MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 ME262

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS (CTG) DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA (DEMEC) MECÂNICA DOS FLUIDOS ME6 Prof. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO (Capítulo 5) Recife - PE

2 Capítulo 5 Análise diferencial dos movimentos fluidos 1. Lei da conservação da massa. Teorema da divergência. Análise de casos particulares: (3D, transiente); (1D, permanente); (3D, incompressível); (1D, incompressível). Cinemática dos elementos fluidos. Componentes do movimento: translação, deformação linear, rotação e deformação angular. Trajetória, velocidade e aceleração da partícula fluida. Variação total de uma grandeza física. Derivada material, substantiva, total ou operador de Stokes. Campo de velocidades e acelerações (local e convectiva) da partícula fluida. Exemplos de aceleração convectiva. 3. Componentes do movimento de rotação. Análise diferencial Hipóteses do contínuo. Escoamento rotacional e irrotacional. Vorticidade e Circulação. Deformação linear. Deformação angular. Tensor taxa de deformação. Relações constitutivas de Navier-Stokes. Equação diferencial da quantidade de movimento. Equação de Navier-Stokes. Hipóteses. Equação de Euler. Exemplos de aplicação das equações de N-S. Dificuldades para resolver as equações de N-S. Métodos Numéricos (CFD ou DFC).

3 Lei da conservação da massa

4 Teorema da divergência (Green) S superfície contínua por partes - qualquer vetor continuamente diferenciável A LCM na forma integral é: (Para VC fixo, a ordem é indiferente!), fazendo-se Temos: ( Teorema de Green ) Então: Como, então: Obtenção da forma diferencial da LCM, a partir da forma integral, pelo Teorema de Green.

5 Taxa resultante de fluxo de massa pelas SC s Lei da conservação da massa + Taxa de variação de massa dentro do VC = 0 Diferencialmente: Y w v V u dy dx dz X Z

6 Casos particulares (coordenadas cartesianas) (3D, transiente) (D, permanente) (1D, permanente) (3D, incompressível) 0 (1D, incompressível) u x u (x+δx) Δx u (x) = cte Se o fluxo é incompressível ( ), então a forma do elemento deve ser mantida constante para que a massa se conserve ( ρ = cte )! Para que a forma seja constante em um fluxo 1D, as velocidades devem ser iguais para que o elemento não sofra deformações lineares!

7 Cinemática dos elementos fluidos Componentes do movimento Velocidade e posição de uma partícula A no instante t / Campo de aceleração

8 Rotação (movimento angular) e deformação angular (por cisalhamento) + é positivo se diminuir o ângulo entre e. Translação e deformação linear Translação pura Translação com deformação linear ( esticamento )

9 Trajetória, velocidade e aceleração da partícula fluida (referencial lagrangeano) R = R (t) V = dr / dt derivada do vetor posição em relação ao tempo a = dv / dt velocidade e aceleração observadas ao se acompanhar a partícula em seu movimento ou trajetória Trajetória de uma partícula de fluido em escoamento A fotografia deve ser considerada como superposição de diversas exposições em instantes sucessivos. A partícula de fluido cuja trajetória está sendo assim visualizada ocupa sucessivamente as posições R 1, R e R 3 respectivamente nos instantes t 1, t e t 3. a equação da trajetória é dada por R = R (t), sendo no caso uma linha reta vertical.

10 Variação total de uma grandeza física / Derivada material / Operador de Stokes 1) Seja a representação dos valores de uma grandeza física qualquer (, T, p, ρ ) ; ) Sendo o valor da mesma grandeza em ; 3) A variação total df é dada por: 4) Logo: 5) Em notação vetorial (operador): Exemplos: Operador Derivada Total ou Material ou de Stokes A) Aceleração : B) Temperatura : Taxa de variação total da T de uma massa de fluido ao ser transportada por

11 Operador de Stokes Derivada Material Campo de velocidade e aceleração

12 O campo de aceleração em um campo de velocidades (referencial eulereano) No caso geral variando também a velocidade de ponto para ponto: V = V ( R, t) = V ( x, y, z, t) dv = ( V / x) dx + ( V / y) dy + ( V / z) dz + ( V / t) dt O operador D / Dt é chamado de Derivada Material, Substantiva, Total ou Operador de Stokes : Aceleração convectiva: variação da velocidade em um mesmo tempo em pontos distintos do campo Aceleração local: variação da velocidade em um mesmo ponto do campo

