e γ z +V -0 e+ γ z d 2 I ( z) 2 γ I ( z)0 2 dz I ( z)i +0 e γ z + I -0 e +γ z Exemplo de modelo de circuito de linha de transmissão Apostila de eletrônica 5 Centro Paula souza

4 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Potência entregue na carga (z 0) V ( z)v +0 e γ z +V -0 e+ γ z I ( z) 1 + γ z - +γ z (V 0 e V 0 e ) Z0 constante de prop. complexa > 1 P l ℜ{ V (0) I *(0)} 2 γ ( R+i ω L).(G+i ω C)α+i β Impedância característica da linha Z 0 R +i ω L R +i ω L γ G+i ω C * Na posição da carga, z 0. V +0 I + 0 V -0 I 0 Z 0

5 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão 2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Geral μ * H. H ds ( H /m) 2 I 0 S L * C ϵ 2 E. E ds ( F /m) V o S R RS 2 I 0 H t. H *t dl ( Ω /m) C 1 +C 2,, ω ϵ G 2 E. E * ds (S /m) V 0 S

6 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Potência média entregue (no ponto z) 2 + V ( 1 Γ 2 ) P ℜ [ V ( z). I * ( z) ] 2 2 Z0 Não depende de z! Potência média entregue máxima (Γ0) Casamento de impedância ( ZL Z0 ) Potência média entregue nula (Γ1) Z L

7 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Potência média entregue (no ponto z) V * ( 1 Γ 2 ) P ℜ [ V ( z). I ( z) ] 2 2 Z0 Perda de retorno (RL) * Quantidade de potência refletida na carga. Quando (Γ0) Linha lisa V ( z) V +0 Não depende de z! 0 db Γ 1 db Γ0 A amplitude da tensão (da onda estacionária) na linha é constante

8 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Perda de retorno (RL) Quando (Γ0) Linha lisa RL Exemplo: Casamento de impedância (Γ 0,02)70 MHz

9 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Onda estacionária Onda incidente + Onda refletida (Γ 0) (Z L Z 0 ) O módulo da tensão (amplitude) oscila ao longo da linha (z - l ) Quando e e j ( Θ 2 β l) j ( Θ 2 β l) V MAX V.(1 + Γ ) + 1 V MIN V 0.(1 Γ ) Γ Γ(l) Razão da onda estacionária

10 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Onda estacionária Onda incidente + Onda refletida (Γ 0) (Z L Z 0 ) Generalização do coef de reflexão Γ( z) V -0. e j β z V +0. e j β z V -0 e j β l ( z l) Γ(l) + + j β z Γ(0). e 2 j β l V0 e Casamento de impedância em função da distância do gerador

11 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL Impedância de entrada ZIN, na distância l -z da carga Γ(0)

12 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL i) Linha de transmissão terminada em curto circuito ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto

13 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL iii) Linha de comprimento l (λ/4) + (nλ/2), n 1,2,3... β. ŀ 2π λ.( + n λ ) π + n π tan ( β. ŀ ) λ Transformador quarto de onda Útil para o casamento de impedância quando sabemos λ e sabemos que ZL > Z0, mas não sabemos exatamente o valor de ZL. Linha com comprimento que transforma inversamente a impedância da carga ZL Para l n.(λ/2) tan ( β. ŀ ) 0

14 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL iv) Junção entre linhas de transmissão Linha Z0 alimenta a Z1 linha Na região z < 0 Na região z > 0 Em z 0 (assumindo que não existem ondas refletidas)

15 2.3 - Linha de transmissão sem perdas terminada numa carga ZL iv) Junção entre linhas de transmissão Linha Z0 alimenta a Z1 linha Perda de inserção

16 2.4 Carta de Smith * Utilizada na solução gráfica de problemas de impedância em linhas de transmissão * 1939 Laboratórios Bell (Philip Smith) Durante o desenvolvimento de tecnologia radar. Estabelece graficamente a correlação entre a impedância normalizada da carga (zl) e o coef de reflexão (Γ). z IN Em l 0 2 j β ŀ Z IN 1+ Γ e 2 j β ŀ Z0 1 Γ e Z IN Z L z IN Z L Z 0 z L 1 ΓL Z L+ Z 0 z L +1 jθ (1+Γr )+ j Γi 1+ Γ e r L + jx L jθ (1 Γ ) j Γ 1 Γ e r i * Correlação gráfica de três circulos: 1. Γ Γr + j Γi Γ.e j θ raio 2. Circulo de resistência constante rl 3. Circulo de reatância constante xl Raio ( 1 ) 1+r L 1 Raio ( ) xl

17 2.4 Carta de Smith z IN 1+ Γ e j θ r L + jx L jθ 1 Γ e * Correlação gráfica de três circulos: 1. Γ Γr + j Γi Γ.e j θ 2. Circulo de res. const. rl Raio ( 1 ) 1+r L 3. Circulo de reat. const. xl Raio ( 1 ) xl

18 2.4 Carta de Smith 1 Raio ( ) 1+r L z IN jθ (1+Γr )+ j Γi 1+ Γ e r L + jx L jθ (1 Γr ) j Γi 1 Γ e 1 Raio ( ) xl Γ Γr + j Γi Γ.e j θ

19 2.4 Carta de Smith * Linha de comprimento l Γ IN Γ( ŀ ) Γ L. e ΓL V -0 V +0 2 j β ŀ Z L Z 0 Γ L e j θ Z L+ Z 0 Γ IN Γ L e j( θ 2 j ŀ ) V Max 1+ Γ SWR V Min 1 Γ 180 o ( Δ ŀ λ /4 0,25 λ ) 360 o ( Δ ŀ λ / 2 0,50 λ ) Um incremento Δl no comprimento da linha provoca uma rotação -Δθ (na carta de Smith) na direção do gerador. Inversamente, um decréscimo de Δl no comprimento da linha provoca uma rotação +Δθ (na carta de Smith) na direção da carga.

