Rotação de um corpo rígido e as equações de Euler

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1 Rotação de um corpo rígido e as equações de Euler As componentes u x, u y e u z de um vetor u podem ser escritas em termos de produtos escalares entre u e os versores da base x, ŷ e ẑ, u x = x u, e Como u y = ŷ u u z = ẑ u. u = xu x + ŷu y + ẑu z, segue que podemos também escrever o vetor u assim: u = xx u + ŷŷ u + ẑẑ u. Essa expressão sugere uma notação bastante curiosa: que tal escrevermos u = (xx + ŷŷ + ẑẑ u e definirmos o produto diádico entre dois vetores quaisquer A e B como a simples justaposição AB, com o entendimento implícito de que um produto escalar com um terceiro vetor será tomado para que essa quantidade faça sentido? Então, podemos definir a díade identidade como = xx + ŷŷ + ẑẑ e, portanto, u = u. Uma díade também pode ser pensada como outra maneira de representar um tensor. Nós não vamos nos deter mais nisso nesta postagem, mas a utilização da notação diádica é muito útil no que segue. Para a rotação de um corpo rígido, o torque N é igual à derivada temporal do momentum angular L, dl = N. ( Na postagem sobre rotação em torno de um eixo há a ideia de que em um corpo rígido todas as partículas giram em torno de um eixo com a mesma velocidade angular ω. Agora, para o caso geral em que não há apenas um eixo de rotação, podemos pensar em ω como variando no tempo, mas de tal forma que, em

2 cada instante, todas as partículas giram em torno do eixo instantâneo dado por ω. Que esse é o caso geral demonstramos na postagem sobre sistemas de coordenadas em movimento. Assim, para N partículas pontuais, temos L = m k r k (ω r k, ( onde a velocidade da k-ésima partícula é dada por A Eq. ( pode ser reescrita como ṙ k = ω r k. (3 L = m k r k r k ω m k r k r k ω, ou seja, ou ainda, L = L = L = N m k r k r k ω m k r k r k ω, m k ( r k r k rk r k ω, m k (rk rk r k ω. (4 Na Eq. (4 reconhecemos o tensor I = N m k (rk rk r k, (5 que é chamado de tensor de inércia e podemos reescrever a Eq. (4 como L = I ω. (6 No caso de um corpo rígido composto por um contínuo de matéria, com densidade de massa ρ, podemos reescrever a Eq. (5 como I = d 3 r ρ (r rr, (7 onde a integral é sobre todos os pontos onde ρ é diferente de zero.

3 Está claro na Eq. (5 que I muda no tempo porque r k varia no tempo. No entanto, em um sistema de coordenadas que gira junto com o corpo, em torno do eixo instantâneo ω, I é constante. Então, vamos mudar de sistema de coordenadas para o sistema S, que gira com o corpo rígido. Dessa forma, de acordo com a postagem sobre sistemas de coordenadas em movimento, temos d L = N ω L. (8 A substituição da Eq. (6 na Eq. (8 fornece I d ω = N ω ( I ω, (9 onde usei o fato de que I é constante no sistema de coordenadas S. Também sabemos que, de acordo com a postagem sobre sistemas de coordenadas em movimento, e, com isso, a Eq. (9 fica I dω d ω = dω ( I = N ω ω. (0 É interessante, neste ponto da discussão, notar que o tensor de inércia, representado pela díade da Eq. (5 ou da Eq. (7, é simétrico. Para ver isso, podemos escrever o tensor de inércia na forma matricial. Da Eq. (7, por exemplo, fica claro que I = d 3 r ρ [ r (xx + ŷŷ + ẑẑ (xx + ŷy + ẑz (xx + ŷy + ẑz ], I = d 3 r ρ [xx ( r x + ŷŷ ( r y + ẑẑ ( r z ] d 3 r ρ (xŷxy + xẑxz + ŷxxy + ŷẑyz + ẑxxz + ẑŷyz, ou seja, I = d 3 r ρ [xx ( y + z + ŷŷ ( x + z + ẑẑ ( x + y ] d 3 r ρ (xŷxy + xẑxz + ŷxxy + ŷẑyz + ẑxxz + ẑŷyz. ( Podemos agora montar uma matriz assim: I xx I xy I xz I yx I yy I yz = I zx I zy I zz x I x x I ŷ x I ẑ ŷ I x ŷ I ŷ ŷ I ẑ ẑ I x ẑ I ŷ ẑ I ẑ, 3