13 Bocal injetor Bocal difusor Tração em x Compressão em x

14 Vertedor de nível variável

15 Seja T = T (x,y,z,t) o campo de T em um forno. Seu monitoramento térmico, descrito pela taxa de variação da leitura dt/dt é realizado por um sensor móvel. Há três modos de se medir a taxa de variação da T no forno: a) Sensor se move no forno: (derivada total) Derivada material e total Componentes da velocidade do sensor b) Sensor está fixo no ponto: c) Sensor acompanha o movimento dos fluidos (ar + gases) do forno: Componentes da velocidade do fluido ( Material ) Indica a taxa de variação da T (energia interna) de uma massa constante de fluido que se movimenta no forno com sua velocidade:

16 Componentes do movimento de rotação translação

17 Análise diferencial Hipóteses do contínuo Avaliação dos valores das propriedades nas faces do VC y (ρ, ) x dx/ VC x x x + dx/ z Usando uma expressão em série de Taylor, em relação ao ponto x: Desprezando ordens superiores Avaliados em x!

18 Rotação (movimento angular) +

19 Definição: a velocidade angular do elemento em torno de z, ω z, é a média das velocidades angulares de OA e OB e (considerando-se os sinais da rotação)!. Casos particulares: Vorticidade (Dobro da rotação) 1) rotação de corpo rígido; ) rotação é nula, em z; 3) A rotação (e a vorticidade) é nula quando (escoamento irrotacional!); 4) Se gira com velocidade angular diferente de deformação angular!

20 Escoamento rotacional e irrotacional A diferença entre o escoamento rotacional e irrotacional: os elementos fluidos de uma região rotacional do escoamento giram, mas aqueles de uma região irrotacional do escoamento não giram.

21 Exemplos de vorticidade Olho de um tornado Rodamoinho na água

22 Vorticidade e Circulação Circulação: a integral de linha da componente tangencial da velocidade em torno de uma curva fechada fixa no escoamento. é um vetor elementar, de comprimento ds, tangente à curva. Um sentido positivo corresponde a uma trajetória anti-horária de integração em torno da curva. Vorticidade: é uma medida da rotação de um elemento fluido à medida que ele se move no campo de escoamento. Para o elemento fluido tem-se: A circulação em volta de um contorno fechado é a soma da vorticidade por ele limitada. (Teorema de Stokes).

23 Ciclone Catarina

24 Deformação linear Variação de volume: ΔV Variação relativa de volume: (ΔV/ V) Taxa da variação relativa de volume devida ao gradiente de velocidade em x: (ΔV/ V) / Δt Para os outros gradientes de velocidades (em y e em z), tem-se a expressão geral (3D) da deformação linear: (ΔV/ V) / Δt

25 Deformação angular (por cisalhamento) Alteração da forma do elemento: + Convenção: γ é positivo se diminuir o ângulo entre e. Taxa de deformação angular ou taxa de deformação por cisalhamento Rotação de corpo rígido

26 Tensor taxa de deformação A deformação total da (PF) é representada pelo tensor taxa de deformação: Deformações angulares Deformações lineares No caso das deformações angulares, de modo análogo ao da rotação (segundo Potter, 3ed, p79!): No caso das deformações lineares:. Por analogia: A B Observe que:єxy = Єyx ; Єxz = Єzx ; Єyz = Єzy. u x Logo, o tensor taxa de deformação é simétrico:

27 Relações constitutivas de Navier-Stokes São relações entre tensões e as taxas de deformações. 1) σ e taxas de deformação linear Pressão ou empuxo estático Taxa de deformação linear na direção da tensão Segundo coeficiente de viscosidade Taxa de deformação volumétrica da partícula ) τ e taxas de deformação angular Simetria 3)

28 Equação da quantidade de movimento 0 Forças atuando sobre uma partícula fluida Simplificando: Forças de campo

29 Equação diferencial da quantidade de movimento (Hip. 1: μ = cte! ) Viscosas!

30 (Hip. : ) Forma vetorial das Eqs. de N-S em fluxos incompressíveis com μ = cte. (Hip. 3: μ = cte. = 0 (Equação de Euler)) Eq. de Euler p/ fluido ideal Eqs. de N-S p/ fluido ideal (ρ = cte e μ = 0)

