Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

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1 Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

2 Onda Plana Uniforme no espaço livre (Capítulo 11 Páginas 375 a 384) Onda Plana Uniforme em dielétricos com perdas Onda Plana Uniforme em condutores Eletromagnetismo I 4 Prof. Daniel Orquiza

3 Na aula passada consideramos uma onda plana se propagando no espaço livre. Uma onda se propagando em um meio dielétrico ou magnético sem perdas se comportará de forma similar, porém a velocidade de fase será dada por: v = 1 µε = c c µ r ε r A onda se comportará de forma diferentes se o meio seja condutor σ 0 ou apresente absorção. Neste último caso: Onde ε é a parte imaginária da permissividade do dielétrico e está associada a absorção de radiação EM pelo material. ε = ε ' jε '' Onde ε é a parte imaginária da permissividade do dielétrico e está associada a absorção de radiação EM pelo material. 1

4 Para levar em conta a absorção, temos que incluir a corrente de condução e a parte imaginária de ε nas Eqs. de Maxwell.! E = jωµ! H (L. F.) Ou: ( ) H! = σ + jω ε ' jε ''! E! H =! ( σ +ωε '') + jωε ' E (L. A.) Aplicando o rotacional na L. de Faraday, e usando uma identidade vetorial:! E = jωµ! H ( )! 2 E = jωµ σ +ωε ''! E ( ) + jωε '! E 2

5 Para meios sem cargas, podemos ignorar o primeiro termo da eq. anterior. A Eq. resultante é a Eq. vetorial de Helmholtz. A constante de propagação complexa γ é então definida como: Onde γ possui parte real e imaginária. Onde α é a constante de atenuação e β é a constante de propagação (real) ou constante de fase. ( σ +ωε '') + jωε '!! 2 E jωµ E = 0 ( ) + jωε ' γ 2 = jωµ σ +ωε '' γ = α + jβ 3

6 Da definição de γ, podemos escrever que a parte real de γ 2 é: Por outro lado, o valor absoluto de γ 2 é: Re{ γ 2 } = α 2 β 2 = ω 2 µε ' γ 2 = α 2 + β 2 = ωµ ( σ +ωε '') 2 + ( ωε ') 2 (1) (2) Somando as duas expressões anteriores, temos: α = Subtraindo (1) de (2), temos: β = ω 2 µε ' 2 ω 2 µε ' 2 σ +ωε '' ωε ' σ +ωε '' ωε '

7 Além disso, é possível mostrar que para um meio com condutividade não nula a impedância intrínseca é: η = jωµ σ +ωε '' ( ) + jωε ' Que para σ = 0 se torna (µ/ε) 1/2 Para uma onda Plana Uniforme se propagando em z e polarizada ao longo de x:! E(z,t) = E 0 e αz cos ωt βz ( )â x e! H(z,t) = Re E 0 η e αz cos( ωt βz)â y 5

8 Atenuação de ondas 7

9 As expressões anteriores para α, β e η são válidas tanto para meios dielétricos quanto condutores. Para um condutor, podemos ignorar o termo ωε. Para um dielétrico com perdas, podemos ignorar a condutividades σ nas equações. Na realidade um dielétrico que absorve radiação EM possui uma condutividade associada com a parte imaginária de ε por: σ = ωε '' ε '' = σ ω 6

10 No caso de condutores perfeitos (σ = ), ou de bons condutores (σ 10 7 ), temos: σ ωε ' >>1 De forma que as constantes α e β podem ser simplificadas. α = β = ωµσ 2 = π f µσ A impedância intrínseca, para bons condutores, fica: η = jωµ σ O que implica que o campo elétrico está adiantado com relação ao magnético em 45º, num bom condutor. 7

11 O comprimento de onda da radiação EM está relacionado com a constante de fase (parte real da constante de propagação complexa). O comprimento de onda dentro de um material é diferente do comprimento de onda no vácuo. λ = 2π β = 2π v p ω = 2π ε r' µ r c ω = λ 0 ε r' µ r A razão entre a corrente de condução e o coeficiente da parte imaginária da corrente de deslocamento é definida como a tangente de perdas. A tangente de perdas é um parâmetro tabelado para materiais comumente usados em RF e microondas. tanδ = σ +ωε '' ωε ' 8

12 A corrente de deslocamento está 90º adiantada (no tempo) com relação à corrente de deslocamento. O ângulo δ é a diferença de fase entre a corrente de deslocamento e a corrente total (J D está adiantada). δ Aqui se ignorou ε 9