Capítulo 2 Introdução à Mecânica dos Fluidos: Conceitos Fundamentais

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1 Capítulo 2 Introdução à Mecânica dos Fluidos: Conceitos Fundamentais Escoamento em volta de veículo para análise de sua performance aerodinâmica. Universidade Federal Fluminense EEIMVR - VEM Mecânica dos Fluidos I I. L. Ferreira, A. J. Silva, J. F. Feiteira Introdução à Mecânica do Fluidos Copyright (c) 2010 by John Wiley & Sons, Inc

2 2.1 Introdução Tópicos Principais: O fluido como um contínuo; Campo de velocidade; Campo de Tensão; Viscosidade; Tensão superficial; Descrição e classificação dos movimentos de um fluido.

3 2.2 Fluido como um Contínuo Contínuo: Sob certas circunstâncias um fluido pode ser tratado como meio contínuo. Ex.: Escoamento de um rio. Meio não-contínuo: A hipótese de contínuo falha quando a trajetória média livre das moléculas torna-se da mesma ordem de grandeza da menor dimensão característica significativa do problema. Ex.: Escoamento de um gás rarefeito na atmosfera superior.

4 2.2 Fluido como um Contínuo Contínuo: Sob certas circunstâncias um fluido pode ser tratado como meio contínuo. Ex.: Escoamento de um rio. ρ lim δ V δv ' δm δv ρ = ρ ( x, y, z, t)

5 2.3 Campo de Velocidade Definição de Velocidade de um fluido: Define-se a velocidade de um fluido num ponto C, como a velocidade instantânea no centro de gravidade do volume δv, que instantaneamente envolve este ponto C. r r V = V, ( x, y, z t) ou r V = uiˆ + vj ˆ + wkˆ

6 2.3 Campo de Velocidade Quanto a campo de velocidade considere-se: Escoamentos permanentes e transientes; Escoamentos 1D, 2D e 3D; Linhas de tempo, trajetórias, linhas de emissão e linhas de corrente;

7 2.3 Campo de Velocidade Escoamento Permanente: Se as propriedades em cada ponto de um escoamento não se alteram com o tempo, o escoamento é dito permanente, e, por conseguinte, V r r ρ = 0 e V V ( x, y, z) = 0 t t Escoamento Transiente: r = ; e ρ = ρ( x, y, z) Se as propriedades em cada ponto de um escoamento se alteram com o tempo, o escoamento é dito transiente, logo, V r r ρ 0 e V V ( x, y, z, t) ; 0 t t r = e ρ = ρ( x, y, z, t)

8 2.3 Campo de Velocidade Escoamentos 1D, 2D e 3D: Um escoamento é classificado como unidimensional, bidimensional e tridimensional de acordo com o número de coordenadas espaciais necessárias para especificar seu campo de velocidade. Escoamento unidimensional e bidimensional.

9 2.3 Campo de Velocidade Linhas de Tempo, trajetórias, Linhas de Emissão e Linhas de Corrente: Linhas de Tempo: Se num campo de escoamento, várias partículas adjacentes forem marcadas num dado instante formarão uma linha no fluido. Trajetória: É o caminho traçado por uma partícula fluida em movimento. Ex.: Fumaça, corante e etc.; Linhas de Emissão: Linha que une os pontos que passam num local fixo do espaço, onde todas as partículas passando por aquele ponto fixo seriam identificáveis no escoamento. Linhas de Corrente: São aquelas desenhadas no campo de escoamento de forma que num dado instante são tangentes à direção do escoamento, em cada ponto do campo

10 2.3 Campo de Velocidade

11 2.4 Campo de Tensão Forças de Superfície e Forças de Campo: Cada partícula do fluido pode estar sujeita à ação de forças de superfície (pressão e atrito), e de forças de campo (eletromagnética e gravitacional). A força gravitacional agindo sobre um elemento de fluido dv é dada pela seguinte expressão, r F = ρ g dv Considere uma porção, da superfície em um ponto qualquer C. A orientação é dada pelo vetor unitário nˆ. δa r O vetor nˆ é normal a superfície.