4 que, usando a Eq. (, resulta em I xx I xy I xz d3 r ρ ( y + z d 3 r ρxy d 3 r ρxz I yx I yy I yz = d 3 r ρxy d3 r ρ ( x + z d 3 r ρyz I zx I zy I zz d 3 r ρxz d 3 r ρyz d3 r ρ ( x + y. ( Da Eq. (, vemos que I xy = I yx, I xz = I zx e I yz = I zy, mostrando que o tensor de inércia é simétrico. Porque é simétrico, existe um sistema de coordenadas que diagonaliza o tensor de inércia, que então pode ser escrito assim: I = ê ê I + ê ê I + ê 3 ê 3 I 3, (3 onde os versores ê, ê e ê 3 são os chamados eixos principais do corpo rígido, ou auto-vetores de I, e, como é possível, são escolhidos ortogonais, mesmo quando há degenerescência, quando pelo menos dois dos auto-valores I, I e I 3 são iguais. Note que os eixos principais do corpo rígido são fixos a ele e, portanto, giram juntamente com o corpo rígido. Substituindo a Eq. (3 na Eq. (0, obtemos (ê ê I + ê ê I + ê 3 ê 3 I 3 dω = N ω [(ê ê I + ê ê I + ê 3 ê 3 I 3 ω], dω ê I + ê dω I + ê dω 3 3I 3 = N ω (ê I ω + ê I ω + ê 3 I 3 ω 3, (4 onde escrevemos ω em componentes ao longo dos eixos principais, ω = ê ω + ê ω + ê 3 ω 3 (5 e, como os versores ao longo dos eixos principais são escolhidos ortogonais entre si, também são numerados convencionalmente de modo a termos ê ê = ê 3 (6 e suas permutações cíclicas. Usando a Eq. (5, obtemos ω (ê I ω + ê I ω + ê 3 I 3 ω 3 = (ê ω + ê ω + ê 3 ω 3 (ê I ω + ê I ω + ê 3 I 3 ω 3, 4

5 ω (ê I ω + ê I ω + ê 3 I 3 ω 3 = ê (ê I ω ω + ê 3 I 3 ω ω 3 + ê (ê I ω ω + ê 3 I 3 ω ω 3 + ê 3 (ê I ω ω 3 + ê I ω ω 3, ou seja, com a Eq. (6 e suas permutações cíclicas, obtemos ou ainda, ω (ê I ω + ê I ω + ê 3 I 3 ω 3 = ê 3 I ω ω ê I 3 ω ω 3 ê 3 I ω ω + ê I 3 ω ω 3 + ê I ω ω 3 ê I ω ω 3, ω (ê I ω + ê I ω + ê 3 I 3 ω 3 = ê (I 3 I ω ω 3 + ê (I I 3 ω ω 3 + ê 3 (I I ω ω. (7 Substituindo a Eq. (7 na Eq. (4 e tomando suas componentes ao longo dos eixos principais do corpo rígido, obtemos I dω + (I 3 I ω ω 3 = N, (8 e I dω + (I I 3 ω ω 3 = N (9 I 3 dω 3 + (I I ω ω = N 3. (0 As Eqs. (8, (9 e (0 são conhecidas como as equações de Euler para o movimento de um corpo rígido. Se um ponto do corpo permanece fixo durante o movimento, então a origem dos eixos principais é escolhida como aquele ponto. Quando não há um ponto fixo, o centro de massa do corpo rígido é escolhido como a origem dos eixos principais. Os momentos de inércia e os torques são todos calculados com relação à origem dos eixos principais. Na ausência de torques externos, a Eq. (0 mostra que I dω ( I = ω ω. Assim, para que possamos ter um movimento com ω constante, é necessário que ( I ω ω = 0, que I ω seja paralelo a ω : I ω = λω, ( 5

6 para alguma constante real λ. Note que a Eq. ( é uma equação de autovalores e auto-vetores, mostrando que λ deve ser um dos autovalores de I e ω, um de seus auto-vetores. Logo, ω deve estar ao longo de um dos eixos principais do corpo rígido, para que esse corpo possa girar com ω constante. A energia cinética do corpo rígido é dada por T = m kṙ k. ( A substituição da Eq. (3 na Eq. ( fornece T = m k (ω r k, ou seja, T = m k (ω r k (ω r k, T = m kω [r k (ω r k ], ou ainda, usando a Eq. (, obtemos { T = N } ω m k [r k (ω r k ] Substituindo a Eq. (6 na Eq. (3, obtemos No sistema de coordenadas S, I d ( ω ( d ω I ω = Como I é simétrico, decorre que ( d ω I ω = T = ω I ω. (4 m= n= I ω + ω I = ω L. (3 é constante e, portanto, ( d ω d ω m I m,n ω n = ( d ω I ω = ω I 6 m= n=. (5 d ω m I n,m ω n = ( d ω. (6 n= m= d ω m ω n I n,m,

