ANTENAS E PROPAGAÇÃO MEAero 2010/2011

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Carlos Eduardo Vilarinho
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1 ANTENAS E PROPAGAÇÃO MEAero 2010/2011 1º Teste, 07-Abr-2011 (com resolução) Duração: 1H30 DEEC Resp: Prof. Carlos Fernandes Problema 1 Considere um satélite de órbita baixa (450 km) usado para prospecção geológica sub-superficial. A frequência de operação é f = 1.5 GHz e a polarização é paralela. Suponha que o terreno iluminado pela antena do satélite tem E i permitividade eléctrica ε r = 3.4 j 0.05 e a superfície pode ser considerada lisa. Atendendo à distância, admita uma onda θ i incidente plana. 1. Calcule o ângulo de incidência θ i perferencial que conduz à maior transferência de potência possível para o solo. Justifique e indique se haveria vantagem em usar polarização perpendicular. z θ t x E r Considera se o satélite suficientemente longe para se poder tomar a onda incidente como plana. Neste caso a amplitude das ondas reflectida e transmitida é dada pelos coeficientes de Fresnel. Em polarização paralela existe um ângulo para o qual a transmissão da onda electromagnética para o terreno é máxima (corresponde a um mínimo da reflexão na superfície): pseudo ângulo de Brewster. No caso do problema é Im{ε r } <<1, pelo que se admite que n 2 = ε r é aproximadamente real. A condição de anulamento do factor de reflexão em polarização paralela é (eq da sebenta de AP): θ B = ArcCosB 1 ε r + 1 F = 61.5 º 2. As perdas no terreno vão limitar a profundidade de penetração da onda no solo. Obtenha a expressão dessa profundidade e calcule-a supondo que a atenuação não deve exceder 20 db. NOTA: utilize o facto de a tangente de perdas ter um valor pequeno. A propagação no meio 2 faz se com Exp@ k 0 n dd em que d é o comprimento do percurso no interior do terreno segundo a direcção de transmissão, k 0 = 2 π f ë I M é a constante de propagação em espaço livre e n é o índice de refração do meio 2: n = ε r = ε ' = ε ' 1 ε" ε '

2 Como por hipótese é ë ε ' << 1, desenvolve se a raiz quadrada em série e retém se apenas o primeiro termo. Aproximadamente: Portanto: n = ε ' 1 2 ε ' = ε ' 2 ε ' Exp@ k 0 ndd = ExpB k 0 ε ' df ExpB k 0 2 ε ' df A segunda exponencial dá conta da atenuação no percurso d. Então, de acordo com o enunciado esta atenuação corresponde a 20 db: L = 20 LogBExpB k 0 dff = 20 db 2 ε ' pelo que: d = L 2 ε ' 20 k 0 Log@ D = 5.4 m (segundo a direcção de transmissão) A projecção desta distância segundo o eixo vertical é d*cos[θ t ]: dp = d 1 Sin@θ BD 2 = 4.75 m (segundo a vertical) ε r Problema 2 Pretende-se ligar uma dada antena a um gerador usando um cabo coaxial. O módulo e a fase do factor de reflexão Γ A medidos nos terminais da antena estão representados nas figuras ao lado em função da frequência. O diâmetro do condutor central do cabo coaxial é a = 0.92 mm, o diâmetro interior da bainha é b = 2.99 e a velocidade de fase a que a onda electromagnética propaga-se no seu interior é v f = c. 1. Calcule a impedância característica Z c deste cabo coaxial. Γ ) Γ ) [º] Expressão deduzida na aula prática: Zc = Z0 Log@b ê ad 2 π n com a raio do condutor central, b raio da bainha, Z 0 = 120π impedância caracterítica do vazio e n índice de refracção do preenchimento do coaxial. É dado o valor da velocidade de fase, o que permite calcular o valor de n:

3 v f = c/n n = 1/0.707 Zc = 50 Ω 2. A partir da informação das figuras, determine a impedância Z A aos terminais da antena para a frequência f 1 = 1.53 GHz e para a melhor frequência f 2 do ponto de vista do factor de reflexão Γ A (indique qual é essa frequência e justifique). NOTA. Se não resolveu a alínea 1) arbitre um valor típico para a impedância característica da linha de transmissão. Da leitura do gráfico para a frequência f 1 tem se para o factor de reflexão no plano da carga 42 π ê180 Γ1 = A impedânica no plano da carga é calculada a partir da eq. (3.23) ou (3.26) da sebenta: Z1 = Zc 1 + Γ1 1 Γ Ω A melhor frequência f 2 é aquela para a qual o factor de reflexão no plano da carga toma o menor valor (menor reflexão, maior nível de potência transferida para a carga), ou seja f 2 = 1.87 GHz. Repetindo: 10 π ê180 Γ2 = Portanto Z2 = Zc 1 + Γ2 1 Γ Ω 3. Utilizando a Carta de Smith (CS) fornecida: a. Marque na CS as impedâncias determinadas para as duas frequências e referencie-as adequadamente. Para a representação na CS é necessário normalizar a impedância da carga à impedância característica do cabo coaxial determinada anteriormente. Para f 1 : zn1 = Z1 ê Zc Para f 2 : zn2 = Z2 ê Zc Ver Carta de Smith na pág seguinte.

4 b. Admita que à frequência f 1 = 1.53 GHz a impedância do gerador é = 0.2 j (normalizada à impedância do cabo coaxial). Com o auxílio da CS calcule o comprimento l da linha de transmissão (em cm) para o qual a impedância z in da linha no plano (1) se aproxima do valor * = j (condição de máxima transferência de potência). ~ (1) z in l z A Γ A Ver Carta de Smith. Vem l = λ 1 em que λ 1 é o comprimento de onda à frequência f 1 (rotação no sentido carga para gerador) c λ 1 = = m n f1 portanto, l = m. c. Marque na CS o valor de z in que corresponde à frequência f 2 (para o mesmo comprimento l ) e registe esse valor. l = 0.32λ 1 l = 0.39λ 2 z in1 = * z in2 z 2 z 1

5 λ 2 = n c f2 = m, portanto l = λ 2 portanto. Marcando esta distância na CS, no sentido do gerador, a partir do ponto z 2 obtém se por leitura da CS: zin2 = Usando o circuito equivalente da figura e a definição de potência, é possível mostrar que a potência transferida para a linha de transmissão é dada por: V I ~ z in Verifique para qual das frequências tratadas anteriormente (f 1 ou f 2 ), é maior a potência transferida para a linha. Gerador Carga A utilização directa da expressão para f 1 com = 50 (0.2+ ) Ω e Z in1 = 50 (0.2- ) Ω conduz a: P r (f 1 ) = V 2 Para a frequência f 2, com P r (f 2 ) = V 2 Z in2 = 50 ( ) Ω obtém se. A transferência de potência é muito melhor para a frequência f 1 porque a impedância Z in apresentada pela antena+coaxial aos terminais do gerador (com comprimento l do coaxial) é igual ao conjugado da impedância interna do gerador, obedecendo como se pretendia à condição de máxima transferência de potência. À frequência f 2 a antena está de facto melhor adaptada à linha de transmissão do que em f 1, mas o conjunto antena+coaxial (com comprimento l ) apresenta ao gerador uma impedância de entrada muito diferente da impedância * que é requerida para a maximização da transferência de potência. O gerador não tem impedância real de 50 Ω, como é mais usual.

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