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1 Prof. Fernando Massa Fernandes Sala 5017 E [email protected] Aula 13

2 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão Propagação da energia eletromagnética ao longo do comprimento da linha. Modo de propagação transversal eletromagnético (TEM) Linha de transmissão com pelo menos dois condutores l comprimento característico dos condutores. λ comprimento característico do sinal. l λ Teoria de circuitos l λ Teoriade linha de transmissão λ l Análise dos campos

3 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão

4 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão Modelo de elementos distribuídos Modelar a linha em pequenos elementos de circuito de tamanho Δz << λ permite aplicar teoria de circuitos.

5 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão Modelo de elementos distribuídos Modelar a linha em pequenos elementos de circuito de tamanho Δz << λ permite aplicar teoria de circuitos. R Resistência série devida a condutividade finita dos conectores. L Auto-indutância total entre os condutores. (H /m) G Condutância de derivação devida à perda dielétrica no material entre os condutores. (Ω/m) (S /m) C Capacitância de derivação devida a proximidade dos condutores. (F /m)

6 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão Solução de onda Das equações do telegrafista com fonte senoidal e tomando a derivada em z: * Equações de onda! d 2 V (z) γ 2 V (z)=0 d z 2 d 2 I (z) γ 2 I (z)=0 d z 2 => Solução de onda * Ondas de tensão e corrente V (z)=v 0 + e γ z +V 0 - e + γ z I (z)=i 0 + e γ z + I 0 - e +γ z Exemplo de modelo de circuito de linha de transmissão Apostila de eletrônica 5 Centro Paula souza

7 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão Impedância característica da linha (z 0 ) Relação entre as amplitudes da tensão e corrente * Ondas de tensão e corrente V (z)=v 0 + e γ z +V 0 - e + γ z I (z)= 1 Z 0 (V 0 + e γ z V 0 - e +γ z ) I (z)=i 0 + e γ z + I 0 - e +γ z Impedância característica da linha Z 0 = R+i ω L γ = R+i ω L G+i ω C * Na posição da carga, z = V 0 I = V 0 =Z I 0

8 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão Potência entregue na carga (z = 0) V (z)=v 0 + e γ z +V 0 - e + γ z I (z)= 1 Z 0 (V 0 + e γ z V 0 - e +γ z ) => P l = 1 2 R{V (0)I *(0)} Impedância característica da linha Z 0 = R+i ω L γ = R+i ω L G+i ω C * Na posição da carga, z = V 0 I = V 0 =Z I 0

9 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão Linha sem perdas (R = G = 0) γ= (R+i ω L).(G+i ω C)=α+iβ α=0 β = ω LC Z 0 = R+i ω L γ = R+i ω L G+i ω C Z 0= L C Comprimento de onda λ= 2π β λ= 2π ω LC Velocidade de fase v f = ω β v f = 1 LC * comparação com onda plana eletromagnética: η = μ ϵ β = ω μ ϵ 1 v f = μ ϵ

10 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão 2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão Relação entre o modelo de circuitos e os campos: Geral L= μ H. H * ds (H /m) I 0 2 S C= ϵ E. E * ds (F /m) V o 2 S R= R S H I 0 2 t. H * t dl (Ω/m) C 1 +C 2 G= ω ϵ,, E. E * ds (S/m) V 0 2 S

11 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão 2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão Exemplo 2.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura: Os campos de uma onda que se propaga no modo TEM possuem a mesma configuração dos campos estáticos, em um capacitor cilíndrico a menos da constante e γ z

12 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão 2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão Exemplo 2.1 Parâmetros de linha de transmissão para uma linha coaxial. (considerando que o material dos condutores é o mesmo) Considere a linha coaxial com a geometria apresentada na figura:

13 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão 2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão * A constante de propagação, a impedância característica, e a atenuação da maioria das linhas de transmissão são usualmente obtidas diretamente da solução na teoria dos campos. ** Em linhas de geometria simples é possível determinarmos os parâmetros de circuito equivalentes (L, C, R, G) a partir dos cálculos simples apresentados. *** Em linhas de geometria mais complexa, em geral, é necessária a utilização de softwares CAD que utilizam elementos finitos (FEM).

14 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão 2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão

15 Cap. 2 Teoria de linhas de transmissão Revisão 2.2 Análise dos campos em linhas de transmissão Exercício Livro O cabo coaxial semirrígido RG-402U possui um condutor interno com diâmetro de 0,91 mm e um dielétrico com diâmetro externo de 3,02 mm (mesmo diâmetro do condutor externo). Ambos os condutores são de cobre, e o material dielétrico utilizado é o Teflon. Calcule os parâmetros R, L, G e C dessa linha em 1GHz, e utilize o resultado para encontrar a impedância característica e atenuação da linha em 1GHz. * Compare seus resultados com a especificação do fabricante. * comente sobre as discrepâncias.