12 2.4 Campo de Tensão A força, δ, agindo sobre uma δ pode ser decomposta em duas componentes uma normal e outra tangente à área. F r Desta forma, uma tensão normal e uma de cisalhamento podem ser definidas, logo, A r σ n = lim δa 0 n δf δa n n τ n = lim δa 0 n δf δa t n

13 2.4 Campo de Tensão Um infinito número de planos passam pelo ponto C, no entanto o estado de tensão pode ser descrito pela especificação das tensões atuantes em três planos quaisquer ortogonais entre si, pelas nove componentes σ τ yx τ zx xx τ σ τ xy yy zy τ τ σ xz yz zz

14 2.4 Campo de Tensão O elemento infinitesimal abaixo apresenta seis planos em que a tensão pode atuar. Os planos são caracterizados como positivos e negativos de acordo com o sentido da normal; Uma tensão será positiva quando o sentido e o plano no qual atua são ambos positivos ou negativos.

15 2.5 Viscosidade Para um fluido, as tensões de cisalhamento surgem devido ao escoamento viscoso; Os sólidos são elásticos e os fluidos são viscosos. Materiais intermediários são viscoelásticos; Para um fluido em repouso não haverá tensão de cisalhamento; A relação entre a tensão de cisalhamento aplicada e o escoamento caracteriza o tipo de fluido;

16 2.5 Viscosidade Considere um elemento de fluido entre duas placas semi-infinitas, a placa superior move-se com velocidade constante δu sob ação de uma força δf x. A tensão de cisalhamento, τ yx, aplicada ao elemento de volume é expressa da seguinte forma: τ yx = lim δa 0 y δf δ A x y = df da x y

17 2.5 Viscosidade Durante um lapso de tempo δt, o elemento fluido é deformado da posição MNOP para M NOP. Desta forma a taxa de deformação será dada por, taxadef = δα lim = δt δt 0 dα dt A distância δl é dada por, δ l = δuδt Para pequenos ângulos pode-se escrever, δl tan δα = δα δ y

18 2.5 Viscosidade Logo, δ l = δα δy e δ l = δuδt então, combinando as expressões e aplicando o limite quando δt e δy tendem a zero, dα = dt du dy Desta forma, um elemento fluido quando submetido a uma tensão de cisalhamento, experimentará uma taxa de deformação proporcional à du/dy. Os fluidos nos quais a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação são denominados fluidos newtonianos.

19 2.5 Viscosidade Fluidos Newtonianos São fluidos nos quais a tensão de cisalhamento é proporcional a taxa de deformação. Ex.: água, gasolina, álcool e ar. τ du yx dy A lei de Newton para a viscosidade estabelece que, τ yx µ Onde µ é a viscosidade dinâmica [F.t/L 2 ] dada nas seguintes unidades, N.s 1 2 m = (S.I.) 1 Pa.s du dy lbf.s slug.s 1 = ft ft (B.S.) 1 poise = 1 g cm.s

20 2.5 Viscosidade Fluidos Newtonianos A razão entre a viscosidade absoluta e a massa específica é denominada viscosidade cinemática [L 2 /t], apresentada da seguinte forma, ν = µ ρ [m 2 /s] Uma unidade comum é o stoke definido como,

21 2.5 Viscosidade Fluidos Não-Newtonianos Os fluidos nos quais a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de deformação, são denominados de fluidos não-newtonianos. Ex.: Creme dental, tinta, ketchup e sangue.

22 2.5 Viscosidade Fluidos Não-Newtonianos Para muitas aplicações de engenharia, uma relação conveniente representativa entre a tensão de cisalhamento e a taxa de cisalhamento é mostrada abaixo, du τ yx k dy Onde k é o denominado de índice de consistência e n é o índice de comportamento do escoamento. A equação acima pode ser reescrita da seguinte forma, n 1 du du du τ yx k = η dy dy dy n η - viscosidade efetiva. A fim de assegurar o mesmo sinal entre a taxa e a tensão.