31 Exemplos de aplicações de Navier-Stokes Seja um fluxo viscoso (μ 0), laminar e incompressível (ρ = cte.) em regime permanente entre duas placas infinitas em z (fluxo D em y-x), paralelas e horizontais fixas. O fluido move-se com u 0, v = 0 e w = 0. Aplicar a LCM e a equação de N-S em x para obter a forma de u(y), usando as condições de contorno do problema [ y = ± h u = 0 (não-deslizamento nas paredes)] A) Aplicando a LCM: u (x) = cte, ou seja, o fluxo é uniforme em x. B) Aplicando N-S:

32 (p(z) = cte) (Pressão varia de modo hidrostático em y) p x d u dy (u (x) = cte pela LCM; u(z) = cte: em z) ou u = u(y) C) Integrando a primeira vez: d dy u 1 p x D) Integrando a segunda vez: E) Aplicando a condição de contorno 1 ( y = + h u = 0): F) Aplicando a condição de contorno ( y = - h u = 0): G) Levando na condição de contorno 1: 1 p x h c h c 1 1 p h 0 c1h c x 1 p h 0 c1h c x 0 = c 1 h c + c 1 h + c c 1 h = 0 c 1 = 0 H) Logo, de E) ou F):

33 I) Então de G) e H) em D): ou O perfil de velocidades u = u(y) do fluxo entre as duas placas fixas é parabólico. J) A velocidade máxima no centro (y = 0) é dada por: É negativo porque a pressão diminui no sentido do fluxo! h y x p h x p y x p u K) Vazão volumétrica por unidade de largura (z): L) A vazão deste fluxo é: - proporcional ao gradiente de pressão - inversamente proporcional à viscosidade - muito influenciada pela altura do canal (h³) M) Velocidade média na seção transversal ( ): h q V x p h V 3 N) De J) e M): V u máx 3

34 ) Um fluxo viscoso (μ 0) e incompressível (ρ = cte) em regime permanente entre duas placas infinitas em z, paralelas e horizontais. A placa superior é móvel com U = cte. O fluido move-se com u 0, v = 0 e w = 0 (1D). Obter o perfil de velocidades no fluido lubrificante com e sem bombeamento. U = cte b u (y) =? y x 1) LCM: u/ x = 0 ( v/ y = w/ z = 0) ) A ª LN (N-S): (g x = 0; u/ t = 0; u/ x = 0; v = w = 0; ² u/ x² = 0 e ²u/ z² = 0) 3) Integrando a primeira vez: d u dy 1 p x 4) Integrando a segunda vez: 5) Aplicando as condições de contorno:a) y = 0 e u = 0 c = 0 b) y = b u = U 6) 7) U 8) Se p/ x = 0, o fluxo ocorre apenas pelo arrasto da placa superior: u (y) ( y = 0 u = 0 ; y = b u = U ) ( relação linear com y!)

35 Dificuldades para resolver as equações de N-S t V V V p g 1) EDP, transiente, não-linear, a ordem; ) Não linearidade dos termos das acelerações convectivas [ u( u/ x), w( v/ z), etc.]; 3) Não há um processo analítico geral pra resolver EDP s não lineares; 4) Cada problema precisa ser considerado individualmente. V As partículas fluidas, na maioria dos fluxos, têm movimento acelerado ao escoar de ponto para ponto do campo. Dessa forma, os termos das acelerações convectivas são importantes. Há casos, face a geometria das fronteiras, onde elas são nulas. Isso facilita encontrar uma solução do fluxo.

36 Métodos Numéricos ( DFC ou CFD ) a) Diferenças Finitas (MDF) b) Elementos Finitos (MEF) (D) / Volumes Finitos (VEF) (3D) c) Elementos de Contorno (MEC) As EDP s são substituídas por um conjunto de equações algébricas resolvidas em computador. Malha para análise do escoemento transônico em torno de um aerofólio com o MEF. Malha com 1680 elementos usada para estudar o fluxo transônico (NM 1,0) em torno de um aerofólio. Malha utilizada na simulação do escoamento em torno de uma pá com a técnica do MDF. A densidade da malha é bem maior nas áreas próximas aos bordos de ataque e de fuga os V próximas dos bordos sejam melhor descritos pelo MDF. nas áreas FIM