16 Revisão Z 0 =50 Ω Z 0 =49,87 Ω C=98.1 pf /m C=96.5 pf /m α=39.37 db/100 m=0,3937 db/m α=0,0436 Np/m=0,38 db/m * Os valores obtidos no produto dependem da qualidade do processo de fabricação (Rugosidade da superfície do metal, homogeneidade do dielétrico, etc...) ** Qto mais a atenuação se aproxima do valor teórico mais caro é o cabo!!

17 Onda gerada em z < 0 Onda refletida em z = 0 Ao longo da linha V (z) I (z) =Z 0 * Na posição da carga, z = 0. I (z)=i 0 + e γ z + I 0 - e +γ z + - V 0 I = V 0 =Z I 0

18 Ao longo da linha V (z) I (z) =Z 0 Z = 0 Onda refletida Coef. de reflexão (z=0)

19 Ao longo da linha V (z) I (z) =Z 0 Z = 0 Onda refletida Coef. de reflexão (z=0)

20 Potência média entregue (no ponto z) P = 1 2 R [V (z). I * (z) ]= 1 2 P = P + P - V 0+ 2 Z 0 (1 Γ 2 ) Não depende de z! Incidente Refletida

21 Potência média entregue (no ponto z) P = 1 2 R [V (z). I * (z) ]= 1 V 0+ 2 (1 Γ 2 ) Não depende de z! 2 Z 0 Potência média entregue máxima (Γ=0) Casamento de impedância ( Z L = Z 0 ) Potência média entregue nula (Γ=1) Z L

22 Potência média entregue (no ponto z) Perda de retorno (RL) P = 1 2 R [V (z). I * (z) ]= 1 2 V 0+ 2 Z 0 (1 Γ 2 ) Não depende de z! 0 db Γ= 1 db Γ=0 Quando Linha lisa (Γ=0) V (z) = V 0+ A amplitude da voltagem (da onda estacionária) na linha é constante

23 Perda de retorno (RL) Quando (Γ=0) Linha lisa Exemplo: Casamento de impedância (Γ 0,02) 70 MHz

24 Onda estacionária (Γ 0) (Z L Z 0 ) Onda incidente + Onda refletida O módulo da tensão (amplitude) oscila ao longo da linha Na distância l da carga (z = - l ) O coef de reflexão pode ser escrito

25 Onda estacionária (Γ 0) (Z L Z 0 ) Onda incidente + Onda refletida O módulo da voltagem (amplitude) oscila ao longo da linha (z = - l ) Quando e j (Θ 2β l) = 1 V MAX = V 0+.(1 + Γ ) e j (Θ 2β l) = 1 V MIN = V 0+.(1 Γ ) Γ Γ(l)

26 Onda estacionária (Γ 0) (Z L Z 0 ) Onda incidente + Onda refletida Generalização do coef de reflexão (z= l) Γ(l) = V V 0 Γ(z) = e j β l e + j β z = Γ(0). e 2 j βl V 0 -.e j β z V 0 +.e jβ z Casamento de impedância em função da distância do gerador Razão da onda estacionária

27 Impedância de entrada Z IN, na distância l = -z da carga Γ(0)

28 Casos especiais de linha de transmissão sem perdas i) Z L = 0, curto circuito (Γ = -1) ii) Z L =, circuito aberto (Γ = +1) iii) Linha de comprimento l = (λ/4)+ (n) + (nλ/2)) (transformador quarto de onda) iv) Junção entre linhas de transmissão

29 i) Linha de transmissão terminada em curto circuito Z L = 0, curto circuito (Γ = -1) Impedância puramente complexa! (sistema conservativo)

30 ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto Z L =, circuito aberto (Γ = +1) Impedância puramente complexa! (sistema conservativo)

31 i) Linha de transmissão terminada em curto circuito ii) Linha de transmissão terminada em circuito aberto

32 iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (n) + (nλ/2)), n =1,2),3... β. ŀ = 2π λ.( λ 4 + n λ 2 ) = π 2 + n π tan(β. ŀ) =

33 iii) Linha de comprimento l = (λ/4) + (n) + (nλ/2)), n =1,2),3... β. ŀ = 2π λ.( λ 4 + n λ 2 ) = π 2 + n π tan(β. ŀ) = Transformador quarto de onda Útil para o casamento de impedância quando sabemos λ e sabemos que Z L > Z 0, mas não sabemos exatamente o valor de Z L. Linha com comprimento que transforma inversamente a impedância da carga Z L Para l = n.(λ/2)) tan(β. ŀ) = 0

34 iv) Junção entre linhas de transmissão Linha Z 0 alimenta a Z 1 linha Na região z < 0 Na região z > 0 (assumindo que não existem ondas refletidas) Em z = 0

35 iv) Junção entre linhas de transmissão Linha Z 0 alimenta a Z 1 linha Perda de inserção