23 2.5 Viscosidade Fluidos Não-Newtonianos O creme dental, a lama de perfuração e o plástico de Bingham, comportam-se como sólidos até que uma tensão limite seja atingida, a partir da qual começam a escoar como fluidos; desta forma, τ yx τ y + µ p du dy

24 2.6 Tensão Superficial Sempre que um líquido encontra-se em contato com outros líquidos, gases ou sólidos, uma interface se desenvolve agindo como uma membrana elástica esticada, originando uma tensão superficial; Esta membrana apresenta duas características: Um ângulo de contato θ e uma magnitude de tensão superficial σ [N/m 2 ]; Tais características dependem do tipo de fluido e do tipo da superfície; Exemplos típicos: Insetos sobre a superfície da água, agulhas sobre a água, bolhas de sabão, etc.

25 2.6 Tensão Superficial Balanço de força num segmento da interface mostra um salto na pressão através da membrana elástica; A tensão superficial é responsável por fenômenos de ondas capilares, de ascensão e depressão capilar; Se o ângulo θ for < 90 o superfície molhada, Seθ > 90º superfície não-molhada;

26 2.6 Tensão Superficial Depressão e Ascensão Capilar Um efeito importante da tensão superficial em engenharia é a criação dos indesejáveis meniscos em manômetros e barômetros;

27 2.6 Tensão Superficial Depressão e Ascensão Capilar Os assim chamados compostos surfactantes reduzem consideravelmente (em mais de 40%) os efeitos da tensão superficial quando adicionados à àgua. Tais substâncias têm grande aplicação comercial: a maioria dos detergentes contém surfactantes para ajudar a água a penetrar e retirar sujeira das superfícies. Os surfactantes são também utilizados na recuperação de óleos vegetais e minerais.

28 2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos Mecânica dos Fluidos Contínuos Não-viscosos µ = 0 Viscosos µ 0 Laminar Turbulento Compressível Incompressível Interno Externo

29 2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos Dois aspectos da mecânica dos fluidos mais difíceis de tratar: (1) sua natureza viscosa e (2) sua compressibilidade; Uma primeira proposição, tratou o fluido incompressível e sem atrito. Porém conduziu a paradoxo de D Alembert;

30 2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos Fluidos Viscosos e Não-Viscosos: Considere uma bola sendo chutada a 96 km/h. Qual a natureza do arrasto do ar sobre a bola? Atrito com o ar? Aumento de pressão na frente da bola? Uma partícula de areia, com velocidade terminal de 1 cm/s sob efeito da gravidade? Qual a natureza do arrasto? Essas perguntas podem ser respondidas através de um número adimensional chamado Reynolds que relaciona forças de pressão e forças viscosas. Re = ρvl µ µ - viscosidade ρ - massa específica V - Velocidade Re Bola Re areia 0.7 L - Comprimento característico

31 2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos Fluidos Viscosos e Não-Viscosos: Num escoamento incompressível e sem atrito, a teoria prediz linhas de correntes da forma apresentada em (a), Os pontos A e C apresentam pressões elevadas, enquanto B e o simétrico apresentam baixas pressões, não existindo força líquida de arrasto devido à pressão, Paradóxo de D Alembert.

32 2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos Fluidos Viscosos e Não-Viscosos: Prandtl em 1904 postulou uma condição de nãodeslizamento, u = 0 em B, e a velocidade aumenta rapidamente de zero até o valor previsto pela teoria do escoamento não-viscoso. Existirá sempre uma camada limite delgada em que o atrito é significativo.

33 2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos Fluidos Viscosos e Não-Viscosos: O ar na esteira terá pressão relativamente baixa enquanto a frente da bola possuirá uma pressão elevada criando um arrasto de pressão devido à forma do objeto.

34 2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos Fluidos Viscosos e Não-Viscosos: Uma possibilidade de redução de esteira, diminuindo portanto o arrasto de pressão, é conseguida pela utilização de um perfil aerodinâmico;