20 2.4 Carta de Smith * Giro na direção do gerador. * Carta de Smith de admitância Giro a carta de o ( Δ ŀ λ /4 0,25 λ ) 1 1 Z in Z 0 z in y L Igual a admitância normalizada zl zl

21 2.4 Carta de Smith * Linha fendida Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento. Determinação experimental λ (β) Γ L Γ L e j θ 1+ Γ L ZL. Z0 1 Γ L

22 2.4 Carta de Smith * Linha fendida Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento. Posição dos Vmax e Vmin V max exp[i( θ 2 β ŀ max )] 1 V min exp[i ( θ 2 β ŀ min )] 1 i)a escala é posicionada arbitrariamente ao longo da linha e um curto circuito é conectado na extremidade; Da distância entre dois mínimos lmin1 e lmin2 determino λ (β) (Δlmin λ/2, período de oscilação) Essas distâncias servirão como pontos de referência

23 2.4 Carta de Smith * Linha fendida Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento. Posição dos Vmax e Vmin V max exp[i( θ 2 β ŀ max )] 1 V min exp[i ( θ 2 β ŀ min )] 1 ii) Com a carga (L) conectada na extremidade; Da posição dos mínimos lminl1, lminl2 (com a linha carregada) determino a fase θ de ΓL θ π - 2β(lminL1 - lmin1) Da razão Vmax / Vmin determino o módulo de ΓL

24 2.4 Carta de Smith * Linha fendida Linha de transmissão ou guia de onda que permite tomar medidas do valor da intensidade do campo elétrico da onda estacionária ao longo do comprimento. Posição dos Vmax e Vmin V max exp[i( θ 2 β ŀ max )] 1 V min exp[i ( θ 2 β ŀ min )] 1 iii) Dos valores determinados para a fase θ e para o módulo de ΓL, finalmente obtemos ΓL e ZL. θ π + 2β(lminL1 - lmin1) Γ L Γ L e jθ 1+ Γ L ZL. Z0 1 Γ L

25 2.4 Carta de Smith Linha Fendida Exemplo 2.4 Livro Medida de impedância utilizando linha fendida. Uma linha fendida é utilizada para determinar a impedância de uma carga conectada a uma linha coaxial de 50 Ω. Passo 1) Com um curto na posição da carga, a linha fendida é colocada numa posição arbitrária ao longo da linha. As posições dos mínimos de tensão foram determinadas na escala da linha fendida em z 0,2 cm ; 2,2 cm ; 4,2 cm 2) O curto foi removido e substituído pela carga de valor desconhecido. A razão SWR foi determinada como 1,5. As posições dos mínimos de tensão foram determinadas (de forma menos precisa) z 0,72 cm ; 2,72 cm ; 4,72 cm * Encontre a impedância da carga.

26 2.5 Transformador Quarto-de-onda * Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda. Com o acoplador ideal devemos obter Γin 0! Γ in Z in Z 0 Z in +Z 0 Assumindo impedância real na carga (RL) Z in R L + j Z 1 tan ( β ŀ ) Z 1 + j R L tan ( β ŀ ). Z1 Quando l λ/4 βl π/2 tan(βl ) Z in Γ in Z 12 RL Z in Z 0 Z in +Z 0 Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha Para que 0 Z in Z 0 Z1 Z0. RL

27 2.5 Transformador Quarto-de-onda * Para projetar ou especificar um acoplador de impedância (linha/carga) tipo quarto-de-onda. Sempre que introduzir a fase βl π/2 + nπ (n 1,2,3,...) Γ in 0 O acoplador funcionara para múltiplos impares da frequência fundamental (f0 vp / λ0): f f0 f 3.f0 f 5.f0 f 7.f0... Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha Z1 Z0. RL

28 2.5 Transformador Quarto-de-onda * O transformador quarto-de-onda assume que ZL é real (ZL RL). Mas posso tornar qualquer valor ZL em real por meio da inclusão de um certo incremento no comprimento da linha de transmissão. Δl ZL Na carta de Smith, ZL rl + ixl Giro Δθ Δl na direção do gerador até que a componente complexa seja nula (Im(z) 0) ZL RL

29 2.5 Transformador Quarto-de-onda * Exemplo em uma rede de microfita: Z1 > Z 0 ZL Ramzan, Mehrab & Topalli, Kagan. (2015). International Journal of Antennas and Propagation /2015/ Média geométrica da impedância, entre a carga e a linha Z1 Z0. RL