7 Logo, substituindo a Eq. (6 na Eq. (5, obtemos d ( ω I ω = ω ( d ω I. (7 Substituindo a Eq. (4 na Eq. (7, obtemos Nós já sabemos que d (T = ω I d T ( d ω, = ω I d ω. (8 d ω = dω e, portanto, a Eq. (8 pode ser reescrita como dt onde já usei o fato de que = ω I dω, (9 d T = dt, pois a energia cinética é um escalar. Substituindo a Eq. (0 na Eq. (9, obtemos dt [ ( I ] = ω N ω ω ω, já que, obviamente, dt = ω N, (30 [ ( I ] ω ω ω = 0. Um corpo rígido simétrico girando livremente Vamos considerar agora um corpo rígido com dois dos momentos de inércia principais iguais, I = I, um corpo rígido simétrico, na ausência de torques externos. Nesse caso, as Eqs. (8, (9 e (0 ficam dω + βω 3ω = 0, (3 7

8 e dω βω 3ω = 0 (3 I 3 dω 3 = 0, (33 onde, por conveniência notacional, definimos β = I 3 I I. (34 A Eq. (33 mostra que ω 3 é constante. Derivando a Eq. (3 com relação ao tempo, obtemos d ω + βω dω 3 = 0. (35 Substituindo a Eq. (3 na Eq. (35, obtemos d ω + (βω 3 ω = 0. (36 A solução geral da Eq. (36, que descreve um oscilador harmônico unidimensional com frequência βω 3, é escrita como ω (t = A cos (βω 3 t + φ, (37 onde A e φ são constantes para ser determinadas a partir das condições iniciais do problema. Tomando a derivada temporal da Eq. (37, obtemos dω (t = βω 3 Asen (βω 3 t + φ. (38 Substituindo a Eq. (38 na Eq. (3, obtemos βω 3 Asen (βω 3 t + φ + βω 3 ω = 0, βω 3 ω = βω 3 Asen (βω 3 t + φ, ou seja, ω (t = Asen (βω 3 t + φ. (39 As Eqs. (37 e (39 indicam que o vetor ω pode ser escrito como ω = ê A cos (βω 3 t + φ + ê Asen (βω 3 t + φ + ê 3 ω 3, (40 8

9 onde usei a Eq. (5. Vemos, portanto, que o vetor ω precessa em torno do eixo principal ê 3, com velocidade de precessão dada por βω 3. A magnitude de ω é calculada assim: ω = [A cos (βω 3 t + φ] + [Asen (βω 3 t + φ] + ω 3 = A + ω3. (4 O cosseno do ângulo entre ω e ê 3 é dado por cos α b = ω ê 3 ω ê 3 = ω 3, (4 A + ω3 onde usei as Eqs. (40 e (4. Podemos também calcular o momentum angular L, através da Eq. (6, e usando as Eqs. (3 e (4, vemos que o resultado é dado por L = ê I A cos (βω 3 t + φ + ê I Asen (βω 3 t + φ + ê 3 I 3 ω 3, (43 onde já utilizei o fato de que estamos tradando o caso simétrico onde I = I. Veja que L também precessa em torno de ê 3 com velocidade angular de precessão dada por βω 3. No espaço, L é constante quando N = 0, de acordo com a Eq. (. O cosseno do ângulo entre ω e L é dado por ω L ω L. (44 Usando a Eq. (43, obtemos L = I A cos (βω 3 t + φ + I A sen (βω 3 t + φ + I3 ω 3, L = I A + I 3 ω 3. (45 Com o uso das Eqs. (40, (4, (43 e (45, a Eq. (44 pode ser reescrita como I A + I 3 ω3, (46 A + ω3 I A + I3 ω 3 que é constante, o ângulo entre ω e L é constante, sendo que L permanece fixo no espaço. Logo, ω precessa em torno de L. Da mesma forma que já vimos que L precessa em torno de ê 3, no sistema de coordenadas que gira junto com o corpo rígido, podemos dizer que, no sistema de coordenadas fixo no espaço, o eixo ê 3 precessa em torno de L. Então, visto a partir do sistema de coordenadas fixo no espaço, L permanece fixo enquanto o plano formado pelos vetores ω e ê 3, que contém L, gira em torno de L com velocidade angular βω 3. Da Eq. (34, obtemos I 3 = I ( + β. (47 9

10 Substituindo a Eq. (47 na Eq. (46, obtemos I A + I ( + β ω3 A + ω3 I A + I ( + β +, β ω3 A + ( + β ω3, A + ω3 A + ( + β + β ω3 ou seja, A + ω3 + βω3 A + ω3 A + ω3 + (β +, β ω3 ou ainda, usando a Eq. (4, ω 3 cos α b + βω3. (48 ω 3 ω 3 cos α b cos α b + (β + β ω3 A Eq. (48 pode ser simplificada assim: cos α b cos α b + β, cos α b + (β + β + β cos α b + (β + β cos α b. (49 Bibliografia [] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 97. 0